中考数学压轴10 二次函数与线段关系及最值定值问题 （教师版）.pdf

2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘弓题io:次函数。线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系.还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错.【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用.类 型 一,已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边.如图1,已知点A的坐标为(3,4),点8是x轴正半轴上的一个动点，设OB=x,那么我们在直角三角形A8H中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式.类型二，图形的翻折.已知矩形0ABe在坐标平面内如图2所示，A 8=5,点O沿直线EF翻折后，点。的对应点。落 在 边 上，设AZ)=x,O E=y,那 么 在 直 角 三 角 形 中 用 勾 股 定 理 就 可 以 得 到y关于x的函数关系式.【典例分析】例1 如 图1,在RSABC中，Z B A C=90,NB=60。，BC=16cm,4。是斜边BC上的高，垂 足 为BE=lc m,点M从点8出发沿8C方向以lcm/s的速度运动，点N从点E出发，与点“同时同方向以相同的速度运动.以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点。时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为f(s).(1)当/为何值时，点G刚好落在线段A D?(2)设正方形M/VGH与 RSABC重叠部分的图形的面积为5.当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于f 的函数关系式并写出自变量t的取值范围;(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连结O P,当 7为何值时，ACPO是等腰三角形？思路点拨1.用含,的式子把直线8 c 上的线段长都表示出来.2.重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点，落在A B 匕 和点G 落在AC上.3.等腰三角形CPO不存在OP=DC的情况，因为以0 c 为半径的圆。与线段AC只有一个交点.满分斛冬 如 图2,当 点G刚好落在线段HD上时，DA-0.而 n 3 D-5 M-U V=4-L l=3-r,所以 3 r=0.解得 r=3.图 2图 3(2)重彘部分的图形是正方形，存在两种情况:当在.4。的左侧时，正方形MVG/f的大小不变，边长为1,S=l.如 图3,当月落在4 8上时，5M=m：ftan30。=叱.所 以 叱 WV4.3 3如图4,当在.4。上时，正方形的边长为1-3,S=(L3.如 图5,当G落在.4C上时，.羽=HGtan30=(.3).由 A O=4 6，得 且 Q-3)+(-3)=4 G.解得 t=6 百一 3.所以 4WW6G-3.3AD(M)图4A图5(3)等腰三角形C P 存在两种情况:如图6,当P C=P。时，点P在。C的垂直平分线上，N是。C的中点.此时 f=3+6=9.如图7,当C P=C O=1 2时，在R S C P N中，由C O S 3 0 空 二 如，得。V =6月.CP 2此时/=1 5-6 7 3 .图6图7考点伸梭当 点G落 在 上 时，CG：JG的比值是多少呢？如 图5,CN CNAG DN GNcot 30=手.例2如 图1,曲线是抛物线的一部分，与 轴 交 于 V、B两点，与 轴交于点C,且表达式为八=(/一2 _3)(A3).(2)由 C D x轴，可 知 C、D 关于抛物线y i的对称轴x=l对称，所 以 D(2,-4).如 图 2,由省一 1,0)、C(0行)、。(2笛)，可得因此点C在.0 的垂直平分线上.如果四边形.4 8 的对角线互相垂直平分，那么四边形/CDW 是菱形，此时点M 在 x 轴上，不在抛物线”上.因此只存在MC垂直平分A D 的情况.如图2,如图3,过点A、M 分别作x 轴的垂线，与直线CQ分别交于点G、H,那么/ADG=/CMH.由于 tanNAOG=4=正，所以N A Q C=3 0。.因此=D G 3设-丹 3+7如，那么（g/-当 X+76）一（-G）=6 x.整理，得13x+2 4=0.解得犬=一土/万.所以点时 的横坐标为=目 画.2 2（3）如 图 2,如 图 3,由于乙式心=30 ,当 CW1 一 宜）时，/O C 2 3 0；所 以 0 g 巫。