平面解析几何-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）.pdf

专题0 5平面解析几何:2021年高考真题21.（2 02 1全国高考真题（文）设8是椭圆。:+丁 =1的上顶点，点P在C上，则归目的最大值为（）A.-B.J 6 C.7 5 D.22【答案】A【分析】设点尸（事,均），由依题意可知，5（0,1）,至+y；=l，再根据两点间的距离公式得到|P8，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.2【详解】设点尸（事,均）,因为5（0,1）,今+乂=1，所以附=5（1一 洲 +收 一1）-=-4 _ 2%+6 =-4（%+；+T,4，4而一 所以当先=时，归却的最大值为g.故选：A.【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.2.（2 02 1全国高考真题）抛物线y 2=2 px（p 0）的焦点到直线y =x+l的距离为0,则 =（）A.1 B.2 C.2 7 2 D.4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得。的值.【详解】抛物线的焦点坐标为（），其到自线x-y+1 =0的距离:d=2-0+1_ 2 _ _ _ _ _ _V T+T=3 解得：p=2（p=-6舍去）.故选：B.3.2 2.（2021.北京高考真题）双曲线C：W-.=1过点（、5,6）,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）A.公 一 二=1 B.-/=1 C.X2_2=1 D.垦 一 丁=13 3 3 3【答案】A【分析】分析可得 匕=耳，再将点（、后，班）代入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方程.2 2【详解】.e=2,则c=2a,h=Jc2-a2=A z-则双曲线的方程为餐 一 二=1，a a 3a“将点（V2,V3）的坐标代入双曲线的方程可得标-白=5 =1，解得。=1故b=6，2因此，双曲线的方程为炉 匕=.3故选：A.4.（2021.北京高考真题）已知圆C：尤2+y2=4,直线/：y=Ax+m,当%变化时，/截得圆C弦长的最小值为2,则（）A.2 B.y/2 C.y/3 D.y/5【答案】c【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出”？【详解】由题可得圆心为（0,0）,半径为2,m则圆心到直线的距离d=-=,V F +1则弦长为2、4 二 一，V F+i则M=0时，弦长取得最小值为2,4-根2=2,解得加=G.故选：c.5.（2 02 1.全国高考真题）己知 片，鸟 是椭圆C：、+?=1的两个焦点，点M在。上，贝用.pV里|的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到|用+|儿明|=2。=6,借助基本不等式MF-MF 0/0）的右焦点与抛物线y 2=2 p x（p 0）的焦a 厅点重合，抛物线的准线交双曲线于A,B 两 点,交双曲线的渐近线于C、。两点，若|。|=应|4例.则双曲线的离心率为（)A.0 B.7 3 C.2 D.3【答案】A【分析】设公共焦点为（C,O），进而可得准线为 彳=-。，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a2=-c2,再由双曲线离心率公式即可得解.22 2【详解】设双曲线马-与=1（。0,6 0）与抛物线丁=2 p x（p 0）的公共焦点为（c,0）,a h则抛物线V=2 p x（p 0）的准线为x =-c,c2令尤=-C,则 二a,21,解得y =士 幺，所以恒 却=-又因为双曲线的渐近线方程为y =%,所以|8|=a a所 以 之=处 生，即c=，所 以/=C a a 2所以双曲线的离心率e=J E.a故选：A.2 28.（2 0 2 1全国高三其他 模 拟（文）已知双曲线-二4 51的左、右焦点分别为片，点尸口卷），则PF2的平分线的方程为（）A.3 x-2 y 4 =0B.3 x-4 y +4 =0C.4 x-6 y+3 =0 D.2 x-6 y+9 =（）【答案】A【分析】先依题意判断尸入，片工，设/片尸鸟的平分线交x轴于M,设N M P 8=6,计算1 2 2t a n 2 6 =t a n/6尸耳=（，求得t a n 6 =,即得角平分线所在直线尸M的斜率，再根据点斜式写直线方程即可.【详解】如图，依题意知耳（一3,0）,6（3,0）,而 点尸在双曲线上，故鸟，|国=/因 周=6.