统计概率-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破限时集训（新高考专用）.pdf

专题0 3 概率统计姿 题 型简介数列一般作为全国卷第1 8题 或 第1 9题或者是2 01统计案例分析2概率分布列3概率赛制问题4概率决策问题5概率与其他知识点交叉新课标对于概率统计中的情景要求比较高，一般是比较接近生活，接近热点的一些素材作为导入依据，更能提体现核心素养的要求。争典 例 在 线题型一：1统计案例分析一、解答题1.我国5 G技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了 2 0 2 2年1 5月某商品的线上月销售量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）的情况如下表示.月份12345售价X （元/件）6 0 5 6 5 8 5 7 5 4月销售量），（千件）5971 0 9 求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合 与*的 关 系（当|伯。7 5,1 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0。1）;（2）建立y关于x的线性回归方程，并估计当售价为5 5元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？若每件商品的购进价格为（O.5 x+2 5）元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）(%-可(%-,)参考公式：对于一组数据(%,)(，=1,2,3,)，相 关 系 数 厂=下%下-:，其回归直线副一他(E力 a-可(y-刃亍=服+&的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=上-,a=y-b x.参考数据：7 5 2.2 3 6.(七-元=1【答案】-0.7 8,可以用线性回归模型拟合$=-0.7X+4 7.9,当 5 5 元/件估计可销售9.4 千件当商品售价为5 9 元/件时，可使得该商品的月利润最大.【详解】(1)由已知数据可得亍=6 0 +5 6 +5 8 +5 7 +5 45一 _ 5 +9 +7 +1 0 +9=5 7,y =-=8,、(X,一 寸=7 32+(-1)2+12+02+(-3)2=2 4,V =1归一 才=V(-3)2+l2+(-D2+22+l2=4,5(x,.-x)(x-7)=3 x(-3)+(-l)x l+lx(-l)+0 x 2 +(-3)x l=-1 4 ,i=l所以相关系数=()(-)i=l_序T序f-1 42 岳4 -0.7 8因为卜|0.7 5,所以)与工有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合.(士 一 可(必 一 刃 _1 4(2)由于 人 口-=-0.7,ZU-)2 201=1”=歹一宸=8 -(-0.7)x 5 7 =4 7.9，所以旷 关于x的线性回归方程为9 =-0-7 X+4 7.9,当 x =5 5 时，y =-0.7 x 5 5+4 7.9 =9.4,故当售价为x =5 5 元/件时，该商品的线上月销售量估计为9.4 千件.(3)设每月的利润为 Z 元，K i Z=1 0 0 0(x-0.5 x-2 5)(-0.7 x+4 7.9)=5 0(-7 x2+8 2 9 x-2 3 9 5 0),当工=哼8 2 95 9 时，Z取得最大值.即当商品售价为5 9 元/件时，可使得该商品的月利润最大.1 8 2.4 7 9.2 ,1 8 2.4 -7 9.2-1-=得，I n y =ln(a xb)=na+binx f u =nx9 v =I n y ,c=lna,则 y =c+加/.由表中数据可得，b=J-=三=0.2 5,Z(,-)2 16J=1贝 IJ c=v-bu-0.2 5 X 警=4.3 9 9 ,所以 =4.3 9 9 +0.25M.即In 夕=4.3 9 9 +0.2 5 In x=In e4 3 9 9.x,因为小 为 8 1，所以$=8 1，故所求的回归方程为y =8 i f.(2)设年收益为W万元，则卬=4),_ 工 一 12 0 =3 2 4 炉_ 犬-12 0，对W=f(x)求导，得/8)=8 1;3 _ 1，令8 民3_1=0,解得犬=2 4 3 指”243X =351,当x e(0,3 5 1)时，f(x)0,/单调递增,当x e(3 5 1,+o o)时,f(x)0,7 单调递减,因此，当x =3 5 1时 W有最大值，即该公司每年投入3 5 1万元营销费用时;该产品一年的收益达到最大.题型二：概率分布列3小陈同学每道题答对的概率均为羡2，每道题是否答对互不影响.43求小陈同学有机会答题的概率；(2)记 X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求 X的分布列和数学期望.【答案】分布列见解析,E（X）=16 4【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A ,所以P（A）=1-P（可-|=，所以小陈同学有机会答题的概率是葛.