挑战2023年中考数学压轴题03 二次函数与等腰直角三角形问题（含答案解析）.pdf

专题3 二次函数与等腰直角三角形问题方法揭秘.二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种,涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题：三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决.在 RtAACB 和 RtABEF 中，若NA=/EBF,贝 ljZACBsBFE,贝 U若 RtAACB和 RlABEF是等腰直角三角形，则典例剖析.【例 1】(2022枣庄)如图，已知抛物线L：y=，+fcv+c经过点A(0,3),B(1,0)，过点A 作 ACx 轴交抛物线于点C,Z A O B的平分线交线段AC于点E,点 P 是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P 在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当OPE面积最大时，求出P 点坐标；(3)将抛物线乙向上平移/?个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE内(包括OAE的边界)，求的取值范围；(4)如图，尸是抛物线的对称轴/上的一点，在抛物线上是否存在点P,使2(?尸成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.图 图【例 2】(2 0 2 2 东营)如图,抛物线y=o?+b x-3 (a W O)与 x 轴交于点A (-1,0)，点 B(3,0)，与 y 轴交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点。，使 A C Q 的周长最小，求点Q的坐标；(3)点 P是抛物线对称轴上的一点，点 M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 P M B 是以P 8 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.【例 J 3】(2 0 2 2 吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线产/+法+M此是常数)经过点4(1,0),点 8(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.（1）求此抛物线的解析式.（2）当点尸在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围.（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点尸）的最低点的纵坐标为2-求，的值.以 用 为 边作等腰直角三角形B 4 Q,当点。在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标.1.（2 0 2 2 石狮市模拟）已知抛物线y=a?-2 a r+a+2 与无轴交于4,8 两 点（A在 B的左侧），与 y轴正半轴交于点C,点尸为该抛物线在第一象限内的点.当点P为该抛物线顶点时,Z X A B P 为等腰直角三角形.（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作轴于点E,交AAB P的外接圆于点。，求点D的纵坐标；CNl（3）直 线 分 别 与 y轴交于M,N 两点，求 加 的值.2.（2 0 2 2 福建模拟）如图，已知抛物线y=a x1+b x+c与 x轴相交于A,8两点，点C（2,-4）在抛物线上，且A B C 是等腰直角三角形.（1）求抛物线的解析式：（2）过点。（2,0）的直线与抛物线交于点M,N,试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.3.（2022碑林区校级四模）在平面直角坐标系X。），中,抛物线y=-/+,加+与x 轴交于点A,8（A 在 B 的左侧）.（1）若抛物线的对称轴为直线x=-3 4 8=4.求抛物线的表达式；（2）平 移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O,且与x 轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标.y 4.（2021秋福清市期末）已知抛物线y=a?+公-2 经 过（2,2）,且顶点在y 轴上.（1）求抛物线解析式；（2）直线y=fcr+c与抛物线交于A,8两点.点P在抛物线上，当*=0,且48P为等腰直角三角形时，求 c 的值；设直线y=fcv+c交 x 轴于点M（?,0）,线段A 8 的垂直平分线交），轴于点N,当 c=l,w 6 时，求点N 纵坐标的取值范围.5.