设/耳 尸鸟的平分线交X轴于M,设NMP 6=e,则/耳P玛=2 6 e 0微-t a n 2 e=t a n N f；P G =?=?口“2 t a n。1 2有1 5,即匚 荷 拓=行2 1 3化简解得t a n 6 =一，故/R P F）的平分线所在直线P M的斜率&=t a n Z P M F2=-=-3t a n 夕 25 3所以/4P6的平分线的方程为了一耳=/（工一3）,即3 x 2 y 4 =0.故选：A.9.（2 0 2 1全国高考真题）已知直线/:依+外 产=。与圆。：2 +、2=产，点A（a,则下列说法正确的 是（）A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相 切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相 离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切【答案】A B D【分析】转化点与圆、点 与 直 线 的 位 置 关 系 为 的 大 小 关 系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.详解】圆心c（）,o）到直线/的距离d=1,Ja2+b2若点A（a,）在圆C上，则所以ja2+h2则直线/与圆C相切，故A正确；若点A（a,A）在圆C内,则所以d=:”,7 a+/7则直线/与圆C相离，故B正确:2若点A（a,A）在圆C外，则。2+/，所以sla2+b2则直线/与圆C相交，故C错误;若点A（a,Z?）在直线/上，贝4力+人？一,_ Q g p 2 +b2-r2 所以d=V2+b=r,直线/与圆C相切，故D正确.故选：A B D.1 0.（2 0 2 1全国高考真题）已知点P在圆（x 5+（y 5=1 6上，点4（4,0）、B（0,2）,则（）A.点p到直线A8的距离小于1 0B.点 尸 到 直 线 的 距 离 大 于2C.当 NPB A 最小时，|P5|=3 /5D.当N P 8 A最大时，|P四=3夜【答案】A C D【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断A B选项的正误;分析可知，当N P 8 A最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断C D选项的正误.【详解】圆（x 5）2+（y 5）2 =1 6的圆心为M（5,5）,半径为4,直线A8的方程 为:+=1，即x +2 y -4 =0,圆心M到直线AB的距离为F1 2X54|=J 1 =辿 4 ,7 12+22 石 5所以，点P到直线A3的距离的最小值为142,最大值为工 幽+4 轴交于点A,与圆月+（），-1）2=1 相切于点8,则|如-【答案】百【分析】设直线AB的方程为y=x +b,则点A（0,8），利用直线AB与圆X?+（），-炉=1 相切求出匕的值，求出|A C|,利用勾股定理可求得|A .【详解】设直线AB的方程为 =6 x+b，则点A（0,Z?）,由于直线AB与圆相切，且圆心为C（0,l）,半径为1，则 吐=1，解得匕=一1 或%=3,2所以|A C|=2,因为忸。=1,故|A B|=J|A C 一 忸=也.故答案为：61 2.（2 0 2 1 全国高考真题）已知函数/（幻=.一 1|小（），函数/（X）的图象在点A（%J（%）和点8(%2，/(%2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则 步 取值范围是.【答案】(0,1)【分析】结合导数的几何意义可得%+=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|4 0|=5方 卜卜N|=J l+e2*2.冈,化简即可得解.z x I|l-x,x 0 ，/、-e x 0 e”,x0所以点 A(%,1-e)和点 Bx2,eX2-1),kAM=-eX,kBN=*,所以一e*eX1=-I,%+x2=0,所以 AM:y-l+eXi=-ex(x-x ,M +1),所以 124Ml=J +e2x-I%1|同理忸N =J l+*2 .同.所以 MM e+e2xj_ ll+e2-_ l l+e2 _所以两处在 后k V T T T L ()故答案为：(0,1)【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件再+工2=0,消去一个变量后，运算即可得解.13.(2021北京高考真题)已知抛物线。：;/=以，焦点为尸，点M为抛物线C上的点，且|根|=6,则M的 横 坐 标 是；作MN_Lx轴于N,则S/M N=【答案】5 46【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求S-MN.