数学全册检测题培优题（解析版）-2021年高中数学同步培优检测题（选修2-2）.pdf

专题12人教A版数学全册检测题R培优题(解析版)一、单选题1.若z+2彳=3-i,则|z|=()A.1 B.72 C.有 D.2【答 案】B【分 析】设2=。+初3力火)，代 入 已知等式求得后再由得数的模的定义计算.【详 解】设 z-a+hi(a,b E R),则 z+2 z =a+b i+2(a bi)=3 a-b i=3 i,3a=3 a=,r-，以 解得,.,-z-Ja+b -y/2.-b-8=1 1 1故 选:B.2.甲乙丙丁四人参加一次劳动技能比赛，赛前他借每人做了一个预测，甲说：“我第一,乙第二.”乙说：“我 第 二，丙第三.“丙 说：“我第一，甲第四.”丁说：“我第四，丙第二结果没有并列名次，且每人都说对了一半，那 第 一 至 第 四 名 依 次 是()A.甲乙丙丁 B.丙乙丁甲 C.丙乙甲丁 D.甲丙乙丁【答 案】C【分 析】由每人都说对了一半，则假设甲的说法中“甲第一”正确，与丙的说法矛盾，故甲的说法中“乙第二”正 确，进而得出其余几个人各自正确的说法，推断出名次.【详 解】假设甲的说法中“甲第一”正确，则丙的说法“我第 一，甲第四”都不正确，与题意不符，所以甲的说法中“乙第二 正确.因为每人都说对了一半，确定了乙第二，则乙的说法中“丙第三 不正 确，丁的说法中“丙第一”不正确，丁第四 正确.丙的说法中“甲第四”不正确，“丙第一”正 确，即丙第一，乙第二，丁第四，所以甲第三，故答案为：丙乙甲丁.故选：C.【点 睛】本题考查推理的应用，考查学生逻辑思维能力，属于基础题.3.已知x)是可导函数，且l i m /(/+八：一 /卜。)=2,则/(%)=()&A xA.2 B.-1 C.1 D.-2【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得l i m +Ax),即可得答案.心-*0 AX【详解】解：根据题意，(%+二)-*)=:-A x故r a )=2；故选：4.【点睛】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题.4 .y/l-x2dx-()71 7 1A.冗 B.C.0 D.一24【答案】D【分析】定积分 成二总及的儿何意义是圆d+y2=i的!个圆的面积，计算可得结果.【详解】定积分 J-X2d X的几何意义是圆炉+y 2 =1的 个圆的面积，.,.J。J i-t Z x=；乃x r =?,故选D.【点睛】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题5 .已知i为虚数单位，若复数z 2在复平面内对应的点分别为(2,1),(1,-2),则复数负二1=()1A.3 4 z B.3 +4 i C.-4 3 i D.3【答案】A【分析】试卷第2页，总17页根 据 题 意Z|=2 +i,Z 2=l 2 i,故 立 二 二(2+J 0 J),计算得到答案【详 解】根 据 题 意4=2+1,Z2=1-2Z,故 土 二=包儿二也=上之=_3 4 i.i i i故选：A.【点 睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.6.设 函 数/(X)=/+/*-则 使 得f(2 x)x-l)成 立 的X的取值范围是()A.(-5；)B.(-0),-1)(1,+8)C.(-1,)D.(,+0 )【答 案】B【分 析】通过定义判断函数为偶函数，利用求导的方法判断函数在 0,”)单调递增，利用函数的单调性化简f(2x)/(x-l)，可 得X的范围.【详 解】/(-%)=+炉-1 +(=+=/(X),故/(x)为偶函数，7 X1当 。收)时 人)二+Ee 2*_ 2 fex+(1+x2)20,故/(x)=ex+ex-在 0,+8)上为增函数.综 上，(力=，+肉 一小为偶函数，且 在 0,+)上为增函数.故 f(2x)/(x-l)可得上 一1|.即|2x f 上 一 片0 32+2一1 0,解 得x ；故选：B【点 睛】本题考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的应用和函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力、数学运算能力和转化的数学思想，属于一般题目.7.已知函数x)=2ae-Y 2X在(,+8)上是单调函数，则实数。的取值范围是()A.ae B.al C.a -D.a2e【答案】B【分析】X +1 j r _i_ 1由题意结合导数与函数单调性的关系可得a N -或a 在(-8,+8)恒成立，e e设g(x)，求导求出g(X)的最值即可得解.【详解】函数/(X)=2把*一 2 -2x在(-00,+00)上是单调函数，/(X)2 0 或/(X)W 0 在(Y0,+8)恒成立，f(x)=2aex-2 x-2,Y 4-1 X +/.a -或:-在(-2+8)恒成立，ex exv-_1_ 1设 g(X)=h,则 a N g(x)nM X 或 a W g 血，S),当x 0，g(x)单调递增：当x0时，g(x)l.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.8.