（2022集美区二模）在平面直角坐标系X。），中，抛物线丁：y=a（x+4）（x-m）与 x 轴 交 于 两 点,-3,点 B 在点4 的右侧，抛物线T 的顶点为记为P.（1）求点A 和点8 的坐标；（用含，的代数式表示）（2）若。=机+3,且ABP为等腰直角三角形，求抛物线T 的解析式；（3）将抛物线T 进行平移得到抛物线T,抛物线7 与 x 轴交于点B,C（4,0），抛物线7 的顶点记为。.若 0_1“=/+法+。与直线y=-司 有唯一的公共点A,与直线尸司交于点8,C (C在 B的右侧)，且 A 8 C 是等腰直角三角形.过C作 x轴的垂线，垂足为。(3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)直线y=2 r 与抛物线的交点为P,Q,且尸在。的左侧.(i )求 P,。两点的坐标；(i i)设直线y=2x+机(/n 0)与抛物线的交点为MM求证：直线P M,Q N,C C 交于一点.8.(20 22赣州模拟)如图，二次函数y=o?+b x-3 (x W 3)的图象过点A (-1,0),B(3,0),C(0,c)，记为L.将L沿直线x=3翻折得到“部分抛物线”K,点A,C的对应点分别为点A,C.(1)求a,h,c的值；(2)画 出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若 直 线 和 图 形“W”只有两个交点 MN(点 M 在点N的左侧).直接写出?的取值范围；若 A M N B为等腰直角三角形，求m的值.9.(20 22琼海二模)如图1,抛物线y=o?+法+3 与 x轴交于点A (3,0)、B(-1,0),与)，轴交于点C,点P为 x轴上方抛物线上的动点，点F 为 y轴上的动点，连接PA,PF,AF.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)如 图1,当点尸的坐标为(0,-4)，求出此时4 F P面积的最大值；(3)如图2,是否存在点F,使得A F P是以A P为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在,请说明理由.1 0.(20 22虹口区二模)如图，在平面直角坐标系x O y中,抛物线y=/+云+6与x轴交于点A (-2,0)和点B(6,0)，与y轴交于点C,顶点为D,联结B C交抛物线的对称轴/于点(1)求抛物线的表达式；(2)联结C D、B D 点 P是射线D E上的一点，如果S”DB=SACDB,求点P的坐标；(3)点M是线段8 E上的一点，点N是对称轴I右侧抛物线上的一点，如果 E M N是以E M为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标.1 1.(20 22顺城区模拟)如图，抛物线=-%2+灰+c与x轴交于点4和B (5,0),与y轴交于点C (0,5).(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M与B C交于点F,点 D是对称轴上一点，当点D关于直线B C的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；(3)点尸在抛物线的对称轴上，点Q在直线3 c上方的抛物线上，是否存在以0,P,。为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.12.(2022 襄 城 区 模 拟)抛 物 线-(,”+3)x+3，”与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C.(1)如 图1,若点A在x轴的负半轴上,ZXOBC为等腰直角三角形,求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下，点。(-2,5)是抛物线上一点，点M为直线8 c下方抛物线上一动点，令四边形B D C M的面积为S,求S的最大值及此时点M的坐标;(3)若 点P是抛物线对称轴上一点，且 点P的纵坐标为-9,作直线PC,将直线P C向下平移n(n 0)个单位长度得到直线PC,若直线P C与抛物线有且仅有一个交点.直接写出n关于m的函数关系式；图1备用图1 3.(20 22山西二模)综合与探究如图,抛物线y=W l，+6 x+c 与 x轴交于A,B两 点(点 A在点B的左侧)，与 y 轴交于点C且A,B两点的坐标分别是A (-2,0),8(8,0).点 P是抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为北过点P作 直 线 轴,交 直 线AC于点G,交直线B C于点H.(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标.