【详解】因为抛物线的方程为丁=4 8，故p=2且 网1,0).因为|Mq=6,与+=6,解得/=5,故 坨=2石，所以=；x(5-l)x2后=4石，故答案为：5,4 /5.14.(2 0 2 1全国高考真题)已知。为坐标原点，抛物线C：2=2双2 0)的焦点为尸，P为。上一点,PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且P Q _ L Q P,若忻。=6,则。的 准 线 方 程 为.3【答案】%=-2【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.【详解】抛物线C：y2=2 p x(P 0)的焦点厂为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,2不妨设P(g p),因为Q为轴上一点，且P Q-L O P,所以Q在F的右侧，又|网2 1=6,UUH.Q(6 +5,0),.P Q =(6,-p)因为PQLOP,所 以 而.而=5x6/=o.Q 夕 0,/.p =3,3所以C的准线方程为了二一一23故答案为：x=.2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.2 215.(2 0 2 1全国高考真题(文)已知耳，鸟 为椭圆C：工+匕=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原16 4点对称的两点，且|P Q|=|耳 闾，则四边形P FiQF2的面积为.【答案】8【分析】根 据 已 知 可 得,尸 乙，设|列=九|尸乙|=，利用勾股定理结合加+=8,求出如?，四边形P G Q 6面积 等 于，即可求解.【详解】因为P,Q为。上关于坐标原点对称的两点，且12。1=1 6 1,所 以 四 边 形 为 矩 形，设|0 6|=加,|P F21=，则/+=8,m2 +2 =4 8 ,所以 6 4 =（加+/A-n r+2m n +n2=4 8 +2m n ,m n=8,即四边形P 耳Q8 面积等于8.故答案为：8.2 216.（2 0 2 1全国高考真题（文）双 曲 线 上-汇=1 的右焦点到直线x +2 y -8 =0的距离为4 5【答案】亚【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知1,0 =5=3,所以双曲线的右焦点为（3,0）,所以右焦点（3,0）到直线x+2 y 8 0的距离为 五一=4=心 故答案为：y52 217.（2 0 2 1.全国高考真题）已知双曲线二3 =l（a 0 力 0）的离心率为2,【答案】y=y/3x【分析】由双曲线离心率公式可得=3,再由渐近线方程即可得解.2 2【详解】因为双曲线T 六=1（。0,。0）的离心率为2,所以6 =,=归=2,所 吟=3,所以该双曲线的渐近线方程为丁=2%=6 犬.a故答案为：y=y/3x.则该双曲线的渐近线方程为【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.18.(2 0 2 1浙江高考真题)已知椭圆二+二=1(。/,(),焦点片(_ c,0),K(c,0)(c 0),若过目的a b直线和圆(x +y 2 =c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且P _ L x轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.答案毡 且5 52【分析】不妨假设c =2,根据图形可知，s i n/P 4心 二 ,再根据同角三角函数基本关系即可求出Z =t a n N P E=石；再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.如图所示：不妨假设c =2,设切点为B,s i n Z P E1F2-s i n A BF.A-7 7=,t an N P F、F、=-J-=I 石2 1 闺 4|3 月，5所以左=垣，由左，闺 闾=2 c =4,所以归 周=如 叵，俨 用=必5,于是5|也|5 52 a=|制+|用=4石，即Q =2逐，所以6 =3=且.a 2 j5 5故答案为：.5 5r21 9.(2 02 1天津高考真题)已知椭圆 j+ay1=l(a 0)的右焦点为F，上顶点为B，离 心 率 为 竽且忸目=石.(1)求椭圆的方程；(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M ,与 轴的正半轴交于点N,过N与BE垂直的直线交x轴于点P.若 MPIIBF,求直线/的方程.【答案】（1）y+y2=l；（2）x-y+6=0.