中考数学相似三角形分类 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点（解析版）.pdf

证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练一、单选题1.已知AA5 c 与 )相似，且 NA=N D,那么下列结论中，一定成立的是()A./R=/EAB ACB.-=-DE DFC.相似比为 D.相似比为高三DE EFAn2.如图，平行于B C的直线DE把 ABC分成的两部分面积相等，则为()AB3.如图，在平行四边形ABCD中，E 为 CD上一点，DE：EC=2：3,连接AE、BD,且 AE、BD交于点F,则 D F：BF等 于()A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：24 .如图，已知ABCD,AD与 CD 相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为()A.BO:CO=1:2 B.CO:BC=1:2C.4 5:0 0 =3:2D.A B:C D =:25.已知AABCSADEF,且相似比为2:3,则 AABC与N D E F的对应高之比为（）A.2:3B.3:2C.4:9D.9:46 .如图，以 为 顶 点 的 三 角 形 与 以。，旦尸为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A.2:1B.3:1C.4:3D.3:2A D A0 37.小李家承包了两块三角形土地AABC和山 下。，已知=-,AB BC AC 4且AABC的面积为9m 2,则AA/BC的面积是（）A.4m2 B.12m 2 C.16m2 D.6 G m?8.若 m、n、a、b 成比例线段，则下列各式正确的是（）A.m:n=a:b B.m：n=b：a C.a：b=n:m D.a：m=n:b9.如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4 倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.16 倍10.已知CD是 R JA B C 斜边上的高，则下列各式中不正确的是（）A.BC2=BDABC.AC2=ADABB.CD2=BDADD.BCAD=ACBD1 1.如图，在正方形网格中，ABC和ZDEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的 是（）A.位似中心是点B,相似比是2：1B.位似中心是点D,相似比是2:1C.位似中心在点G,H之间，相似比为2:1D.位似中心在点G,H之间，相似比为1:21 2.如图，在 AABC中，D E/B C,D B =2 A D,D E =4,则 BC边的长等于（）A.6 B.8 C.1 0 D.1 21 3.如图，中，点。在线段A6上，且 N 84D=NC,则下列结论一定正确的是（）B n cA.A B2=A C B D B.A B A D=B D B CC.A B2=B C B D D.A B A D=B D C D1 4.如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距 墙 1.8 米，B D长 0.6 米，则梯子的长为（）JA.5.6 米 B.6 米 C.6.1 米 D.6.2 米15.两个相似多边形的面积之比为1:3,则它们的周长之比为（）A.1:3 B.1:9 C.1：V3 D.2:3二、填空题16.如图，已知矩形ABCD中，AB=6,AD=8将矩形ABCD沿直线M N翻折后，点 B恰好落在边AD上的点E 处，如果AE=2AM,那么CN 的长为.17.如图，点 D、E 分别在 AABC的边 AB、A C ,且 NADE=NC,若 DE=3,BC=6,A C=8,则 AT=.18.如图，点 D、E、F 分别位于AABC的三边上，满足DEBC,EFA B,如果AD:DB=3:2,那么 BF:FC=.19.如图，在AABC 中，AB=9,AC=6,D 为 AB 边上一点，KAA B C A A C D,则AD=A n i2 0 .如图，在 AABC中，若。E/8 C ,=一，D E =4cm,则 的长为 cm.A B 22 1 .已知ABCS V ATTC,A B =4 cm,AB=3cm,A。、AD分别为 A B C与V49C的中线，下列结论中：A D:AD=4:3 ;AABDsa ABTy；AAB。S VABC;/MBC与 V A 7/C”对应边上的高之比为4:3 .其 中 结 论 正 确 的 序 号 是.2 2 .如图，从点A（0,2）发出一束光，经 x轴反射，过点8（5,3）,则这束光从点A到点B所 经 过 的 路 径 的 长 为.2 3 .汪老师要装修自己带阁楼的新居（如图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯A C时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为 1.7 5 m.他量得客厅高A 8=2.8 m,楼梯洞口宽AF=2m,阁楼阳台宽EF=3m.要使墙角尸到楼梯的竖直距离FG为 1.7 5 m,楼梯底端C到墙角D的距离C D是 m.24.已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4,另一个三角形最长边长为12,则另外两边x、y 的值为.25.