“3+1猜想”又称“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数 ，如果”是偶数，就将它减半；如果是奇数，就将它乘3 加 1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列 4 满足上述变换规则，即：试卷第4页，总17页4+1=2 偶数(eN)若%=1,则q =()3 t z +1,a“是奇数A.1B.2C.3 D.1 6【答案】D【分析】利用正整数经过4次运算后得到1,按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到q的所有可能的取值.【详解】根据题意，正整数外经过4次运算后得到1,所以正整数经过3次运算后得到2,经过2次运算后得到4,经 过1次运算后得到8或1(不符合题意，舍去),可得正整数4的值为16,故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题.9.一艘船的燃料费了(单位：元/时)与船速x(单位：6/)的关系是.丫=+%3+北若该船航行时其他费用为5 40元/时，则在100历的航程中，要使得航行的总费用最少，航 速 应 为()A.30km/h B.30叫km/h C.304km/h D.60km/h【答案】A【分析】根据题意列出总费川与航速的关系，再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题，100km的航程需要小时，故总的费用/W=(-x3+x+540|x.x 100)xan.2 54000,54000 2(x3 27000)即/(x)=x2+100+-.故/(幻=-2 令/)=0有x=30.故当0 x30时/(x)30时/(x)。./(%)单调递增.使得航行的总费用最少，航速应为30灿7/%故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题，需要根据题意列出关于航速的函数解析式，再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.10.一个数的规律如下：在第火个2和第左+1个2之间有2A +1个1(Z e N*),即12111211111211111112.,则该数的前2021个数字之和为()A.2063 B.2064 C.2065 D.2066【答案】C【分析】根据已知条件先确定出前2021个数字中2的个数，由此确定出前2021个数字中1的个数，则前2021个数字之和可求.【详解】设该数的前2021个数字中2的个数有八个，当最后一个数字是以2结束的时候，此时数字的个数为：(1+3+5+(2 -1)+=+n,当=44 时，n2+n=19802021.所以前2021个数字中2的个数有44个，1的个数有(1+2彳-1)x44+2021 -(44?+44)个，所以前 2021 个数字之和为：44?+44x 2+2021 (44?+44)x 1 =2065,故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解数字的变化规律，其中2的个数会决定1的个数,同时相邻的2之间的1的个数成等差数列，由此先分析出2的个数，则最终结果可求.11.已知函数/(x)=2/+o r+a.过点M(T,0)引曲线C：y=/(x)的两条切线，这两试卷第6 页，总 17页条切线与y轴分别交于A,5两点，若|M 4|=|M 3|,则/(x)的极大值点为()A 3五 R 3五 。瓜 n#4 4 3 3【答案】A【分析】设切点的横坐标为f,利用切点与点连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关f的方程，得出f的值，再 由 得 出 两 切 线 的 斜 率 之 和 为 零,于此得出a的值，再利用导数求1 1 1函数y=/(x)的极大值点.【详解】设切点坐标为。,2尸 +必+力，；y =6 f+a,6 r2+a 2f,即4尸+6产=0，解得f =0或r=y1,=o+y L=0，即2 a+6 x1 _ g)=0，则。=一 今，/(x)=6/一.当x一乎或平时，/(x)0；当乎x孚时，r(x)0.故“X)的极大值点为一 里.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时,一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题.1 2.设 函 数/(月=，,3 +|%2 一 6/2)-2 a/-x,若不等式/(x)。在 2,+8)上有解，则实数4的最小值为()【答案】C【解析】(3 、,/*(x)=e H 6x+2 2cle x 0 在 2,+8 )上有解 2)3 2ae N cx+x2 6 x+2)x 在 2,+8)上有解ex(x3+x2-6 x+2)xo 2。2 -J-丽 G -2)-e2 3 nAex(x+x-6x+2)-x q令2g (x)=-=x 3 4 3 x 2 6.x+2-2ex则 g (x)=3 1 2 +3 x-6-=(X-1)(3X+6 +4),*/X G-2,+OO),.当x 2,l)时，g (x)V 0,g(x)在区间-2,D上单调递减;当X (l,+8)时g (x)0,g(x)在 区 间(L +oo)上单调递增；3 1 3 1.