【分析】（1）求出。的值，结合。的值可得出6的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点加（毛,%）,分析出直线/的 方 程 为 管+%y=l,求出点尸的坐标，根据MP/8F可得出%.=须 一 求出与、%的值，即可得出直线/的方程.【详解】易 知点尸（c,（）、B（0,b）,故师=后寿=a =，因为椭圆的离心率为e =述，故c=2,匕=后W=i，a 5因此，椭圆的方程 为 三+V=1；5 -2（2）设点M（X o，%）为椭圆 曰+2 =1上一点，先证明直线M N的方程 为 警+为y=1,号+%=1联立，消去V并整理得2-2%+片=0,八=4片一4片=（）,%2 .+y=11 521f 1）在直线M N的方程中，令 =0,可得y=一,由题意可 知%0，即点N 0,为I y0J直线5尸的斜率为即=一2c1 4 1，所以，直线PN的方程为y=2 x+,2%11)在直线PN的方程中，令y=0,可得=一 丁，即点P -,02,o I 2yo)%=2%_ _ _ 1 _ ,因为MPMBF,则=即 上J _ _ 2/凡+1-一5,整理可得(%+5%)2 =，为十2 yo所以，入()=一 5%,因为 +y：=6 y；=1,，%，故%=近 ,%=一 豆55 6 6所以，直线/的方程为Y&X +且y=l，即X y+迷=0.6 6【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线:(1)设切线方程为y=+与椭圆方程联立，由 =()进行求解；2 2(2)椭 圆*+表 =1在其上一点(毛，为)的切线方程为等+胃=1，再应用此方程时，首先应证明直2 2线警+誓=1与椭圆+A=1相切.a2 b2 a2 b22 22 0.(2 02 1全国高考真题)已知椭圆C的方程为L铲=1(a 6 0),右焦点为尸(血,()，且离心率为T(1)求椭圆c的方程；(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线N与 曲 线/+产=加*0)相切.证明：乂,N,F三点共线的充要条件是|MN|=出.【答案】(1)+y2=l；(2)证明见解析.3【分析】(1)由离心率公式可得4 =百，进而可得/，即可得解;(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|MV|=6；充分性：设直 线1 W:y =Ax+（0）,当直线M N的斜率不存在时，直 线MN:x=l,不合题意;当 直 线M N的斜率存在时，设（玉,yj,N（w,%），必要性:若M,N,尸三点共线，可设直线MN:y=Z（x血）即人:-y-左=（）,由直线M N与 曲 线f+V=i（x0）相切可得=1,解 得 =1,联 立 y=（x-V 2）x2 ,可 得4/6 0X+3=O,所 以 +=+y2=1I 33723-,X,x7=2 1-4所以|M N -V 1 +1 -J（X +工2）-4 X 1 *2 -G，所以必要性成立；充分性：设直 线1 W:y =Ax+Z?,（妨0）相切可得=1,所 以 从=/2+1，a+i联 立 y=kx+bx2 2 可 得（1 +3%2卜2+6妨x+3 6 2-3 =0,丁）=所以-1 +3二 1 2 1 +3%2所以阿N|=J l+/.J(7+X2)2 4%马=ll+k26kb Y43b2-31 +30 ，+3 左 2,信3化简得3（炉一 1）2=（）,所以4=土 1,k=（lc=-i所以二 垃或J5所以直线或,=一+J5所以直线MN过点F（a,0）,M,N,尸三点共线，充分性成立；所以M,N,F三点共线的充要条件是|M N|=6.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.2 221.（20 21 北京高考真题）已知椭圆：=+=1（.人0）过点人（0,-2）,以四个顶点围成的四边形面a b积为（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k,交椭圆E于不同的两点8,C,直线A B,4 c交尸-3于点M、N,直线 AC交产-3于点N,若|P M+|P N W 1 5,求 A的取值范围.【答案】上+匕=1；（2）-3,-l）u（l,3.5 4【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求。为，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 8（/乂）,。