(2)如果点D是抛物线的顶点，点P在 点C和 点D之间运动时,试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N,使得NG/7是等腰直角三角形,若存在，请求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.(3)试探究在抛物线的对称轴上是否存在点。，使得以点P,Q,B,C为顶点的四边形是平行四边形,若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.备用图1 4.(2 0 2 2 长沙模拟)已知抛物线Ci：y rn+n与 x轴于A,B两点，与 y轴交于点C,A A B C 为等腰直角三角形，且=-1.(1)求抛物线C1 的解析式；(2)将 Ci 向上平移一个单位得到C2,点M.N 为抛物线C2 上的两个动点,0 为坐标原点，且NM CW=9 0 ,连接点M、N,过点。作 OELMN 于点E.求点E到 y 轴距离的最大值；(3)如图，若点尸的坐标为(0,-2)，直 线/分 别 交 线 段(不 含 端 点)于 G,4两点.若直线/与抛物线 Ci 有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b,点 H的横坐标为,则 a -b是定值吗？若是，请求出其定值,若不是，请说明理由.yy-W1-7/-。/-工 o xF、备用图1 5.(2 0 2 2 永川区模拟)如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+4x+c 与直线A B 相交于点A(0,1)和点 B(3,4).(1)求该抛物线的解析式；(2)设 C 为直线A B上方的抛物线上一点，连接ACBC,以A C IC 为邻边作平行四边形ACBP,求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a i x 2+b i x+C 1(/之。)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点力，是否存在点E使得 AO E 是以A O为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.v=v +b x +c1 6.(2 0 2 2 兴城市一模)如图，抛物线 5 与 x轴交于点A 和点8 (5,0),与 y轴交于点C (0,-3)，连接AC,BC,点 E是对称轴上的一个动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当SABCE=2SAABC时，求点E的坐标；(3)在抛物线上是否存在点尸，使 8 P E 是以B E 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.17.（2021 昆明模拟）已知抛物线：y=a？-2a x+c（a0）过 点（-1,0）与（0,-3）.直线y=x-6 交尤轴、），轴分别于点A、B.（1）求抛物线的解析式；（2）若 点P是抛物线上的任意一点.连 接 外,PB,使得以B 的面积最小，求的面积最小时,P 的横坐标；（3）作直线x=r分别与抛物线丫=/-2如+0（0）和直线y=x-6 交于点E,F,点 C 是抛物线对称轴上的任意点，若是以点E 或点F 为直角顶点的等腰直角三角形，求点C 的纵坐标.18（2021 新泰市一模）如图,抛物线丫=2+扇+2 交 x 轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交 y 轴于点C.已知点。的坐 标 为（-1,0），点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD.（1）求这个抛物线的表达式.（2）点尸为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形A D C P面积的最大值.（3）点 M 在平面内，当 是以C M为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标;在的条件下，点 N 在抛物线对称轴上，当/M N C=4 5 时，求出满足条件的所有点N 的坐标.1 9.(2 0 2 1 广安)如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=-f+b x+c 的图象与坐标轴相交于A、B、C 三点,其中A 点坐标为(3,0),B点坐标为(-1,0)，连接A C、B C.动点P从点A 出发,在线段A C 上以每秒加个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动 点Q从点B出发,在线段B A上以每秒1 个单位长度向点4 做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动，连接P Q,设运动时间为r 秒.