如果两个相似三角形的周长的比为1 ：4,那么周长较小的三角形与周长较大的三角 形 对 应 角 平 分 线 的 比 为.26.已知AABCS ADEF,A M、D N 分别为B C 边，E F 边上的高，且 AM=3,DN=9,已知ADEF的面积为27,那么AABC的面积为.27.如图，AB是半圆。的直径，ZBAC=30,BC为半圆的切线，且 B C=4百，则圆心O 到 AC的距离是.28.如图,4 8 是。的直径,AB=2,过点A作。的切线并在其上取一点C,使得AC=4B,连 接 0 c 交。于点。，8。的延长线交AC于点E,则 AE=.29.若 ABCs/ABC,ZA=35,Z C=8 5 ,则/B=,ZB=30.如图，Z A B D =N B D C =90,Z4=NC3O,A3=3,3 0 =2,则 CO=DD E 231.如图，ABC中，DEBC,=一 ,ADE的面积为8,则 ABC的面积为B C 3三、解答题32.已知：如图，AB是半圆。的直径，弦 CDA B,动点P、Q 分别在线段OC、CD上，且 DQ=OP,A P的延长线与射线0 Q 相交于点E、与弦CD 相交于点F(点F 与点4C、D 不重合)，AB=20,cos N A O C=1.设 OP=x,aCPF 的面积为 y.求证：AP=OQ;(2)求 y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;(3)当aOPE是直角三角形时，求线段0 P 的长.备用图33.如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中30,ND4B=45。，点 O 为斜边AB的中点，连接CD交 AB于点E.(1)求证：A,B,C,O 四个点在以点。为圆心的同一个圆上；(2)求证：C平分/4C B;(3)过点。作。尸BC交 AB于点F,求证：BO2+OF2=EFBF.34.已知：如图，在AABC中，点 D、E 分别在边AB、AC上，DEB C,点 F 在边AB ,BC2=BFBA,CF 与 DE 相交于点 G.(1)求证：DFAB=BCDG；(2)当点E 为 A C中点时,求证：2DFEG=AFDG.35.如图，已知且A E、A E 是角平分线，A D、A。是中线.求证：AE/E A D E .36.如图，已知梯形A B C D中，AO ,对角线A C、3。交于。.已知SA O D=1,S&AOB=3.求：S梯形A B C D -37.如图,A,B 是公路1(1为东西走向)两旁的两个村庄，村庄A 到公路1的距离AC=1km,村 庄 B 到公路1的距离8。=2 k m,公路上两点C,D 之间相距4km.(1)试求出A,B 两村之间的距离.(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹)，并求出此站点P 到点D 的距离.北k j东38.如图，AB是。的直径，AC是弦，直线EF经过点C,ADLEF于点D,ZDAC=ZB AC(1)求证：EF是。0 的切线；(2)求证：AC2=AD AB;(3)若。O 的半径为2,ZACD=30%求图中阴影部分的面积.39.如图已知Q B 是半径，弦 E尸 垂 直 于”，点 A 是 H R 上的一点，8 4 和 0。相交于另一点C,过点C 的切线和痔的延长线交于点。，(1)求证：D A =D C -,(2)当。尸：E尸=1:8,时，求 A B A C 的值.40.如图，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从 A 点出发，沿着A B 以每秒 4cm的速度向B 点运动；同时点Q 从 C 点出发，沿着C A 以每秒3cm的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒.(1)x 为何值时，PQBC;(2)是否存在某一时刻，使A A P as/iC Q B?若存在，求出此时A P的长；若不存在,请说明理由；41.在 B C D 中，NABC的外角NABG的平分线BE分别交DA,CA的延长线于点F、E.(1)求证：AB=AF;AE(2)当 AB=3,BC=5时，求一的值.AC42.如图，已知AB是O O 的直径，点 C 是。上一点，连接BC,A C,过点C 作直线CD_LAB于 D,点 E 是 AB上一点，直线C E交。0 于点F,连 接 B F,与直线CD 交于点 G 求证：BC2=BG BF.43.如图，已知抛物线y=；x2+bx+c经过AABC的三个顶点，其中点A(0,1),点 B(-9,10),AC*轴，点 P 是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y 轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q 为顶点的三角形与AABC相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.4 4.如图，是。的直径，C 是 A B 的中点，。的切线3。交 A C 的延长线于点E 是 0 8 的中点，CE的延长线交切线3。于点/，A F交O O于点H ,连接.(1)求证：A C C D;(2)若。8=2,求 8”的长.参考答案1 .D【思路点拨】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论.