C=i,阳 1,0）.3所以直线C V 为 j，=M x-如图4,过点P 作渐的垂线，垂足为K,P底际E,过点M 乍 J 轴的垂线交P 奸尸.所以S s g=S5va+SSE=1 P E Q i F -N K）.因为M F+AK为定值，因此当P E 最大时，的面积最大.设尸（九 m+7 6），E Q w,百 加-百），那么3 3PE=（6m 6）-（立/一 12 1 +7 6）=一立向+1W-8 V 33 3 3 37 3后H-12所以当.?=巴 时，P 取得最大值，P MN 面积最大.2此时P （蓝吟）.F f/M考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5,由于M N是.定值，因此点尸到的距离最大时，?!/可 的面积也最大.过点P 作M N的平行线，当这条直线与抛物线只只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组13x-2y=y=-j3x+b,只有一组解，即=().解得-lOx+21)例 3 如 图 1,AABC为等边三角形，边长为小 点尸在8 c 边上，DFLAB,EFLAC,垂足分别为。、E.(1)求证：xBDFsCEF；(2)若 a=4,设 BF=?，四边形AQFE面积为S,求出S与机之间的函数关系，并探究当，“为何值时S取得最大值；(3)已知A、D、F、E 四点共圆，已知求此圆的直径(用含“的式子表示).2思路点拨1.用割补法求四边形ADFE的面积比较简单.2.当 A、D、F、E 四点共圆时，由于/E D F=N E A F,那么在AACF中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形.满分解答(1)如图 1,因为N 5=/4 6 0 ,ZBDF=ZCEF=90,所以B D F sM E F.(2)如 图2,当 等 边 三 角 形 月 的 边 长a=4时,S拄c=4币.在 RtZLBD尸 中,Z5=60 B F=m,所以50 =1 泄,FD=m.2 2所以 SUDF=BD-FD=m2 81k在 RSCEF 中，ZC=60,CF=4m,所以 CE=(4 2),FE=-(4-/n).i巧所以 SKEF=-CE-FE=(4-m)2 8因此 S=S G E4D FE=S3BC-SD F SEF=4 /3 （4 -w）=-?w*-r y/3tn-r 2y/3=-（w-2）*+3、万 8 8 4 4所以当加=2时，S取得最大值，最大值为3 4.此时点尸是3。的 中 点（如 图3）.（3）如 图4,由于A、。、F、E四点共圆,所以N E AF=N E DF.因为N AE/=90 ,所 以AF是圆的直径.在 R t ZkE AF 中,由于 t an/E AF=立，设 E 4岳，EA=2x.EA 2PF r-在 R t ZkE CF 中，N C=60,所以=6 因此 C=x.E C由4 C=E 4+E C=m 得2 r+x=.所以3所以在R t AE AF中，E F a，E A=L，由勾股定理，得圆的直径3 3 3图2 图3 图4考点伸展笫（2）题也可以求AO尸与%产的面积和.1 J 3 1 x/3由于 8。=一根，F D =mi 所以 A O=4 用，SADF=.2 2 2 81Fi 1/o由于 CE =(4-m),FE=J(4-m)，所以 4 E=2 +帆，S EF(1 6-m2).2 2 2 8因此 S=SADF+S&AEF=/w(8 ni)+(1 6 A T?2)-nT+2 5/3.8 8 4例4如 图1,图2,已知四边形ABC。为正方形，在射线A C上有一动点P,作P E L A。（或延长线）于E,作尸凡L O C（或延长线）于R 作射线8 P交 所 于G.（1）在 图1中，正方形A8C。的边长为2,四边形A8F E的面积为y,设A P=x,求y关于x的函数表达式；(2)G B L E F对于图1,图2都是成立的，请任选一图形给出证明;(3)请根据图2证明：XFGCSPFB.思路点拨图1图21 .四边形A8F E可以用大正方形减去两个直角三角形得到.2 .画直线E P、F P,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形.满分斛答(D如 图3,延 长E P交5 c于延长F P交A B于.V,那么四边形/E R V和四边形C F P M是正方形.PF NP(2)如图 4,因为 t an N E bP=匕，t an/P 3N=2，M PE=NP,P F=N B,所以P F N B由A P=x ,可得正方形月E 2 V的边长为 J.2由于 S皿 产;OFQE=；x哼x(2-等X)所以 J=s gBFE=S A BC D SD EF-SBC FJ2 V 2 V 2 1 9=4 x(2-x)-(2-x)=j r+2 .4 2 2 4Q f cA N B所以F C=D E=2在x.2SHCF=；B C.F C=；X2XQ一 誓0，D F cA N BN E F P=ZPBN.