当x=l时，g(x)取 得 极 小 值8(1)=1 +7-6 +2-1=一5一工，也是最小值，3 1 3 12a -,：.a-,故选 C.2 e 4 2e点睛：本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题；依题意，可得=2心心+2*+2 1 *构造函数ex三3 上3 2空1，利用导数法可求得g 2 e*3 的 极 小 值g(D =-,也是最小值，从而可得答案.2 e二、填空题1 3.J 卜工2 +J 1 X?)dx7 T【答 案】2 +-【分 析】根据微积分基本定理和积分的几何意义计算.【详 解】J .3工2 +J 1 -X、)公=公 +J J1-X2dx.J 3 x26/x=x3|=1 (1)=2,-1试卷第8页，总17页J：J l x2 4c表示单位圆在X上方的半圆的面积为弓,7T,原式=2 H-.27T故答案为：2 +彳.21?1 4.曲线y=x3+在点(1,1)处 的 切 线 方 程 为.【答案】x-y =O【分析】由(1,1)为切点利用导数求斜率，再求切线方程.【详解】(1,1)为切点时，由V=%2时，斜率y 1,所以切线方程：y-=x-1-,故答案为：x-y =O1 5.已知定义在R上的函数/(x)满 足/。)=1,且对于任意的X,7 (x)g恒成立,则不等式/(电2%)乌+；的解集为.【答案】I/?)【分析】由/(x)；，构造单调递减函数Mx)=/(x)gx,利用其单调性求解.【详解】r(x)g，r(x)-g o,设 7/(尤)=/(x)-g x,则 l(x)=/(x)-g 0,二(元)是R上的减函数，且 力=不等式/(展,容+：,即为/(ig?Ag 所以(仁元)1 0 或 0,原 不 等 式 的 解 集 为7(1 0,?).秒 1 0 故答案为:却?(1 0,?).【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题，联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.1 6.设函数“X)在R上存在导函数/(X)，对任意的实数*都有/(X)=/(-x)+2 x,当龙0时，r(x)2 x+l.若“a+l)2/(a)+2 a+l,则实数a的取值范围是【答案】-1【分析】由/(*)=/(一x)+2 x得/(x)-x=/(-x)+x，构造函数g(x)=/(x)-x，再整理出g(x)的单调性和奇偶性即可.【详解】Q/(x)=/(-x)+2 x/(x)-x=/(-x)+%设 g(x)=/(X)X,则 g(-x)=/(-X)+X故g(x)=g(-x),所以g(x)为偶函数Q g (x)=/(x)_ l,且当x 0时，f(x)2x+，g (x)=/(x)-l 2 x 0所以g(x)在(0,+8)单调递增故g(x)在(-8,0)单调递减/(a+l)?/(a)+2 a +l试卷第10页，总17页.1.y(t z+i)(+i)/()(a)：.g(a+l)g(-a)所以|(“+i)以一 4两边平方整理得2 a +I N O解得故答案为：c i 2【点睛】本题考查导数的综合应用，解题的关健是构造函数，并求出函数的奇偶性、单调性等来解题.三、解答题1 7.(1)已知“6,用比较法证明/；3；(2)已知/+/=2,用反证法证明：p+q 2,则p 2 -q,结 合(1)中的结论，得到矛盾，即可得证;【详解】解：(1)f l3 b=(a +cib+b j,因 为+4匕+02=1 4+3人)+1620,取等号的条件为a =6 =0而a b,故等号无法取得，即a 2+a b +02=(a +；6)+1后 0乂 a b,所以 e r b，=(a b)(a +cib+b j 0,所 以/；(2)假设 p +q 2,则 p 2-q,所 以 由(1)得 p 3(2 -疗，所 以/+不 8-1%+6心乂p 3+d=2,所以2 8 1 2 q+6 k，即d -2q+l 0 n(q -1)20矛盾、所以假设错误，所以 +q2.【点睛】本题考查作差法比较大小以及反证法证明，属于基础题.1 8.已 知 函 数/(力=幺-2六+工.(1)求曲线y=/(x)在点(-1,-4)处的切线方程；(2)求曲线y=/(x)过点(1,0)的切线方程.【答案】8x-y+4=0；(2)y=0或x+4y-1 =0一【分析】(1)求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；(2)设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点(1,0),解得切点坐标，进而得到切线方程.【详解】由题意得，(x)=3 f 4 x+l,所 以/(一 1)=8又因为/(-1)=T,所以切线方程为y=8(x+l)-4整理得8x-y+4=0.(2)y=。或.x+4y-l=0.设切点为(工,%),因为切点在函数图像匕 所 以 为 二升/-2Ao2+与，故曲线在该点处的切线为丁一(3-2/2+/)=(3/2-4%+1)(%-/)因为切线过点(1,0),所以。-(不-2/+X。)=(3x；-4x0+l)(l-x0)即(%1)=().解得%=1或X。=；当天=1时，切点为。,0)，因 为/(1)=0，所以切线方程为y=0.试卷第12页，总17页当 豌=:时,所以切线方程为x+4y -1 =0所 以 切 线方程为丁 =0或x+4y-l =0.1 9.已 知 复 数Z ,Z 2满 足(l +i)Z =-l +5i,Z 2 a-2-i,其 中i为虚数单位，a&R .(1)求Z|；(2)若求。的取值范围.【答 案】(1)4=2+3,(2)(1,7)【分 析】(1)直接利用复数的除法运算得到答案.