（,必），求出直线A B,AC的方程后可得M,N的横坐标，从 而 可 得+联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简1 P M i+|P N|,从而可求j f c 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过4（0,2）,故8 =2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4逐，故;又2ax2b=4卮 即。=6，2 2故椭圆的标准方程为：土+上=1.5 4(2)设 3（%，y），c（w，%），因为直线B C的斜率存在，故无 述2 w 0，y+2 c M故直线 A 8:y=Ux-2,令 y=-3,则 x“=-、，同理 工可=一%3+2直线BC:y=匕-3,由，:可得(4+5Z2)%2-30入+25=0,4f+5y2=20 I 故 =900公一IOOU+S/）。，解得左1 或左 1.,30k乂西+工2=石 质 中2 =25,故司0,所以先“4 0又|PM+|PN|=%+4X+2%+24+5公%X2+2 /kx-1 kx2-1 k xx2+x2)+l50k30A4+5公4+5公25k230k2,_ 1 _ 14+5/o 1 14+5/故5陶415即陶43,综上，3攵 一1 或1%W3.22.（2021.全国高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知 点 网-J万,0）、F2（4 n,0）,M Ft-M F2 2,点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 上，过T的两条直线分别交。于人、5两点和产，。两点,且|24卜|7 =|7 73卜|7。|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.v2【答案】(1)x2-2-=l(x l)；(2)0.1 6 1 )【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、居 为左、右焦点双曲线的右支，求出。、。的值，即可得出轨迹。的方程；（2）设点设直线4 5的方程为y-f =设点A（司，y）、3（9,%），联立直线A B与曲线C的方程，列出韦达定理，求出 7间的表达式，设直线P。的斜率为左2,同理可得出1 7 H|明的表达式，由|刃4卜 T B =1 7 H -|T 0|化简可得k+k2的值.【详解】因为|峥|一|峥|=2|耳 闾=2后,所以，轨迹。是以点耳、鸟 为左、右焦点的双曲线的右支,2 2设轨迹。的方程为*一 =1（。0,。0）,则2。=2,可得4=1,5 =1 7-/=4,所以，轨迹C的方程为炉 2二=1(x21)；1 6 )（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点,不妨直线A 8的 方 程 为=即丁=%科+.-；勺，,1 ,y=ktx+t-ki16 x2-y2=1 6联立消去y并整理可得（4_ 1 6卜2+勺（2-+1 6 =0,I 2,设点4（百,%）、6（私 ）,则玉3且了2 ；.k2-2k t由韦达定理可得%+马=:，灯一16 X,x2m+16k；7 6义，整理可 得 好=心，因为|冽.|7 5|=|闭.|7 12|,即所以，附附=（1 +后八-扑2-）=（1+幻-号+乙y 乙 J K -10设直线PQ的斜率为k2,同理可得 T P -T Q =+?（；切，r+1 2）（1+忏）（r2+12）（1+ky 16%；16即（4 一心）（4+幺）=0 ,显然勺-%2/0，故人+%2=0.因此，直线A 6与直线P Q的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2 3.（2 0 2 1全国高考真题（文）已知抛物线C：V=2*（0）的焦点/到准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）已知。为坐标原点，点 尸在C上，点。满 足 却=9 0声，求直线。斜率的最大值.【答案】（1）/=以；（2）最大值为；.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设。（%,%）,由平面向量的知识可得产（10%）-9,10%）,进而可得当=2 5；+%再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线（7:产=2*（0）的焦点/;,0 ,准线方程为x =-K,由题意，该抛物线焦点到准线的距离为-（一言）=0 =2,所以该抛物线的方程为V=4 x ；设。（毛,%）,则 电=9/=（9-9 x。,-9%）,所以 P（10/-9,10%）,由P在抛物线上可得（10%）2 =4（1 0/-9），即/=25*+9,ky。_ So所以直线。