又因为N l =/2,Z1 +ZP B2 V=9O,所以N 2+/E F P=90。.所以 G 3_L E F.(3)如图5,由于G 8J _E F,Z B C F=90,所以8、C、G、尸四点共圆.所以/F CG=N P BF,N C G B=/C F B.又因为/C G/u/C G B+g O。，N B F P=N C F B+9 0。,所以N C G F=N B F P.所以“G C s A P F B.图 5图 6图 7考点伸展如图 6,由于 tan/EFP=tanNP8N,所以N E F P=N P B N.乂因为/P 5 N+N 1=9 0,所以/E F P+/l=9 0 .因此这种情况下，依然有BG1EF.第(1)题还有更简便的割补办法：如图7,连结EN.由于 S 四 边 畛 NBFE=SAENF+SABNF=-N F(E P +MP)=N F E M =2,2 2St,Al-N=A P2=X2 所以 y=S 边 般 AE=S 边 niNBFE+SAAEN=%2+2.4 4 4例 5 已知抛物线），=f+（2加 1）1十祖2-1 经过坐标原点，且当 0 时，y 随X的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出y=3-24。当x=a时，）二炉-31二乐一3。所以33=3。一东。所以=矩形，5CD 的周长=2（W3+.孙=2（3。一人+3-2。）二一2（。一产+y。因此当a=；时，工的最大值为 冷。此时点X的坐标为（g$。如 图3,根据对称性，点H的坐标也可以是：）。考点伸展第（2）题的思路是：如图2,抛物线的对称轴是直线x=,当 8c=1 时，点 B 的坐标为（1,0）,此时点2A 的横坐标为1,可以求得A8=2。第（2）题中，随“变化的图像如图4 所示。图 4【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+2ax-3a（a0）与 x 轴相交于A,B 两点，与 y 轴相交于点C,顶点为D,直线DC与 x 轴相交于点E.(1)当 a=-l时，求抛物线顶点D 的坐标，0 E 等于多少；(2)0 E 的长是否与a 值有关，说明你的理由；(3)设/DEO 邛，45p60,求 a 的取值范围：(4)以 DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形P D E.设 P(m,n),直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围.【答案】(1)(-1 ,4),3；(2)结论：0 E 的长与a 值无关.理由见解析；(3)-a-1 ；(4)n=-m-1 (m 1 ).【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E 坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a 的值即可判断；(4)如图，作 P M,对称轴于M,PNLAB于 N.两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当 a=-1时，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,:.顶点 D(-1 ,4),C(0,3),.直线CD的解析式为y=-x+3,E(3,0),，OE=3,(2)结论：0E的长与a 值无关.理由：,.y=a x;-2 a x -3 a,/.C(0,-3 a),D(-1,-4 a),，直 线 CD的解析式为y=a x -3 a,当时，x=3,.,.E (3,0),.O E=3,二.OE的长与a 值无关.当 忏 4 5 时，O C=O E=3 ,-3 a=3 ,*.a=-I,当。=6 0。时，在 R t Z i O C E 中，O C=4 O E=3 G ,/.-3 a=3、”,，a=-73,.,.4 5 p 6 0 ,a 的取值范围为-a -1 .(4)如图，作 P M _ L 对称轴于M,P N_ L A B 于 N.ID.,PD=PE,ZPMD=ZPNE=905,ZDPE=ZMPN=90.ZDPM=ZEPN,/.A D PX A E PN,/.PM=PN,PM=EN,VD(-1,-4a),E(3,0),.EN=4-n=3-m,n=m-1 ,当顶点D 在 x 轴上时，P(1,-2),此时m 的 值 1 ,抛物线的顶点在第二象限，/.m l./.n=-m-l(m 1).