【精准解析】解：可以与E 对应，也可以与F 对应，./B=N E 或NB=NF,A 不一定成立；An A.r Afi Ar同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，=一上或 ,B 不一定成DE DF DF DE立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，相似比可能是二，也可能是,CDE DF不一定成立；VZA=ZD ,即N A 与N D 是对应角，它们的对边一定是对应比，即 BC与 EF是对应比，,相似比为 绘，；.D 一定成立，EF故选D.【考点知悉】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的.2.D【思路点拨】证明ADES AA B C,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.【精准解析】解：；DE把 ABC分成的两部分面积相等,/SAADE=-SAABC,2,:DEBC,AAADEAABC,SADE _（A 2 _ j _一二一A B-2）.A D V 2 -=-,A B 2故选：D.【考点知悉】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.3.A【思路点拨】D E 2利用平行四边形的性质可得出ABCD且AB=CD,结合DE:EC=2：3可得出=一，D C 5由ABCD可得出/DEF s/BAF,再利用相似三角形的性质即可求出DF：BF的值.【精准解析】解：四边形ABCD为平行四边形，；.ABC D,且 AB=CD.VDE:EC=2：3,.DE_ D E 2 D E D C D E +E C _ 5 8 AVAB/CD,：.DEF/XBAF.DF _ DE _ 2 -=-=一.BF BA 5故选：A.【考点知悉】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE:EC=2:3找出DE:BA的值是解题的关键.4.B【思路点拨】根据ABC D,易证AAOBsaDOC,利用对应边成比例即可解答.【精准解析】解：；ABCD,AAAOBADOCBO:CO=A B:CD=1:2,故A、D选项正确；B、0:0 0 =1:2,CO:DO=2:CO:BC=2:(1+2)=2:3,故本选项错误.C、V AO:DO=1:2,AO:QO=(l+2):2=3:2,故本选项正确；故选：B.【考点知悉】本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质.5.A【思路点拨】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案.【精准解析】V A A B C A D E F,且相似比为2:3,AABC与ADEF的对应高之比为2:3,故选A.【考点知悉】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.6.A【思路点拨】通过观察图形可知N C 和N F 是对应角，所以AB和 DE是对应边；BC和 EF是对应边，即可得出结论.【精准解析】解：观察图形可知N C 和N F 是对应角，所以AB和 DE是对应边；BC和 EF是对应边，：BC c ,BC=12,E F=6,=2:1.EF故选A.【考点知悉】此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.7.C【思路点拨】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题.【精准解析】a”AB BC AC 3解：-=-=-=,A E BV AC 4AABC S,SAABC:SAA-B C-9:16,AABC的面积为9m2,/.AH?的面积是16m2 ,故选C.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，属于简单题，熟悉相似三角形的性质是解题关键.8.A【解析】【思路点拨】线段成比例，找准对应关系即可.【精准解析】m、n、a、b成比例线段m n=a:b故选A【考点知悉】此题重点考察学生对线段成比例的理解，抓住对应关系是解题的关键.9.B【思路点拨】根据相似三角形的周长比等于三角形的相似比即可解题.【精准解析】.三角形保持形状不变，.扩大后的三角形与原三角形相似,而周长扩大到原来的4 倍，这个三角形的边长扩大到原来的4 倍，故 选 B.【考点知悉】本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系，属于简单题，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.10.D【思路点拨】根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，进行判断即可.【精准解析】解：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得:A、C都正确.根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B 选项正确；综上可得:A,B、C 选项都正确.故选D.