(1)求 Z?、c的值.(2)在 P、Q 运动的过程中，当t为何值时,四边形B C P Q的面积最小，最小值为多少？(3)在线段A C 上方的抛物线上是否存在点M 使 M P Q 是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.2 0.(2 0 2 1 上海)已知抛物线y=o?+c (a W O)经过点 P (3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A 在直线P。匕过点A 作 轴 于 点 氏 以 为 斜 边 在 其 左 侧 作 等 腰 直 角 三 角 形 ABC.当。与 A 重合时，求 C 到抛物线对称轴的距离；若 C 在抛物线上，求C的坐标.典例剖析.例1 (2 0 2 2枣庄)如图，已知抛物线L：y=，+6x+c经过点A(0,3),B(1,0)，过点4作AC/x轴交抛物线于点C,Z A O B的平分线交线段A C于点E点P是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的关系式：(2)若动点尸在直线O E下方的抛物线上，连结P E、P O,当 面 积 最 大 时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 O AE内(包括O A E的边界)，求人的取值范围；(4)如图，尸是抛物线的对称轴/上的一点，在抛物线上是否存在点P,使 尸 成 为 以 点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过P作PG/y轴，交O E于点G,设P(如/-4/n+3)，根据O E的解析式表示点G的坐标，表示P G的长，根据面积和可得A O P E的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与O E的交点坐标、与A E的交点坐标，用 含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明根据|O M =|P M,列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点尸的坐标.【解析】(1)I抛物线L：y=/+x+c的图象经过点A (0,3),B(1,0),(l+b+c=O f b=-4A l c=3 ，解得 1 c=3 ,二抛物线的解析式为：y=/-4 x+3；(2)如图，过 P 作 7 轴，交 0 E 于点G设 P(m,m2-4m+3),/OE 平分 ZAOB,/AO8=90,：.ZAOE=45,.AOE是等腰直角三角形，.AE=OA=3,：.E(3,3),，直线。的解析式为：y=x,G(m,m),PGm-(m2-4m+3)=-nr+5m-3,:.SOPESAOPG+SEPGj.=2P G-A E13X(-W2+5/M-3)(m2-5?+3)5l 39(w-2 i)2+n,0,.当时,O P E面积最大，此时,耳 鼻P点坐标为(2|,-4|)；IX3-23-23-2(3)由y=7-4 x+3=(x-2)2-1,得抛物线/的对称轴为直线=2,顶 点 为(2,-1),抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F(2,-1+).设直线x=2交0E于点DM,交AE于点N,则E(2,3),直线O 的解析式为：y=x,：.M(2,2),点/在OAE内(包括OAE的边界)，2W-1+W3,解得3W0W4；(4)设P-4m+3)，分四种情况：当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MNJ_y轴，交y轴于M,交/于N,：.ZOMP=ZPNF=90,:OP尸是等腰直角三角形，A OP=PF,ZOPF=90,Z OPMt/NPF=Z PFN+ANPF=90,NOPM=/PFN,:.OMPQ4PNF(A4S),OM=PN,:P（叫 m2-4/?7+3）,则-/n2+4m-3=2-tn,5/5小解得：?=2（舍）或 2,.P的坐标为（2,2 ）.当 尸 在对称轴的左边，且在x轴上方时,同理得：2-m=m2-4，+3,3/3/解得：mi=2（舍）或?2=2,3/+1.P的坐标为（2,2）；当P在对称轴的右边，且在x轴下方时,如图，过P作M N L x轴于N,过F作F M M N于M,同理得CW P丝PMF,:.PN=FM,则-w2+4/n-3=m -2,解得：，2 或,“2=2（舍）；3/P的坐标为（2,2）；当P在对称轴的右边，且在X轴上方时,如图,55-VI解得：%=2或 2（舍），+P的坐标为：（2,2）；5/3/奉+1 3/5小综上所述，点P的坐标是：（2,2）或（2,2）或（2,2）或（24+1）.（1,-1）是。点（1,0）绕O点顺时针旋转4 5 并且。