故答案为：(1)(-1 ,4),3；(2)OE 的长与 a 值无关；(3)-居aW -1 ；(4)n=-m-1 (m l).2.如图，抛物线y=。/+加+=3 0=5,；.8=。4 1 3 1 1 3 0=1,二(0,-D,.,.直线M D 的解析式为产*-1,由题意 P (叫，户+学训-3)，H ni,in-1),F(.,0).,:FH=PH,：A-in=,炉+洋 川-3)解 得 =-V 3或6 (舍弃)，当 尸 目=即 时，晒的值为 3(3)如图，：P F 是对称轴，F (0),HL -2)._ 1 _ 1V C(0,-3),：.HC =4 Z+1=2,A H=2FH=4,：.Q H I,在”A 上取一点 K,使得“K 疝,_ Z/3-竺此时 K (8 ).HQ _ K HHK HA=l,：.H0=HKHA,：.HQ.KQ _ HQ _1 _ 1 1：4 Q HK=4A HQ,：.4 Q H K s丛A HQ,：.A Q AH 一 4,.。一 电Q,.,.鼠Q+Q E=K Q+Q,.,.当 E、Q、1=|串2+3)2*K共线时，4AQ+QE的值最小，最 小 值J 8 8 43.如 图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)已知点尸(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+F G最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)如图2,连接A B,若点P是线段0 E上的一动点，过点尸作线段A B的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N (点、M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当 最 大 时，求A P O N的面积.【答案】(1)y=-W+2 x+3；(2)存在，G(1,0)；(3)2.【解析】【分析】(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式：(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点曰，连接E F交对称轴于G,此时EG+F G的值最小，先求E，F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；(3)如图2,先利用待定系数法求A B的解析式，过N作N H L x轴于H,交A B于Q,设N(m,-m2+2 m+3),则Q(m,-2 m+6)(l m 3),表示N Q=-m 2+4 m -3,证明 Q M N sz A D B,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明A N G P s a A D B,同理得P G的长，从而得O P的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可.【详解】(I)设抛物线的表达式为：y=a(x-1户+4,把(0,3)代入得：3=a(0-l A+4,a=-L 抛物线的表达式为：y=-(x -1六4=-X2+2X+3；(2)存在，如 图1,作E关 于 对 称 轴 的 对 称 点 连 接E F交对称轴于G,此时EG+F G的值最小.V E(0,3),.E(2,3),设EF的解析式为y=k x+b=-3 =b (k=3把 F(0,-3),E(2,3)分别代入，得(3=2 k +b,解得(b=-3,所以E F的解析式为：y=3x-3,当 x=l 时，y=3x l -3=0,A G d，0)；(3)如 图2.设A B的解析式为广k x-b”,把 A(l,4),比3,0)分别代入，得：二;；，；，解得所 以A B的解析式为：y=-2 x-6,过N作N H l x轴 于H,交A B于Q,设 N(m,-m:-2 m-3),则 Q(m,-2 m-6),(K m A MN 5(m-2+TV55 0,.当m=2 时，MN有最大值；过 N 作 NGJ_y轴于G,V ZGPN=ZABD,NNGP=NADB=90,A ANGPAADB,PG _BD _2 _1 _ 1 _ 1NG AD42,PG-NG-2m,1 3 4 OP=OG-PG=-m?+2m+3 m=-m2 2m+3,113=一 +SAPON 20PGN 2(-m2 2m+3)m,1=x当 m=2 时，SAPON 2 2(-4+3+3)=2.1 34.如图，在平面直角坐标系中，己 知 抛 物 线丫=a2+勾-2与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B的左侧)，与y轴交于 点C,直 线1经 过A,C两点，连 接BC.