【考点知悉】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握射影定理的内容并灵活运用.1 1.c【思路点拨】由位似图形的定义“如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个交点叫做位似中心.”可知位似中心在点G,”之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论.【精准解析】解：A、位似中心在点G,，之间，故 A选项错误；B、位似中心在点G,H之间，故 B选项错误；C、位似中心在点G,”之间，相似比为2:1,故 C选项正确；D、相似比为2:1,故 D选项错误；故答案为C.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质与位似图形的定义.比较简单，关键熟记定义，结合图像判断即可.1 2.D【思路点拨】由 D E/B C 可证明ADES AA B C,根据对应边成比例求出BC即可.【精准解析】V D E/B C,/.A D E A A B C,AD DE 1一 =一 =-,AB BC 3ABC=3DE=12.故 选D.【考点知悉】本题考查相似三角形的性质与判定，平行于一边的直线和其它两边所构成的三角形与原三角形 相 似，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键.13.C【解析】【思路点拨】先证明ABADS A BC A,则利用相似的性质得AB:BC=BD:A B,然后根据比例性质得到AB2=B CB D.【精准解析】VZBAD=ZC,而NABD=/CBA,.BADABCA,.*.AB:BC=BD:AB,.*.AB2=B C B D.故 选C.【考点知悉】本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理.14.B【解析】分析：由题意易得DEB C,那么可得A D E s a A B C,利用对应边成比例可得A B 的长.详解：如图：,CDEVAC,BCLAC,.DE/BC,：./ADE/ABC,AB BC=,且 DE=1.8,BC=2.AB-AD=0.6.AD DE.AB=6.故 选 B.点睛：本题考查了相似三角形的应用：三边对应成比例.15.C【解析】相似比是1 ：百，所以周长比是1：百，选 C.16.8-3 后【思路点拨】如图，过 N 作 NF_LAD于 F,可得NF=AB,根据矩形的性质和折叠的性质可得NMEN=NB=90。，EN=BN,根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得N A M E=/N E F,进而可证明ZkAEMsFNE,根据AE=2AM可求出EF的长，在 RsFNE中，利用勾股定理可求出EN 的长，进而可求出C N 的长.【精准解析】如图，过 N 作 NFJ_AD于 F,四边形ABCD是矩形，AB=6,；.NF=AB=6,矩形ABCD沿直线M N翻折后，点 B 恰好落在边AD上的点E 处,；.EN=BN,NMEN=/B=90,.,.ZAEM+ZNEF=90o,：NAEM+NAME=90,；./A M E=/N E F,又,.,NA=NEFN=90,.AEMAFNE,.AM EF AE-N F VAE=2AM,NF=6,；.EF=3,*-BN=EN=7NF2+EF2=V62+32=3亚，VBC=8,；.CN=BC-BN=8-3j?,故 答 案 为:8-375【考点知悉】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.17.4【思路点拨】根 据NADE=NC及N A为公共角可得AADESACB,根据相似三角形的性质可得AD DF=，进 而 求 出AD的值即可.AC BC【精准解析】VZADE=ZC,N A为公共 角，.ADEAACB,.AD DE AC-BC)VDE=3,BC=6,AC=8,AD 3 一 ,8 6解 得:AD=4,故 答 案 为：4【考点知悉】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.18.3:2【精准解析】A n Ap 3 CF CF 2 RF 3因为QEBC,所以二；=/=彳，因为E/AB,所以二7 二 二=彳，所以=二=大,故答案DB EC 2 EA BF 3 FC 2为：3:2.19.4.【思路点拨】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长.【精准解析】A AAB AC.ABC00 ACD,AC AD9 6VAB=9,AC=6,.一 =，解得：AD=4.6 AD故答案为:4.【考点知悉】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质.20.8【思路点拨】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果.【精准解析】解：DEBC,.,.ADEAABC,.DE AD _ I B C -A 8 -2H n4 I即一=-BC 2BC=8(cm)故 答 案 是：8【考点知悉】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键.2 1.【思路点拨】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【精准解析】解：.ABCS VABC,AD A D 分别为 A B C与 VAEC 的中线,.AB AD AB AD4故正确;-BCBD 2 BC ABBDBC 2BC AB.A B O s a A B Z)，故正确;.