缩小2倍得到，易知直线D E即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转4 5 ,且到O点距离缩小祀 倍 的 轨迹,联立直线D E和抛物线解析式得x2-4 x+3=x -2,5/5小解得 X l=2 K 2=2 ,同理可得X 3=2 或心=2 .5/3/+1 3/5/综上所述，点P的坐标是：（2,2 ）或（2,2 ）或（2,2 ）或（2 ,代+1）.例2.（2 0 2 2东营）如图,抛物线y=o?+打-3 （aW O）与x轴交于点2 （-1,0）,点B（3,0）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式：（2）在对称轴上找一点Q,使 4 C Q的周长最小，求点。的坐标；（3）点、P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 P M B是 以P B为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可：（2）连接C 8交对称轴于点Q,当C、B、Q:点共线时,Z VI C。的周长最小，求出直线B C的解析式,再求。点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当N B P M=9 0 时,P/W=P 8,例点与A点重合，则-1,0）；当/P&W=9 0 时过点B作x轴的垂线G H,过点P作P H L G H交于H,过点M作M G L H G交于G,可证明B P g A M B G(A A S)，设 P (1 j),则 M(3 7,-2)，求出 M 点坐标为(1 -2,-2).【解析】(1)将点A (-1,0),点B (3,0)代入产a/+以-3,(a-b-3=0/.19a+3b-3=0,(a=1解得lb=-2,.yx2-2 x -3；(2)连接C 8交对称轴于点Q.*.y=x2-lx -3=(x -1)2-4,.抛物线的对称轴为直线x=I,：A、B关于对称轴x=l对称，：.AQ=BQ,：.AC+AQ+CQAC+CQ+BQAC+BC,当C、B、Q三点共线时,AC。的周长最小，VC (0,-3),B(3,0),设直线BC的解析式为y-kx+b,(b=-3.,.13k+b=0,k=l解得ib=-3,.yx-3,：.Q(1,-2)；(3)当N BPM=9 0 时,PM=PB,点与A点重合，：.M(-1,0)；当 N P8 M=9()时，尸过点8作x轴的垂线G”,过点P作P H G H交 于 过 点M作M G LH G交于G,；NPBM=9Q：:.NPBH+NMBG=90,；NPBH+NBPH=96；，NMBG=ZB PH,:BP=BM,:.ABPHm丛MBG(AAS),:.BH=MG,PH=BG=2,设 P(l,Z)，则 M (3 -2),/.-2=(3-f)2-2 (3-f)-3,解得 r=2+J 或 t-2 -V 2,：.M(1 -V 2,-2)或(5+V 2,-2),点在对称轴的左侧，.M 点坐标为(1 -2,-2)；综上所述：M点的坐标为(1 -2)或(-1.0).【例3】(2 02 2吉林)如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=f+6 x+c (6,c是常数)经过点4 (1,0),点B(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式.(2)当点尸在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围.(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点尸)的最低点的纵坐标为2 -%.求m的值.以PA为边作等腰直角三角形以Q,当点。在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标.【分析】(1)通过待定系数法求解.(2)令y=0,求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解.(3)分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况,分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值.根 据m的值,作出等腰直角三角形求解.(O=l+b+c【解析】(1)将(1,0),(0,3)代入y=f+6 x+c得1 3=cfb=-4解得f c=3,/.y=x2-4x+3.(2)令，-4x+3=0,解得 xi=1/2=3,.,.抛物线与x轴交点坐标为(1,0),(3,0),:抛物线开口向上，A/n 3时，点P在x轴上方.(3).,=7-4x+3=(x-2)2-1,二抛物线顶点坐标为(2,-1)，对称轴为直线x=2,当m 2时，抛物线顶点为最低点，-1 =2-m,解得2=3,当时，点P为最低点，将 x=tn 代入-4x+3 得 y=i r-4%?