（2）X的所有可能取值为0,5,10,15,2 0,所以 P（X =0）=2 0)=|)三所以X的分布列为:+,15=x5-1-2 0 x -1 =5 5,124 41.近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在A,B 两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了 1 0 0 名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满 分 1 0 0 分），将数据分成6 组：4 0,50）,50,6 0）,6 0,7 0）,7 0,80）,80,90）,90,1 0 0 ,并整理得到如下频率分布直方图：/小 区 方案一请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民 欢 迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；估计A小区满意度得分的第8 0 百分位数；以样本频率估计概率，若满意度得分不低于7 0 分说明居民赞成推行此方案，低于7 0 分说明居民不太赞成推行此方案.现从8 小区内随机抽取5 个人，用 X表示赞成该小区推行方案的人数，求 X的分布列及数学期望.【答案】方案一，二的满意度平均得分分别为7 2.6,7 6.5,且方案二的措施更受居民欢迎；（2）第 80 百分位数为85分；（3）分布列见解析，4.【详解】（1）设 4小区方案一的满意度平均分为上贝匹=(4 5 x 0.0 0 6 +55 x 0.0 1 4 +6 5 x 0.0 1 8+7 5 x 0.0 3 2 +85 x 0.0 2 0 +95 x 0.0 1 0)x 1 0 =7 2.6 ,设B小区方案二的满意度平均分为J ,贝吁=（4 5 x 0.0 0 5+55 x 0.0 0 5+6 5 x 0.0 1 0 +7 5 x 0.0 4 0 +85 x 0.0 3 0 +95 x 0.0 1 0）x 1 0 =7 6.5,因为 7 2.6 7 6.5,所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；（2）因为前 4 组的频率之和为 0.0 6+0.1 4+0.1 8+0.3 2 =0.7 0.8,所以第80 百分位数在第5 组，设第 80 百分位数为 x,贝 IJ 0.7 +（x 80）x 0.0 2 0 =0.8,解得 x=85,所以A小区满意度得分的第8 0 百分位数为85分；（3）由题意可知方案二中，满意度不低于7 0 分的频率为（0.0 4 0 +0.0 3 0+0.0 1 0）x l 0 =0.8,低于7 0 分的频率为(0.0 0 5+0.0 0 5+0.0 1 0)x 1 0 =0.2,现从8 小区内随机抽取5 个人，则 X:台卜1）,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=O)=C；13 1 2 5尸(x=i)=c；-叱2）=呜必噎,引=3）小冏嘿2p(X=4)=G卜翁 P（X=5）=C4 y =1 0 2 45)3 1 2 5所以X的分布列为X012345P143 21 2 82 561 0 2 43 1 2 56 2 56 2 56 2 56 2 53 1 2 54山：项分布知数学期望E（X）=5x g =4.题型三：概率赛制问题1.某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A,B,C三个部门分别有3,4,4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前 3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是g）.（1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X,求 X的数学期望.【答案】（1）|（2 卓【详解】（1）设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件A,c /,、C；C+C；C1 +C：C；2 4 +4 2 +4 2则尸(A)=V =-J C,1 6 53 65 5故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为三.（2）X的可能取值为0,1,2,3,尸(x=0)爷嚏=5，P(X=|)=等喂=H，C“1 03 3 3 C”1 03 5 5唳=2)=等=盖=*唳=3)=曾=高C”1 03 JJ C 1 OJ则 X 的分布列为：X0123P73 32 85 51 45 541 6 5”八 7 1 2 8 c 1 4 c 4 1 2以 EX=0 x-F 1 x-F 2 x-F 3 x-,3 3 5 5 5 5 1 6 5 1 1第二十二届世界杯足球赛一一卡塔尔世界杯已经落下帷幕，己知参加本届世界杯决赛的球队有3 2 支，他们被均分成8 个小组进行组内单循环赛，且每场比赛胜队得3分，负队得。