(1)求 直 线1的解析式；(2)若 直 线x=m(m 0)与该抛物线在第三象 限 内 交 于 点E,与 直 线1交 于 点D,连 接0 D.当ODJ_AC时，求 线 段DE的长；(3)取 点G(0,-1),连 接A G,在第一象限内的抛物线上，是 否 存 在 点P,使/BAP=NBCO-ZBAG?若 存 在，求 出 点P的坐标；若不存在，请说明理由.1 32 13 98_ x 2 _ _ _【答 案】(l)y=2；(2)D E=25；(3)存在点 P(9,81),使/BAP=/BCO-/B A G,理由见解析.【解 析】【分 析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和 点C的坐标，从而可以 求 得 直 线I的函数解析式：(2)根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；(3)根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得NOAC=NOCB,然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.【详 解】1 3(1):抛物线 y=&2+2 x-2,.,.当 y=0 时，得 x i=l,X 2=-4,当 x=0 时，y=-2,1 3,/抛物线y=2x2+2x-2与x轴交于A,B两 点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,.点 A 的坐标为(4 0),点 B (1,0),点 C(0,-2),直线1经过A,C两点，设直线1的函数解析式为丫=1+1),/-4 k+6=0t b=-2，得即直线1的函数解析式为y=-2 x-2；(2)直线E D与x轴交于点F,如 图1所示，AO=4,OC=2,ZAOC=90,；.AC=2 依4 x 2 _ 4A，O D=2G 5,VOD1AC,OA1OC,ZOAD=ZCAO,.,.AO D AACO,40 _4。AO k 即与二会，得 AD=竽，V EFlx 轴，ZADC=90,/.EF/OC,/.ADFAA C O,AF _ D F AD茄 一 元 一/，解得，AF=1,DF=g当 m=-寸，旧 x(-1)2+|x _2 T72，EF=25,72 8 32DE=EF-FD=25-5=25.(3)存在点 P,使NBAP=/BCO-/BAG,作 PN_Lx轴于点N,如图2 所示,.,点 A(Y,0),点 B 3,0),点 C(0,-2),.OA=4,OB=1,OC=2,.tanZOAO-；-tanzOCB=AC=2/5,/.ZOAC=ZOCB,/N BAP=N BCd/BA G,ZGAM=ZOAC-ZBAG,./BAP=NGAM,.点 G(0,-D,AC=2V5,OA=4,.OG=1,GC=1,.-.AG=x i 7,卓二/,即 二解得，G M=，.i i d(加-等=?24GM 5 2AM 9/9t a n Z GAM=5,2A t a n Z P A N=9,1 3设点P的坐标为(n,2n2+2n.2),1 3A A N=4+n,P N=2n2+2n_ 2,n +4 9,1 3解得，n)=9 ,n?=-4 (舍去),1 3 1 3 9 8当 n=9 时，2n2+2n.2=8 1,1 3 9 8工点P的坐标为(9,8 1),1 3 9 8即存在点P(9,8 1),使N B A P=N B C O-N B A G.5.如 图，以 D 为顶点的抛物线丫=乂2+6乂+:交x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点C,直线BC的表达式为y=-x+3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC上有一点P,使 PO+PA的值最小，求点P 的坐标；(3)在 x 轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q 为顶点的三角形与ABCD相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不，存在，请说明理由.【答案】(I)y=-X2+2X+3；(2)P(7,7)；(3)当 Q 的坐标为(0,0)或(9,0)时，以 A、C、Q 为顶点的三角形与ABCD相似.【解析】【分析】(1)先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c 的方程，从而可求得b、c 的值；(2)作点O 关于BC的对称点O,则 0(3,3),则 OP+AP的最小值为AO,的长，然后求得AO,的解析式，最后可求得点P的坐标；(3)先求得点D 的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明ABCD为直角三角形，然后分为AAQCsaDCB和AACQS/D CB两种情况求解即可.