的 斜 率0 0 /所y；+9 2 5y；+9,10当先=时,k0Q=0 ；k i o当时,%当先 0时,因 为25%+24 2 5%2 =3 0,%v y。1 9 3此时0 自0彳，当且仅当2 5%=，即%=时，等号成立；当先。时,自2。;综上，直线。的斜率的最大值为!.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对先取值范围的讨论.2 4.（2 0 2 1全国高考真题（文）抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x =l交C于P,。两点，且O P LO Q.已知点M（2,0）,且0M与/相切.（1）求C,的方程；（2）设4,4,4是C上的三个点，直线44，4 A 3均与0M相切.判断直线44与0”的位置关系,并说明理由.【答案】（1）抛物线C：y 2=x,0M方程为（x 2）2 +y 2=i；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与x =l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q坐标，由O P LO Q,即可求出P；由圆M与直线x =l相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑A 4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若4 4,4 A3,4 A3斜率存在，由A，4,4三点在抛物线上，将直线A 4，A 4，A2&斜率分别用纵坐标表示，再由4 4与圆/相切，得出%+%，%为与m的关系，最后求出M点到直线4 4的距离，即可得出结论.【详解】(1)依题意设抛物线C：y 2 =2 p x(p 0),P(l,y o),Q(L y o)，.0尸_1 0。,;.而 丽=1一4=1-2 =0,;.2 =1,所以抛物线。的方程为y2=x,M(0,2),。/与x =l相切，所以半径为1，所 以 的 方 程 为(x-2)2+/=l；(2)设4(山凹)，4(工2，%)，4(%3，%)若4 4斜率不存在，则A 4方程为X =1或X=3,若4%方程为=1,根据对称性不妨设A(1,1),则过A与圆河 相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A 3,不合题意;若A 4方程为x =3，根据对称性不妨设4(3,G),4(3,G),则过4与圆 相切的直线4 4为y 一 6 =4(X 3)，乂“AA.七=0,A(o,o),此时直线44,关于x轴对称,所以直线A z A与圆M相切;若直线斜率均存在,1 1贝!J人=-7 /A&=T-，仁y +必%+%14 41 /、所以立线A 4方程为y 一 ,=-(%一%),%+%整理得 x（X+%）,+,%=0,同理直线4 4 的方程为X一（,+必 方+必 必=o，直线4 4 的方程为工一（%+为+%=。，|2+y%l.AA 与圆 M 相切，,一/,一、，一=141+（%+?2）整理得（71-1）+2yM+3-y；=0,A 4与圆M相切，同理（才 一 1）$+2%+3-1=0所以内，为为方程（代-1）3+2,，+3-犬=0的两根,%+为=-空7，%=,y-i 必一1M到直线4 4 的距离为：12+%1；%-1）1 +（%+必）2 Jl+（_ 3 ）2,I犬+11+1:1J（y”l）2+4y：4 +1所以直线A2 A3 与圆M相切；综上若直线A A，A A 与圆M相切，则直线4 4 与圆M相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A 4，A 4 的对称性，抽象出为+%，%与/关 系，把%，%的关系转化为用M 表示.2 5.（2 0 2 1 .浙江高考真题）如图，已知尸是抛物线、2=2 5*（0）的焦点，M 是抛物线的准线与x轴的交点，且眼产|=2,（1）求抛物线的方程；（2）设过点尸的直线交抛物线与4 8两点，斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且|RN|2=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.【答案】/=4 x；4 6 7+4百【分析】（1）求出”的值后可求抛物线的方程.（2）设AB:x=+l,A（玉,X）,8（.,必），N（,0）,联立直线4 5的方程和抛物线的方程后可得乂%=9,乂 +%=4，求出直线M4,MB的方程，联 立 各 直 线 方 程 可 求 出,根据题设条件可fzz+1?3+4/得 7=3-1，从而可求”的范围【详解】因 为|MF|=2,故 =2,故抛物线的方程为：丁二叔.