八 钻。与V4?C对应边上的高之比为4:3 ,故正确;而/ABD与VAffC不 相 似，故 错误；.正确的结论有：;故答案为：.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.22.5 72【思路点拨】先过点B 作 B D x轴于D,再由A、B 的坐标确定，即可得OA,BD,OD的长度，由题意可证得Z iA O C saB D C,根据相似三角形的对应边成比例，即可求解.【精准解析】解:如图,过点B 作 B D Lx轴于D,VA(0,2),B(5,3),/.OA=2,BD=3,OD=5,由反射定律可得：ZACO=ZBCD,XVZAOC=ZBDC-90.,.AOCABDC,AOA:BD=OC:DC=AC:BC=2:3,：.0C=2,0D=3在 Rt/iBCD 中，CD=3,BD=3.BC=J32+32=3 收又.？（：BC=2:3.AC=2BC=2血3，AC+BC=5 0.故选5 V2.【考点知悉】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质，解此题的关键是作出辅助线，构造相似三角形.23.1.8【思路点拨】根据题意易知 A B C sG 以，即 黑=空，代入即可求解.AF FG【精准解析】根据题意有AF8C,ZACB=ZGAF,又 NABC=NAFG=90,/.ABCs/XG 矶.BC _ AB.赤 一 拓 得 8c=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m).【考点知悉】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形.24.6 和 9【思路点拨】根据三角形相似对应边成比例即可求出x、y的值.【精准解析】已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4,另一个三角形最长边长为12,相似比为士=!=2=二，12 3 x y，x=6,y=9.【考点知悉】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比.25.1 ：4【解析】【思路点拨】根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题.【精准解析】解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4,.三角形对应角平分线的比为1:4.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，属于简单题，熟悉相似三角形的概念是解题关键.26.3【思路点拨】先根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出 ABC的面积.【精准解析】解：VAABCADEF,AM,DN 分别为 BC 边，EF边上的高，且 AM=3,DN=9,1-3-3-9-加8A SAABC:SADEF=1:9=SAABC:27解得 SAABC=3.故答案为3.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，属于简单题，熟悉相似三角形的性质是解题关键.27.3【解析】【思路点拨】首先过点0作AC垂线，再利用三角形相似就可以求出0到A C的距离.【精准解析】解:过点O作ODLAC于D,：BC是。O的切线，ZABC=90,VODIAC,，ZADO=90,AAABC-AADO,OD-二BCAO AO-BC=，即OD=-AC AC在AABC 中,NBAC=30；.AC=2BC=8 6AAB=12（勾股定理）.OA=6=BO,【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，属于简单题，找到对应线段，列出比例式是解题关键.28.75-1【思路点拨】连 接A D,则根据已知可证ACDEsaCAD,ACDEACAD,.CD:CA=CE:C D,即 CD2=CACE,再 利 用 已 知 条 件AB=AC=2,利 用 勾 股 定 理 得O C的 长，从 而 求 得E C,再 求AE=AC-EC.【精准解析】连接A D,如图，:A C 为切线，.,.AB1AC,VA B为直径，.NADB=90,.ZDAC+ZDAB=90,NDAB+NB=90,.ZDA C=ZB,.NB=NODB=NEDC,；./DAC=NEDC,而 NDCE=/ACD,.CDEACAD,ACD:CA=CE:C D,即 CD2=CACE,在 RMAOC中，OC=炉 覆=后，.CD=V5 1,：AC=AB=2；.2C E=（V5-1）2,解得CE=3-V5,.AE=AC-CE=2-（3-舟=布-1.故答案 为 百-L【考点知悉】本题考查切线性质，相似三角形对应边成比例，两角分别相等的两个三角形相似，等腰三角形的性质.29.60 60【思路点拨】通过A A B C saA B C 彳导出NA=NA，ZB=ZB,N C=N C,再由三角形内角和等于180,通过计算就可以得出.【精准解析】解：通过A A B C saA B C 得出/A=N A，Z B=Z B Z C=Z C,再由三角形内角和等于180,所以NB=NB=180-N35-N85=60.故答案为：60;60.