【详解】(1)把 x=0 代入 y=-x+3,得：y=3,：.C(0,3).把 y=0 代入 y=-x+3 得：x=3,AB(3,0),A(-1,0).f-9 +3b+c=0将 C(0,3)、B(3,0)代入 y=-x?+bx+c 得：I c=3，解得 b=2,c=3.，抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.(2)如图所示：作点O 关于BC的对称点O，则 O,(3,3).;cr与o 关于BC对称，.*.PO=PO.OP+AP=O,P+APO A=7V A D/A B.,.A E OC OA B C O/O O n,_。4 oc由一元二次方程根与系数关系得，X/2 =:a 一/.b=-23 21 5 1 3将点A （,0）,D （a,3 2 层）代入y=2 x 2.2 x.n0=x （-4”）2 _ ,（_ _ n5 2 1 2 3-a=-a a-n 3 2 2 2解得a=6或 a=0 （舍去）2 7贝!n=8 .7.（题文）如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，直线1 与抛物线丫=加/+以相交于人（1,3病,B (4,0)两点.(2)在坐标轴上是否存在点D,使得AABD是以线段A B 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标;若不存在，说明理由；(3)点 P是线段A B 上一动点，(点 P不与点A、B 重合)，过点P作 PMO A,交第一象限内的抛物线于点 M,过点M 作 M C x轴于点C,交 A B 于点N,若ABCNAPMN的面积SABC N、SA P M N满足SABC N=2 SAP M N，MN求出标的值，并求出此时点M 的坐标.3丁 +8 3火-【答案】=-辰 之+4技；D(1,0)或(0,2)或(0,2)；艰，M(#+l,2#+厮【解析】【分析】(1)由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分 D 在 x 轴上和y 轴上，当 D 在 x 轴上时，过 A 作 AD_Lx轴，垂足D 即为所求；当 D 点在y 轴上时,设出D 点坐标为(0,d),可分别表示出AD、B D,再利用勾股定理可得到关于d 的方程，可求得d 的值，从而可求得满足条件的D 点坐标；(3)过 P作 PFJ_CM于点F,利用R sADO sRsM FP以及三角函数，可 用 PF分别表示出MF和 N F,从而可表示出M N,设 BC=a,则可用a表示出C N,再利用SABC N=2 SAP M N，可用PF表示出a的值，从而可用MNPF表示出C N,可求得丽的值：借助a可表示出M 点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出 M 点的坐标.【详解】(m+n=3G m=-(1)VA(1,3.3),B(4,0)在抛物线丫=根*+以的图象上，+4n=0,解得5=4A后，.抛物线解析式为7=-扬,+4A国;（2）存在三个点满足题意，理由如下：当点D 在 x 轴上时，如 图 1,过 点 A 作 AD_Lx轴于点D,VA（1,3,.D 坐 标 为（1,0）;当点D 在 y 轴上时，设 D（0,d）,则4标=+（33-d）2,BD2=4?+d2,且48?=（4-1尸 +（3 6）2=36,ABD是 以 AB为斜边的直角三角形，.二AD2+BD2=AB2,即 1 +（3 7 5-d。+42+=36,解 得（1=笔，A D 点坐标为（0,出 炉）或（0,生五）；综上可知存在满足条件的D 点，其坐标为（1,0）或（0,至 手）或（0,专 口）；（3）如图2,过 P作 PF_LCM于点F,：PMOA,ARtAADORtAMFP,MF _ AD；.PF 0D=3居,-.MF=3V3pF,在 Rt/SABD 中，BD=3,AD=3p,；.tanN A B D=G,，/ABD=60。，设 BC=a,则 CN=Ga,在 RtAPFN 中，ZPNF=ZBNC=30,；.tan/PNF=PN-3,.FN=&PF,；.MN=MF+FN=4/PF,*SA B C N=2 SA P M N，.0 a 2 =2 x-x 4A/5P 产二 2 2,.a=2&PF,.NC=Wa=2GpF,MN 4yj3PF:而 =2 而P F=*,MN=#NC=M x 3a=/6a）二MC=MN+NC=（的 +9 a,.M点坐标为（4-a,（比+依）a）.