+3,-4m+3=2-tn,3/a X解得“=2 (舍)，m2=23/；.加=3 或,*=2 .当 m=3时，点 P 在 x轴上,4 P=2,；抛物线顶点坐标为(2,-1),3/当加=2时,如图,/。以=9 0 过点P 作 y 轴平行线，交 x 轴于点F,作 Q E L 尸尸于点E,V Z Q P E+Z A P F Z APF+Z f i 4 F=9 0,：.ZQ PE=ZPA F,又：/白石2 二/尸丛二切 幻 二以，：./Q EP A PFA(/US),；.0 E=P 尸，即 2 -m=机 2 -4m+3,3/aX解得“=2（舍），m2=2.3/3M.PF=2-2 A F=P E=-2,3/3小:.EF=PF+PE=2-2+i-2=烟,.点。坐 标 为（2,神）.综上所述，点。坐 标 为（2,-1）或（2,1）或（2,我）.满分训练.1.（2 02 2 石狮市模拟）已知抛物线-2 奴+2与 x轴交于A,B两 点（A 在 B 的左侧），与 y轴正半轴交于点C,点 P 为该抛物线在第一象限内的点.当点P 为该抛物线顶点时,A A B P 为等腰直角三角形.（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P 作 P O L x 轴于点E,交A A B P的外接圆于点。，求点。的纵坐标；CNl 直 线AP,BP分别与y轴交于M,N两点，求 加 的值.【分析】（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，可得到顶点坐标,根据等腰宜角三角形的性质可得48两点的坐标,利用待定系数法即可求解；（2）根据等腰直角三角形 4 BP的外接圆可得A B为直径，点E为圆心，即可得点D的纵坐标；（3）利用待定系数法可得直线AP,BP的解析式，分别求出M,N两点的坐标，由y=-亍/+丫+亍|得C3（0,5 I）,求出C M C M 的值，即可求解.【解析】（1）.,y=a r2-2 a x+“+2=a （J?-2 x）+a+2=a（x -1）+2,抛物线的顶点户的坐标为（1,2）,如图：过点P 作 PE _ Lx 轴于点E,则 E （1,0）,4 8尸为等腰直角三角形,J.：.AE=BE=2,(-1,0),B(3,0),将 8 (3,0)代入 y=a (x -1)2+2 得,1a (3 -I)2+2=0,解得 a-2,J.13.该抛物线的解析式为）=-2（X -1）2+2=-2/+X+2 ；（2）如图:X A B P为 等 腰 直 角 三 角 形 轴 于 点E,.A8为直径，点E为圆心，点P的坐标为（1.2）,：.PE=2,:.DE=2、：.D（1,-2）,.点。的纵坐标为-2；(3)设直线A P的解析式为y=H+4,:点(1,2)4(-1,0),-k+b=0(k=l.,.lk+b=2，解得ib=l,，直线A P的解析式为y=x+l,令 x=0,则 y=l,：.M(0,1),同理得直线B P的解析式为y=-x+3,令 x=0,则 y=3,：.N(0,3),J-.y-2 7+x+2与y轴正半轴交于点C,CN0TTZ.2 =3.2.(2 02 2福建模拟)如图，已知抛物线y=2+f c r+c与x轴相交于4,8两点，点C(2,-4)在抛物线,S.AABC是等腰直角三角形.(1)求抛物线的解析式；(2)过点。(2,0)的 直 线 与 抛 物 线 交 于 点 试 问：以线段M N为直径的圆是否过定点？证明你的结论.【分析】(1)等腰直角二角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式.(2)通过设过点。(2,0)的宜线M N解析式为y=Z (x-2)=h-2匕得到关于工、关于y的方程,利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标.【解析】连接AC、BC,过点C作C P垂直于x轴于点尸.在 Rt AC Af i 中,AC=BC,C P_L4 B,点 C(2,-4),:.CP=A P=PB=4,OP=2,：.OA=A P-O P=4 -2=2,O8=OP+PB=4+2=6,二点 A(-2,0)，点 B(6,0),把点A(-2,0)，点B(6,0)，点C(2,-4)代入函数解析式得0=4a2b+c0=36a+6b+c-4=4a+2b+c,1a=7b=-l解得c=-3,故答案为：y=x -3.(2)设过点。(2,0)的 直 线 解 析 式 为y=A(x-2)=kx-2k,联立直线与抛物线解析式得关于X的等式：le x-2k=化简 得 我Y k+l)x+2k-3=o,x -3,XN+XM=-一(k+1)2k-3 14=4 (H l),XNXM=4 1=8攵-1 2.,联立直线与抛物线解析式得关于y 的等式7=3 1+2)2-备+2)-3,2 化简得 4k y2+(-k-1)y-4=0,yM+)w=4 F,yM)w=-1 6 M.