分，平局时两队各得1 分.小组赛结束后，每个小组有且只有两队（积分最高的两队）进 入 1 6 强.假设本届世界杯4小组的甲、乙、丙、丁四支球队的实力非常接近，该组的每两队之间的比赛出现胜、负、平 的 概 率 都 是 小组赛结束后，积分由高到低排序，取积分最高的两队进入1 6 强；若需要从积分相同的球队中产生1 个队或2个队进入1 6 强，则要比较这些球队的净胜球数（净胜球数=进球数一丢球数），净胜球数多的进入1 6 强，假设积分相同的队净胜球数都不同，且谁多该少的可能性相等.记A 小组的甲、乙、丙、丁四支球队的积分总和为X.求 X的分布列和数学期望；（2）已知A 小组的甲球队小组赛的最后积分是6分，求甲球队进入1 6 强的概率？7 9【答案】分布列见解析，1 6 。【详解】（1）A 小组的四支球队共要进行6 场比赛，每场比赛参赛的两队得分之和为2分或3分，并且和为2分的概率为：，和为3分的概率为彳，所以X的取值可能为1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8.尸（X=1 2）=S=全叩=1 3）=4|）=九=击P(X=14)=4 j 嗯啜，尸（X=）=呜Q71 6209产(x =1 8)=6 43 J-7 2 9尸(X W=4|=瑞所以X的分布列为:X121 31 41 51 61 71 8P17 2 942 4 32 02 4 31 6 07 2 9802 4 3642436 47 2 9叫“，.4 5 2 2 80 800 1 2 80 1 088 3 84 3 888数学期望 E(X)=+-+-+=-=1 6.2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3（2）甲球队最后积分是6分，说明甲队小组赛2胜 1负，不妨设甲队胜了乙、丙队，负了丁队.卜面以丁队积分丫的值进行讨论:丫 =9口 寸：乙丙两队积分之和不超过3分,甲以小组第二进1 6 强,丫 =7 时：乙、丙两队积分之和不超过5分,甲以小组第二进1 6 强，尸（丫 =7）=C；（；）1）=|：y=6 时：丁队与乙，丙 比 赛 一 胜 一 负 的 概 率 为 不 妨 设 丁 胜 乙 负 丙，分两种情况:情 况（）：乙丙平局或乙胜内的概率和为2:，则甲和丁同积6分进1 6 强，/?=-2 -2 =4；2情 况（二）：乙负丙的概率为：，此时甲、丁、丙同积6分，甲净胜球数进前两名的概率为彳,2 1 2 4则这种情况甲进16 强的概率鸟=m=丽,4 4 16综合上面两种情况：p(r=6)=+-=-；2 7 o I o 1 y=5 时：丁队平乙丙的概率，）卧,乙、丙最多积4 分，甲队以小组第一进16 强，p（r=5）=i：y=4 时：丁队对乙、丙一平一负的概率C；（；）（；）=羡，甲.定 能 进 16 强，p（y=4）=|:y=3 时：丁队负乙负丙的概率已甲一定能进16 强，p（y =3）=；综上所述：甲球队进16 强的概率为尸=1 +，s+!+，!=?9 9 o 1 9 9 9 o 1另 解（间接法）：甲积6分，乙、丙、三队积分总和小于等于12 分，只有甲和另外两队共3 队同积6分，且甲在三队中净胜球数最少这种情况下，甲才不能进16 强,设甲队胜了乙、丙队，负了丁队.则丁对乙、丙一胜一负的概率c；=,不妨设丁胜乙负丙，则丙积6分（胜乙）的率为g,此时甲丁丙同积6分，甲净胜球数最少的概率为1:，故甲不能进16 强的概率兄=2 11 =而2，即甲进16 强的概率P=1-庶=79.2在核酸检测中，合 1 混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1 次检测，如果这&个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这4 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现 对 100人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合 1 混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：已知感染新冠病毒的2人分 在 同 一 组 的 概 率 为 设 X是检测的总次数，求 X的分布和期望E X .将这100人随机分成2 0组，每组5 人，且对每组都采用 5合 1 混采核酸检测.设丫是检测的总次数，求y的分布和期望凡打，并比较 打与（1）中ax 的大小.【答案】2 0次；分布列见解析，*分 布列见解析，仇 门=誉，EXEtY【详解】（1）若采用 10合 1 检测法，每组检查一次，共 10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查2 0次.由题意得X的可能取值为2 0,30.当X =2 0 时，两名患者在同一组，故 P（X=2 0）=,当X=3 0 时，两名患者不在同一组，故 P（X=30）=l-A =S，从而得到分布列如下：期望 TX=20X-!1-+30XL10 =320.11 11 11X2 030PT T107T（2）由题意得：采用“5 合 1 混采核酸检测，光检测2 0次，若两名感染患者在同一组，此时丫 =2 5,若两