又 M 点在抛物线上，代入可得一 /3（4-a）2+4,3（4-a）=（、后+）a,解得a=3-#或 a=0（舍去），OC=4-a=0)当 ZPAQ=ZBAC 时，PAQ2CAB,/ZPGA=ZACB=905,ZPAQ=ZCAB,/.P G AO A B C A,BC AC npiPG _ BC _ XPG AGf AD AC VW 2 3 3，解 得 X1=1,x：=0(舍去),.P点的纵坐标为，卜-1-3=6,.P (1,6),当N P A Q=N A B C 时，A P A Q s a c B A,V Z P G A=Z A C B=90 ,Z P A Q=Z A B C,/.P G A A A C B,BC _ AC：.AG=PG,PG _ AC即而一正=3,X-=31 2 5 x+x+3 3.2 2 ,13解得X|=-W （舍去）.，X 2=o （舍去）.此时无符合条件的点P,综上所述，存在点P（1,6）.10.如图，抛物线y=a x?+b x -5 与坐标轴交于A （-1,0）,B （5,0）,C（0,-5）三点，顶点为D.（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连 接 BC 与抛物线的对称轴交于点E,点 P为线段B C 上的一个动点（点 P 不 与 B、C 两点重合），过点 P作 P F D E 交抛物线于点E 设点P的横坐标为m.是否存在点P,使四边形P E D F 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.过点F作 F H _ L B C于点H,求A P F H 周长的最大值.【答案】(1)y=x?-4 x-5,顶点坐标为D (2,-9)；(2)存在点P (3,-2)使四边形P E D F为平行四2 5 衣 +2 5边形；4 P F H周长的最大值为一4.【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得：(2)求出直线B C解析式，表示P F,当P F=D E时，平行四边形存在.利Nl A P F H s B CO,应用相似三角形性质表示APFH周长，应用函数性质讨论最值即可.【详解】(1)把A (-1,0),B (5,0)代入抛物线y=a x?+b x -5,得(0 =a -h -5 f a =1 o =2 5a +5Z -5,解得：b=-4,.-.y=x2-4 x -5=(x-2)2-9,.顶点坐标为D(2,-9)；(2)存在，设直线BC的函数解析式为产kx-b(k=0),把 B(5,0),C(0,-5)代入得解得：J；.BC解析式为产x-5,当 x=tn时，y=m-5,；.P(m,m-5),当 x=2时，W-5=-3,/.E(2.-3),PF/D E”y 轴，点F的横坐标为m,当 x=m时，-4m-5,/.F(m,m2-4 m-5),.PF=(tn-5)-(m:-4m-5)=-m2-5m,/E(2,-3),D(2,-9),.D E=-3-(-9)=6,如图，连 接DF,：PFDE,.当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，即-m2+5m=6,解得mi=3,m2=2(舍去)，当 m=3 时，y=3-5=2,此时 P(3,-2),.存在点P(3,-2)使四边形PEDF为平行四边形；由题意，在RSBOC中，0B=0C=5,，BC=5 也，CABOC=10+5/2，；PFDEy 轴，ZFPE=ZDEC=ZOCB,V F H B C,A Z F H P-Z B O C=9 0,.,.P F H A B CO,C A PFH _ PF/.C BCO BC,10 4-32-/+5m）=（或 +i）（一 /+5m）即 C m*5mI 7 W八 V 0 m 5,5 _ 5 2 5艰+2 5 当时,APFH周长的最大值为 一4 一.11.如图，已知二次函数y=a x?+b x+c 的图象与x 轴相交于A (-1,0),B (3,0)两点，与 y 轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若 P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，P H，x 轴于点H,与 BC 交于点M,连接P C.求线段PM的最大值；当 P C M 是以PM为腰的等腰三角形时，求点P的坐标.9【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2-2 x-3；（2）PM.大=4P （1,-4）或（/，-2-1）.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于y 轴宜线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.【详解】3）将A,B,C代入函数解析式，（a b +e=O （a =1得+3。