(2)利用共扼复数的定义和复数模的运算化简得到/84+70,解得答案.【详 解】(1)Z =-1-+-5-/=-(-1-+-5-0-(-1-0=27+3】,1 1 +Z (1+0(1-0(2).,.|Z 1|=V22+32=7 1 3,又Z|-Z 2 1=|2 +3 i -(a -2 +i)|冒 4-a +2 i|=1(4 -a)?+4,.由卜 一2 2卜 忆|,得 J(4-a)2+4 加,化 简 得。2一8。+70，解得 l a 7.故。的取值范围是(1,7).【点 睛】本题考查了复数的除法，共施复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 0.已 知 函 数/(X =，,当x =z时，函 数/(X)有 极 值 二.(1)求 实 数 仇c的值；(2)若 存 在$e T,2 ,使 得./(%)23 a 7成 立，求 实 数a的取值范围.7【答 案】(I)b=0,c =0；(2)a -.2-l n 2【分 析】2 4(1)x l时，y0(x)=-3 x2 *7+2 x+b,利用当x =时，函数/(x)有极大值耳丁 建立方程，即可求得实 数 氏c的值；2 2一l x 0时，/r(x)0,%1 时，/r(x)0,所以/(X)在(T O)和 信”上单调递减，在0,|上单调递增，又/(一1)=2,/(|卜。/(0)=0，所以当一1 4%0时，/(x)m a x=/(2)=a l n 2 +a N 3 a 7,72-l n 2(2)存在/一1,2 ,使得/(不)2 3。一7成立，等价于x e T,2 ,使得/(%),而2 3。一7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数。的取值范围.【详解】(1)由已知当x 3 a-7 ,X+X,X l，(2、当1WX1 时，f(x)3 f +2 x =-3x x I,、3)2令/(1)=。得x =0或=；所以0。4试卷第14页，总17页当0时，/(x)1 r a x=l)=aN3 a 7 成立，所以“3 -7成立,分类讨论求得最值.2 1.在数列 4 中，4=5 4 +1=1古（1）求出生，。3并猜想的通项公式；（2）用数学归纳方证明你的猜想.3 3 3【答案】（1）a,=-,=-；%=-7；（2）见详解7 8 +5【分析】（1）先根据递推关系，依次求得。,名的值，并猜想通项公式为 +5（2）根据数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明即可.【详解】解：12，a+344+3 3q34q+3 1 +323 3a,7 七 4+33x27-+3738因此可猜想：an=-（e N,）；+5 （2）当 =1时，a,=-,等式成立，23假设=女0寸，等式成立，即为k+5则当 =k +1时,3%_ 3,不 _ 3 _ 3a*+3 3+3 左+6(左+1)+51+5即当=k +l时，等式也成立,综上所述，对任意自然数 eN*，4=-+5【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确初始值时并验证真假;假设n=k时命题正确”并写出命题形式：分 析=%+1时 命题是什么，并找出与“=女”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项；明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.2 2.已知函数,f(x)=Inx-ax.(1)讨论“X)在其定义域内的单调性；(2)若a=l,且/(玉+1)=/(赴+1)，其中一 1%0.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)求出导函数/(幻，由r(x)0确定增区间，由/(x)募，由于。+】1，0 2三/即证/(+1)/2 x92+X2,这样引入新函数2 一 工2、2+%/f 2 Y 2 JCF（x）=ln（x+l）-（x+l）-ln-+-,利用导数证明x e（0 时,F（x）0 N I 人1 J 乙 I即得.【详解】/（x）=a-X X当.s o时，r（x）o,则 x）在区间（。,+8）上单调递增;当a 0时，x e fo,l/(x)0,在区间(0。)上单调递增;x e L+8),/(x)o,/(x)在区间(L+8)上单调递减,试卷第16页，总17页（2）由（1）得:当a =l时，/（X）在（0,1）上单调递增，在。,小）匕单调递减,/.-1 x,0 x2 不考虑到此时，0 x,+l l,0/即证/（+1）/；+：，设 尸(无)=ln(x+l)(x+l)-ln2 一2 -x2+xJ 2+x则 尸（x）1 ,4-1+-Tx+1-(x+2)(2-x)4 x2(x2+2 x-t-4)(x+2)2-(x+l)(2-x)(x+2当x0,2）时,F（x）0,尸（x）递增,所以，当x w（O,2）时，F（x）F（0）=0.所以/（+1）/2，从而命题得证.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式.关于不等式的证明，苜先对于双变量问题，要进行转化，转化为单变量，方法是把要证的不等式进行变形，分离参数，然后利用已知函数的单调性转化为要证明函数不等式，再利用函数值相等双变量转化为单变量，其次引入新函数，利用导数确定新函数的单调性从而证得新不等式成立.