【考点知悉】本题主要考查相似三角形的性质和三角形内角和定理，关键在于鱼之间的关系.430.一3【思路点拨】由/A B D =/B D C =90,/A =N C B D 可证明AABDS/BDC,根据相似三角形的性质即可求出CD 的长度.【精准解析】,*/A B D =BDC=90,/A =/C B D ,AAABDABDC,，CD:BD=BD:AB,r n-BAB_434故答案为一3【考点知悉】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成 比 例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.31.18.【解析】.在ABC 中，DEBC,.ADEAABC.DE _ 2BC3ADEABC=()2=BCs9-4=B C4ASADE=18.49,32.(1)详见解析；y=3 二 60.史 300,x的取值范围 为 史x.ZAO C=ZOD C.在 AAOP 和 中，PO=QD W ZA CB;(3)由(2)知,NBCD=45,：ZABC=60,:.NBEC=75。,：.ZAED=75,：DF/BC,；.NBFD=NABC=60。,ZABD=45,：.Z B F=1800-NBFD-NABD=W=NAED,Y NDFE=NBFD,：.ADEFS ABDF,.DF EF蕨 一 而：.DF1=BFEF,连接 0 0，则/8 0。=90,OB=OD,在Rt A D O尸中，根据勾股定理得，。2+0尸=。产,二0 +0产=8尸 后 尸，即 BO2+OF2=EFBF.【考点知悉】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.34.(1)证明见解析；(2)证明见解析.【思路点拨】(1)由 BC2=BF,BA,NABC=/CBF 可判断ABACS/BC F,再由 DEBC 可判断BCFS ADGF,所以 OGFS AB A C,然后利用相似三角形的性质即可得到结论；(2)作 AHBC交CF的延长线于H,如图，易得AHD E,由点E 为AC的中点得AH=2EG,AH AF再利用AHDG可判定AAH FS/X/,则根据相似三角形的性质得 x=然后DG DF利用等线段代换即可.【精准解析】证明：(1)VBC2=BFBA,/.BC:BF=BA:BC,而 NABC=NCBF,:ABACSBCF,VDE/7BC,:ABCFSDGF,*:.ADGFSR A C,ADF:BC=DG:BA,，DFAB=BCDG;(2)作 AHBC交 C F的延长线于H,如图，.,DEBC,A AH/DE,.点E为A C的 中 点，.EG为的中位线,，AH=2EG,VAH/DG,:.AHFS ADGF,.AH AFDGDF.2EG AF DG DF即 2DFEG=AFDG.【考点知悉】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系.3 5.见解析【思路点拨】AF)A n AP A ft由相似三角形的性质，得到=F=/BAC=NBAC,然后利用AD AB AE AB角平分线性质和中线的定义，得 到ZB=NB,=，则ABD s AABD,BD ABAn Ar然 后 得 到NDAE=ZDAE,结 合=,即可得至U AAQE-ADE.AD AE【精准解析】证 明：AD是两个三角形的中线，A E、4E是两个三角形的角平分线，VABCsAABC,ADABAEAB/.-=ZBAC=ZBAC.ADABAEAB.AD _A EZBAE=-NBAC=-ABAC=NBAEADAE22乂 VA8CSAA B C,N5=ZBAB BC又 点。、点D0为B。、B D中点,2 2*BD BC AB .BD BC AB：.AB。s AABD.；ZBAD=ABAD：.NDAE=4 DAE,，AAOEs 4 4E.【考点知悉】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形判定的方法和相似三角形的性质.36.16【思路点拨】由S8 =l，5/0=3可 得 心 皿=穿 由A D B C可 证A 4O D A B O C可得cT =(C R)，根据 S 梯 形 A SC O =AAOD+S OB+BOC+ACOD 即可计算出梯形 ABCD 的%8OC U”面积.【精准解析】解：:SAAOQ=I S4AOB=3.S O Q =J_SMOB OB 3A D/BCAAOD ABOC.SgoD _ /D 2 _ 1 q Q C Q ABOC _ 7 4.0 0 7 00c=SMOB=3 S 佛 形 人seo=S 必 OQ+S OB+S砧 0C+Saco。=1+3+9+3=16【考点知悉】本题考查了相似比例与面积的关系，掌握面积间的关系是解题的关键.37.(1)A,B两 村 的 距 离 为5km;(2)点P到 点D的距离是fkm.O【解析】【思路点拨】连 接 AB交 1与点E,易证三角形ACE与三角形BDE为相似三角形，则分=差,CD=4,CE AC则可求出CE和 D E,再利用勾股定理分别求出AE、BE即可求解；(2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到点A、B 的距离相等，应在线段 A B 的垂直平分线上，做出A B 的垂直平分线MN,与 1的交点P 即为所求，设PD=xkm,因PB=P A,所以4c2 +CP2=P D2+B D2,代入x 和数值求解x 即可.