+c =0,解得 b=-2c =-3 =-3这个二次函数的表达式y=x，2 x -3 ；2）设B C的解析式为y-k x-b,将B,C的坐标代入函数解析式，得fH，解得 屋3，B C的解析式为y=x-3,设 M n,n-3),P (n,n：-2 n-3),3 9P M=(n -3)-(n2-2 n-3)=-n2+3 n=-(n -2)2+4,3 9当 n=2 时，P M g 汰 二&当 P M=P C 时，(-n?+3 n)2=n2+(n2-2 n -3+3)2,解得m=0(不符合题意，舍)，n2=2,n2-2 n -3=3,P (2,-3)；当 P M=M C 时，（-n2+3 n）2=n2+（n -3+3）2,解得n i=O （不符合题意，舍），n 2=3+#（不符合题意，舍），113=3 川2,n2-2 n -3=2-4 7 2,P （3-衣，2-4 艰）；综上所述：P （2,-3）或（3-#,2-4 艰）.12.如图，抛物线y=x 2+b x+c 与 x 轴交于A、B两点，B点坐标为（4,0）,与 y 轴交于点C（0,4）.（1）求抛物线的解析式；(2)点 P在 x 轴下方的抛物线上，过 点 P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与 y 轴交于点E求 PE+EF的最大值；(3)点 D 为抛物线对称轴上一点.当4BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D 的坐标；2 5#【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-5x+4；(2)PE+EF的 最 大 值 为 二.(3)符合条件的点D 的坐标5 13 5 3 4+731 13 3 4-病是(2,E)或(5,-2),点D 的纵坐标的取值范围为 y T -2 y 2.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)易得BC的解析式为y=-x+4,先证明AECF为等腰直角三角形，作 PH_Ly轴 于 H,PGy 轴 交 BC于 G,如图 1,则 AEPG 为等腰直角三角形,PE=2PG,设 P(t,t2-4t+3)(l t 3),则 G(t,-t+3),接着利用t 表示PF、P E,所以PE+EF=2PE+PF=-#+5、，然后利用二次函数的性质解决问题；(3)如图2,抛物线的对称轴为直线x=-点 的纵坐标的取值范围；4+731 4-/31由于ABCD是 以 BC为斜边的直角三角形有4+(y-3)2+l+y2=18,解 得 y尸 2,y2=2，得到5 4+731 5 4-/31此 时 D 点坐标为(2,2 )或(5,2),然后结合图形可确定ABCD是锐角三角形时点D 的纵坐标的取值范围.【详解】把 B(%0),C(0,4)代 入 y=xb x-j 得(16 +4 b +c =0 C=4解得已：，.抛物线的解析式为广X：-5x-4；(2)由 B(4,0),C(0,4),根据待定系数法易得BC的解析式为y=-x 7,二.直线y=x-m与直线y=x平行)二.直线产-x-4 与直线y=x-m垂直，.ZCEF=90s,.ECF为等腰直角三角形，嫄作 P H L y 轴于H,P G y 轴交BC 于 G,如 图 1,4 E P G 为等腰直角三角形，PE=2PG,设 P (t,t2-5t+4)(l t 4),则 G (t,-t+4),:.PF=*PH=*t,P G=-t+4 -(t2-5t+4)=-t2+4 t,A/2 也.PE=2PG=-2 t 2+2 启5 2 5#.，.P E+E F=P E+P E+P F=2 P E+P F=-依+4 凤 痣=.心 2+5依=-&(t-5)2+4 ,5 2 5 a当 t=?时，P E+E F 的 最 大 值 为 4 .5(3)如图2,抛物线的对称轴为直线x=2,5 5 5 9设 D (2,y),则 B C2=4 2+4 2=3 2,D C2=(2)2+(y -4)2,B D2=(4-2)2+y2=4+y2,当A B C D 是以B C 为直角边，BD为斜边的直角三角形时 B C2+D C2=B D2,5 9 5 13即 3 2+(2)2+(y-4)2=4+y 2,解得 y=5,此时 D 点坐标为&)；当A B C D 是以BC 为直角边，C D为斜边的直角三角形时，B C2+D B2=D C2,9 5 5 3即 3 2+4+y 2=(2)2+(y-4)2,解得 y=-1,此时 D 点坐标为(2,-2)；5 13 5 3综上所述，符合条件的点D的坐标是(5,E)或(5,-2).5 9 4 +7 3 1当A B C D 是以BC 为斜边的直角三角形时，D C2+D B 2=B C2,即(2)2+(y -4)M+y2=3 2,解得y 尸 2 ,4-3 1 5 4