（2）设 AB:x=等1X+l)可得以=同 理 坨=2(+l)%2 x2+2%yx=+n22(+1)乂2 X 1 +2 y 由x =+l 2(n-l)y 可得力=2x=+n 2t-2所以-，22(n-l)2(+1)%2(+l)y-x-2/-1 2%2 +2 -%2 工 1+2 -y J整理得 到 借）=（2 一）%+2二 总+2 f）4 -T2、(2 +2-必+2-凶I，八 Z 74(2 r l _(2?-1)2 +(乂+X)2 一 乃,一 2txxx2(%+y J +4 3 +4f423+4产=(2 一s +1令s =2 r-l,则1 =且s w O.23+4r2 s2+2s+4故 2（2 1）,2 4,T+二+石=4i i Y+s 4J+字,4 4故 +ln-j 3(I -4 Q Pn2+1 4n +l 02n手1n w 1解得_7 _ 4百 或 _7 +4 G 1 故直线/在x轴上的截距的范围为4 一 7-45万或一7 +4百 W L【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.德2（）21年高考模拟试题1.（2021贵州省瓮安中学高三其他模拟（文）已知抛物线/=2 4 5 0）的焦点为凡直线/为准线，点E在抛物线上.若点E在直线/上的射影为。，且。在第四象限，I尸Q l=2 p,则直线EE的斜率为（）A.B.3 C.6 D.13 2【答案】A【分析】根据题意先确定出点所在象限，然后作出图示，根据|FQ|的长度以及抛物线的定义确定出E点坐标，由此可求直线E F的斜率.【详解】因为E在/上的射影点。在第四象限，所以E在第一象限，设/与V轴的交点为M点，如下图所小：因为=p,|F 2|=2 p,所以cos/M FQFM所以 N MFQ=60,2乂因为 Q/y 轴，所以 NFQ =NFQE=60。,又因为|昉 卜|国,所以EEQ为等边三角形，所以所以“3 X 所以直 线 炉 的斜率为r坦,EF 1 T 3故选：A.r2 v22.（2。江 四川成都市.石室中学高三三模）已知小工是双曲线仁-*的左，右焦点,过点K作斜率为注的直线/与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，以 居 为圆心的圆过M，N,2则双曲线C的离心率为（）A.0 B.上C.2 D.V5【答案】B【分析】取MN中点A,连令|g|=|N 6|=加，由双曲线定义及所给条件可得|AF21=J 4c2=7m2-4 2，再借助直线斜率 为 孝 即可作答.【详解】取MN中点A,连A F2,由已知令I 玛|=1|=m，则A g _ L M N,如图:因点M,N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得|M耳|=|M 5|2。=加一2”，|NF、|=|NF21 +2 =m+2Q,则|MN|=|NFl-M Fl|=4a,|MA=2a,令双曲线半焦距为 c,A K E 中，I A E|=2,|A/|=J 4 c 2一上2 ,H.AA用鸟中，I A居 1=47%/，则有 J加 一42=7 4 c2-/n2，即 r n2=2a2+2c2，因直线/的斜率为 正，即而t a n N A片鸟=9鲁，即 四/=也,21 2 2 I 叼|A6|2AF212 1 .2C2-2 2商1 5次 有 五 E=-J3a，e =6,a所以双曲线。的离心率为故选：B3.（20 21湖南高三其他模拟）平行直线/”0彳-）,-1=0和 方 0 x-y+2=O与 圆 氏/+俨-4 y=0分别相交于A、8和C、。四点，则四边形A 8 Q C的对角线AZ）的长 度 为（）A.3 B.C.3 c D.3A/2【答案】B【分析】先求出圆心到直线4的 距 离 和 两 直 线 之 间 的 距 离 相 等 且 为A 3弦长为2,然后利用勾股定理来求对角线AD的长度.【详解】由x 2 +y 2 4y =0,得尤2+（丁 一 2）2=4,所以圆心坐标为（0,2）,半径r=2，|0-2-1|圆心E到直线4的距离&-J（可+1一 7，所以（网+（6=/,所以|的=2,过点A作AELCD于点/，则|。同=3,乂4过圆心E，所以|4月=d =J 5所以|A of =（6+32 =i 2,即|a q=2 g.故选：B4.（2 0 2 1全国高三其他模拟（文）已知直线4:6%+丫-2 =0与直线4（2 a +3）y +l =0垂直，则0=()A.3【答案】DB.1 或-3C.-1 D.3 或-1【分析】根据4，4，得出关于a的方程，即可求解实数a的值.【详解】直线4:工+一2 =0与直线/2：工一（2。+3）丁 +1=0垂直,所以。之-（2。+3）=0 ,解得。=一1或=3.故选：D.5.（2 0 2 1.全国高三其他模拟（文）已知直线/：3x +4y =15与圆O：f+V =/*0）相离，过直线/上的动点P做圆。