，线段M N的中点就是圆的圆心，1.xo=2 CXN+XM)=2 (K+l),代入直线方程得加=2 d，圆心坐标为+2,2 必)，直径 M N=d(xd(yc N)2(xM+xN)2-4xMxN+(yH+yN)2-4yHyN把 、代入上式化简整理得直径AW=ll6k4+80k2+64,MNl设圆上某一点(x,.y)到圆心的距离等于半径力1,-.-d 16k4+801+64 X-(2k+2)2+(y-2k2)2=2,化简整理得 1 6+1 2 -8 2=7 -4kx-4 x+y2 -4 5),=-4)-4 f c c+/-4 x+y2,圆过定点,所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，F、的系数，常量对应相等，得-8=-4 x,x=2,1 6=-4y,y 4,由以上分析,所以以M N为直径的圆过定点(2,-4).故答案为：以线段例N为直径的圆过定点(2,-4).3.(2 0 2 2 碑林区校级四模)在平面直角坐标系x O)，中,抛物线y=与x轴交于点A,3 (A在B的左侧）.（1）若抛物线的对称轴为直线x=-3 4 8=4.求抛物线的表达式；（2）平 移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点0,且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若 0 C P是等腰直角三角形，求点P的坐标.y532I I I I I 11111M.-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x I-分析（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y=-j+mx+n,列方程组求出m.n的值即可；（2）设平移后的抛物线的表达式为y=-f+加,将 点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作轴于点R根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标.【解析】（1）抛物线y=+加什与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线尤=-3,二点A与点B关于直线x=-3对称，,/点4在点B的左侧，且A8=4,(-5,0),B(-1,0),把 A(-5,0)、B(-1.0)代入 y=-x+mx+n,1-25-5m+n=0Wl-l-m+n=0,fm=-6解得1n=-5,.抛物线的表达式为丫=-?-6 x-5.(2)根据题意,平移后的抛物线经过原点，设平移后的抛物线的表达式为丫=-x2+b x,当 y=0 时，由-/+f o x=0 得 X i=0,x2=h,：.C(h,0),J.该抛物线的对称轴为直线x=2b,Jj Jj 1当 x=2 b 时,y=-(2 b)2 f=4 b1,Jj：.p(5 k,4 k 2)；如图，作POJ_x轴于点。，则OD=C O,OC P是等腰直角三角形，.*.N OPC=9 0 ,工:.PD=2OC=OD,Jj 14 b2=2 b,解得=2力2=0 (不符合题意，舍 去)，：.P(1,1).4.（2021秋福清市期末）己知抛物线丫=0?+公-2经 过（2,2）,且顶点在），轴上.（1）求抛物线解析式；（2）直线y=fcv+c与抛物线交于A,B两点.点P在抛物线上，当=0,且4BP为等腰直角三角形时，求c的值；设直线y=kx+c交x轴于点M（见0）,线段AB的垂直平分线交y轴于点N,当c=1,根6时，求点N纵坐标n的取值范围.【分析】（1）由题意可知匕=0,再 将（2,2）代入y=?+6 x-2即可求解析式；（2）求出 A（Vc+2,0）,B（-五 亚,0）,再由 2c+2+（c+2）2=4 （c+2），即可求 c；J j J i ly=x-1 Jd k i 由 题 意 可 得-N,k0,再由A 6,可得-另1火 0,联立ly=kx+l,得到A B的中点为（可2+1）,设A B的线段垂直平分线所在直线解析式为尸丘也与x轴的交点P（-m,0）,与y轴的交21 1 k l 3点为N（0力），由NPNO=N4W。,可得犬=?=-k,则有线段A 6的垂直平分线为产-k1x+2+日,k2 3所以N点纵坐标为=2+2,即可求2 V”3【解析】（1）顶点在y轴上,.6=0.抛物线2 经 过（2,2）,：.4a-2=2,a=1,.,.y=x2-2；(2)当=0 时,y=c,(y=c联立 y=x2-2,.A(Vc+2,c),B(-7 c+2,c),.A8P为等腰直角三角形，.P点在AB的垂直平分线上，.P点在抛物线的顶点(0,-2)处，A8=2VC+2 =BP=7C+2+(C+2)2|,：.2c+2+(c+2)2J=4(C+2),W；T c=l,.,.y=fcv+l,1m=-k,由题意可知,k6,_ 1/.