【精准解析】解：(1)如图，连接A B交 1与点E,乙4EC=4BED(对顶角),由题意知乙4CE=zBDE=90,三角形ACE与三角形BDE为相似三角形，差=哭=2,CE AC由题意知DE+CE=4,则CE=(D E=|,AB AE+BE=JAC2+CE2+y/BD2+D E2=5,所以A,B 两村的距离为5km;(2)分别以点A,B 为圆心，以大于：A B 的长为半径作弧，两弧交于两点M,N,作直线M N,直线M N交 1于点P,点 P 即为所求，如图：B设PD=x k m,由PB=P A,所以AC?+CP2=PD2+BD2,得以+(4-x)2=x2+22,解得x=”，o.点P 到点D 的距离是表m.o【考点知悉】本题考查尺规作图、相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.38.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)述 一 2 万.2 3【思路点拨】(1)连接 0 C,根据 OA=OC 推出 NBAC=NOCA=NDAC,推出 OCA D,得出 OC_LEF,根据切线的判定推出即可.(2)证A A D C sA C B,得出比例式，即可推出答案.(3)求出等边三角形O A C,求出AC、Z A O C,在 R sA C D 中，求出AD、C D,求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案.【精准解析】解：(1)证明：连接0C,VOA=OC,AZBAC=ZOCA.VZDAC=ZBAC,AZOCA=ZDAC.，OCAD.VADEF,A 0C 1EF.VOC为半径，EF是。O 的切线.(2)证明：:A B 为。O 直径，AD1EF,/.ZBCA=ZADC=90.VZDAC=ZBAC,AAACBAADC.AD AC*AC-ABAAC2=AD-AB.(3)VZACD=30,ZOCD=90,J ZOCA=60.VOC=OA,.,.OAC是等边三角形.AAC=OA=OC=2,ZAOC=60.在 RtAACD 中,AD=AC=1.由勾股定理得：D C=6,阴影部分的面积是S=s梯 形OCDA-S扇 形OCA=4X(2+1)X石-丝 三21=九5一2万.2360 2 339.(1)见解析；(2)24.【思路点拨】(1)作出辅助线，利用等角的余角相等即可解题，(2)利用相似比，找到比例中项即可解题.【精准解析】(1)连接O C,则有N 1=N 2,又C O是切线，二。，8,而N 4与N 1互余，N 3与N 2互余，/.Z3=Z4,D A =D C（2）,:D F =6,E F=8 日又：C D1=D F D E =.9 6 =1 8,C D =3y/2=A D*-A F =3V 2-V 2=2V 2,A E =，AB AC=AE AF24.【考点知悉】本题考查了相似三角形的性质，作出辅助线是解题关键.,、10,、40 一40.(1)x=;(2)A P=cm 或 2 0 cm.3 9【思路点拨】当P Q B C时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于A P,P Q,A B,A C的比例关系式，我们可根据P.Q的速度，用时间x表示出A P,A Q,然后根据得出的关系式求出x的值.(2)本题要分两种情况进行讨论.已知了 NA和NC对应相等,那么就要分成A P和C Q对应成比例以及A P和B C对应成比例两种情况来求x的值.【精准解析】解：(1)：P Q B C,Z A Q P=Z C.又N A =N A,r.A A P Q A A B C,.AP _AQ”4 x 3 0-3 x即=-，2 0 3 0解得x=即当 x=时，P Q/7 B C.(2)能相似.V A B =B C,A Z A=Z C,/.APQ和ACQB相似可能有以下两种情况:AP AQ APQ-ACQB,=CQf Co即 4 Y3x30-3x20解 得X=.经 检 验，x=是上述方程的解.40.,.当 A P=4 x=cm 时，ZkAPQs/CQB;AP AQA P Q s C B Q,可 得 育=C )4x 30-3x即=203x解 得x=5或x=-1 0（舍去）.经 检 验，x=5是上述方程的解.，当 AP=4x=20 cm 时，AAPQACBQ.40综 上 所 述，当A P的长为cm或20 cm时，A PQ与ACQB相 似.9【考点知悉】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键.AF 341.(1)详见解析；=-【精准解析】【试题分析】(1)运用模型“角平分线加平行，出现等腰三角形”证明;(2)运用相似三角形对应边成比例求解即可.【试题解析】(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC,，DFBC,，/AFB=NFBG,：BF 平分 NABG,/.ZABF=ZFBG,NABF=NAFB,.,.AB=AF;(2)：FDCG,7.EFAAEBC,.AE _ AF _ AB _ 3*CE BC-B C-5；.AE 3A C -2AF 3故答案：AC 24 2.证明见解析.【精准解析】试题分析：要证明即要证明 B C G s/X B*,已知NG8C=NC8/，即要证明/B C G=N F,由于即要证明N A=/B C G,由已知条件不难证明.试 题 解 析：Y A B是。的直 径，二乙4 cB=90。，二 ZBCD+ZACD=9O,J