的一条切线，切点为C,若AO P C面积的最小值是0,则 厂=（）A.1 B.2 V2 c.I 或2拒 D.2【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值，由此可得半径.【详解】因为OCLP C，所以S OP C=gH PC|=g尸一产，当|O P|最小时，S.O PC最小.|。尸|的最小值为d +0T：L 3,所以）m in=84 9一二=后,解得r=l或r=2忘，13+4-2乂直线与圆相离，所以r d =3,所以尸=1.故选：A.6.（2 0 2 1贵州黔东南苗族侗族自治州 凯里一中高三三模（文）已知直线/：y =A x与圆C：/+/一6+5=0交于A3两点，若AA B C为等腰直角三角形，则攵的值为（）W V14,7 14,7 14 -D -1 U j r 17 2 2 7【答案】D【分析】先求出圆的圆心和半径八 根据已知条件可得圆心到直线/的距离等 于 注r，即可求解.2【详解】由/+/一6+5=0可得.：（X-3）2+/=4.所以圆心C（3,0）,半径r=2，i l l AA BC1为等腰直角三角形知，圆心C（3,o）到直线/:y =A x的距离=等=拒，所以d =譬=血,解 得 一 半,故选：D.7.（2 0 2 1全国高三其他模拟（文）若圆（%-。）2+（、-2。+1）2=9上有且仅有两个点到直线3x +4y -12 =0的距离等于2,则实数的取值范围是（）【答案】D【分析】先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.【详解】圆（X。了+一2。+1）2=9的圆心坐标为（。,%/一1）,半径为3.圆心到直线的距离为：|3+4（2 a-l）-12|_|lla-16|62+4 2 -F又圆（无一a+（y-2。+1）2=9上有且仅有两个点到直线3x+4y 12 =0的距离等于2,所以3 一 此 叫2,59 2 1 41解得。1 或一a .11 11 11故选：D.8.（2 0 2 1江苏高三其他模拟）在求球的体积时，我国南北朝时期的数学家祖陋使用了一个原理：“鼎势既同,则积不容异 意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类似的，如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得的线段的长度之比都为上,那么甲的面积是乙的面积的左倍，据此，楠圆2 2土 +匕=1的面积是（）4 3A.4万 B.3万 C.兀D.2岳【答案】D【分析】令直线/：y=f,求出直线/截椭圆所得的线段长，以及直线/截圆所得的线段长，由题意可得椭圆的面积与圆的面积之比，进而得解.【详解】令直线/：y=f,则直线/截椭 圆 二+亡=1所得的线段为43 =4）乏 ，4 3 V 32 2直线/截圆工+工=1所得的线段为CO=2 痒”，A B所 以 而依题意，椭 圆 工+汇=1的面积与圆 工+x =I的面积之比为一不，4 3 3 3 V3所以椭 圆 匕+=1的面积 是 力x3万=2G万.4 3 V3故选：D.9.（2021沈阳市 辽宁实验中学高三二模）在直角坐标系X。），中，已知直线:/c o s e+s in e =l,当。变化时，动直线始终没有经过点P.定点。的坐标（-2,0）,则|PQ|的取值范围为（）.A.0,2 B.（0,2）C.1,3 D.（1,3）【答案】D【分析】根据原点到直线/的距离为1，结合题意可得点P在单位圆内，即可求解.1 ,【详解】因为原点到宜线/的距离为-=1,Jcos-6+sin-6所以动直线/所围成的图形为单位圆，乂动直线始终没有经过点P，所以点P在该单位圆内，.国=2,B。-1闸|。+1,即|P 0的取值范围为（1,3）.故选：D.10.（2021 四川德阳市高三二模（文）对圆/+丁=1上任意一点P（x,y）,若|3x 4）+一 段 4），9|的值都与x，V无关，则实数 的取值范围是（)A.a 5B.-5 a 5C.a 5 D.a 5【答案】A .1|3x-4y+a|3 x-4 y-9|【分析】将|3%一4），+4一|31一4丁一9|转化为5 J 1-L,然后根据几何意义进行解题即可.【详解】|3x-4y+4 T 3 x 4y 9|=5+4 _田?9|等价于圆/十产=1上任意一点尸（x,y）到直线3x-4y+a=0和宜线3x 4y-9=0的距离的差的5倍，而距离之差与x,无关，则直线3x 4y+a=0与圆相切或相离，且与直线3x 4 y-9 =0位于圆的同侧，所以即或5a(。为坐标原点)面积.【详解】圆f +y 2=i的圆心为坐标原点o,连接。、OD、。尸，则 N O P C =N O 尸当|0尸|取最小值时，O P J J,此时|。尸|156 2 +4?=3,|p