-因VA-3,m=2,.y=/+6x+8：(3)存在直线AP与 CQ垂直的情形，理由如下：.ya(x+4)(x-m),1|-a(m+4)2：.P(21/7/-2,4),由题意可知抛物线T的解析式为y=a(x-/)(x-4),m+4-a(m-4)&.Q(,4),设宜线AP的解析式为y=kx+h,-4k+b=0g m-2)k加=、(,4)2 k=-|-(m+4)解得 b=-2a(m+4),a,.y=-2(m+4)x-2a(?+4),a同理可求直线CQ的 解 析 式 为 尸-2|(?-fay=(m+4)x-2a(m+4)wJy=-2(m-4)X+2 a(m-4x=-m解得 y a m&设直线AP与直线CQ的交点为M,1.M(-m,2 airi2-8 a),过点M作NMLx轴交于N,：AMCQ,.NAMQ=90,:.NAMN+NNMC=90；：ZAMN+ZNAM90,，NNMC=ZNAM,:.丛 AMNs 丛 MCN,ANl M N.,.M N=C N I,/.(2 am2-8a)2=(-?+4)(4+?)，4./=16-m2,wvod2l4)x+2a(7?z -4),o.0 16-m 4解得-3/w整理得*-(zn-3)x+=0,宜线P C与抛物线有且只有一个交点,.A =(/M -3)2-4/i=0,(m3)2.n=4(m-3)21W 4 W 4,.*-I W/w W l 或 5W m W 7,(m,0),8 (3,0),.8=3 -m,j j 3l 27.,.SAABC=21X(3-m)X (-3/M)=5 2-百，当-i W m W l 时,0 0)与抛物线的交点为MM求证：直线P M,Q N,C 交于一点.【分析】(1)过点A作A M L B C交于M由等腰直角三角形的性质求出A M=B M=2.从而求出M(l,3|Jj司)工(1,-5),8 (-1,5),再用待定系数法求解析式即可；y=2x,_1 2(2)(i )联立方程组I 2 ，即可求P、。点的坐标；(i i )设 M(x i,y i),N(x 2,y 2),联立方程组y=2x+rn_1 2y-x-X2，可得 xi+叱M Gjiulri+m jzuZn-2xi+m+12,3m求出直线P M的解析式后,求直线PM与C D的交点为(3,6+)，求 出QN的解析式后,求直线Q N3m与 8 的交点为(3,6+)，从而所求得证.【解答】(1)解：过点A作A M _ L 8 C交于M,ABC是等腰直角三角形，3l 1.AM=BM 2-(-2)2,S _ L x 轴,。(3,0),3：.C(3 0)，3|j j 3：.M(1,2),4(l,-2l)(-1,-2),yax2+bx+c(a O),d 1a+b+c=-3*a-b+c=y3.9 a+3 b+cjb=l解得lc=O,.yx2-x；y=2x_1 2Y-Y -Y(2)(i)解：联立方程组I 2 p 在。的左侧，：.P(0,0),Q(6,12)；(ii)证明：设 M(xi,yi),N(X2,y2),0时，由2+，4+m=m，求出m=5.【解析】(1)将 A (-1,0),B(3,0)代入 y=a?+法-3,(a-b-3=0/.19a+3b3=0,解得IN.,.yx1-2x-3,将 C (0,c)代 入)=/-法-3,可得=-3；(2)A (-1,0),B(3,0),C(0,-3)关于 x=3 对称的点分别为 A (7,0),8 (3,0),C(6,-3),设抛物线的解析式为y+b x+c,（4 9+7 b，+c =0l 9+3 by+cy=0 ,(b，=-1 0解得 ic =2 1 ,.y=f-10A+21；(3)；y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.抛物线的顶点为(1,-4),.当 z=-4 时，直线y=m 和图形“W”只有两个交点；当桁0 时，直 线 和 图 形“卬”只有两个交点；.加 0 或加=-4 时,直线卜=根和图形“W”只有两个交点;当加=-4 时,M(1,-4),N(5,-4),:.BM=BN,:AM N B是等腰三角形但不是直角三角形；当；0 时,M(1-V4+in,/M),N(5+VT4n,w),当 B M L AM 时,2+V T=/,解得?=0（舍）或?=5,2=5.C,点P 为x轴上方抛物线上的动点，点F 为y轴上的动点，连接PA,PF,A F.(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如 图 1,当点F 的坐标为(0,-4),求出此时AFP面积的最大值；(3)如图2,是否存在点F,使得AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点尸的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;(2)如 图 1,过点尸作PQy 轴交直线AF于点0,运用待定系数法可得直线A F的解析式为y=3 x-4,设 尸(f,-+2/+3)(-1 /3)，则。司-4),利用三角形面积公式可得以AFP=dpQOA1 21 3|jj 32=2(-?+3/+7)X 3=(r-引)2+可，再运用二次函数性质即可求得答案；(3)设 尸(皿-序+2加+3)(-l w 3),F(0,/)，分两种情况：当尸=9