果洛市重点2021-2022学年高考仿真模拟数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.方程/（x）=fx）的实数根与叫作函数/（x）的“新驻点”,如果函数g（x）=I n x的“新驻点”为a，那么a满足（）A.67=1B.0。1 C.2 a 3 D.la 0）与双曲线1一二二上（0,5 0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）a2 b2 a2 b2 2A A y=x3C y =-x2B.y=/3xD.y=y/2x11.已知b是双曲线C：2 +y 2 =4|&为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A.2k B.4k C.4 D.22 21 2.已知双曲线。:二-与=1（。0乃0）,点P（Xo，%）是直线/次 一+4。=0上任意一点，若圆（%-%）2+（丁一%）2=1与双曲线。的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）.A.（1,2 B.（1,4 C.2,+01 5.若实数x,y满足约束条件 0）过 点 过 坐 标 原 点。作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于N两点.（1）证明：当+%?取 得 最 小 值 时，椭圆C的离心率为也.2（2）若椭圆C的焦距为2,是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.18.（12分）在 AABC中，角 A、B、。所对的边分别为。、b、c,且cos2C+3cosc-1=0.（1）求角。的大小；（2）若 b=3 a,AABC 的面积为/s in AsinB,求 sinA 及 c 的值.19.（12分）已知函数/（力=巨心上X（1）若/（X）2.20.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.XyWio,如臼（吗-可i-lTX（吗-可（乂-。i 11.4720.60.782.350.81-19.316.21 1 1 0,表 中 叱=丁，卬=高2叱玉 1U ;=（1）根据散点图判断，y=。+法 与y=c +4哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程X类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量f成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（%,、），（2，岭），（“3,匕），（”“，匕），其 回 归 直 线=C +的斜率和截距的最小二乘估计f （匕-皿/-）分别为 0 -1 ，a =v-/3ui=2 1.（1 2 分）已知函数 x）=x ln x -,a s R.（1）若曲线y=/（x）在点（1J。）处的切线方程为y=x+b,求 ，b;（2）当x N l时，f（x）ax2-3 a x+l,求实数。的取值范围.x=a+2 t2 2.（1 0分）在平面直角坐标系X。）中，直线/的参数方程为。为参数），以坐标原点为极点，x轴正半I y=-f轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为=丁 上103+surd(1)若a=-2,求曲线C与/的交点坐标；(2)过曲线。上任意一点P作与/夹角为45。的直线，交/于点A,且|力|的 最 大 值 为 加，求。的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】由题设中所给的定义，方程/(x)=/(x)的实数根品叫做函数f(x)的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出。的大致范围【详解】解：由题意方程/(x)=f(x)的实数根/叫做函数f(x)的“新驻点”，对于函数g(x)=/，优，由于g(x)=LX,1Inx=,x设。)=/依-，该函数在(),+8)为增函数，X/z(l)=1 0,(x)在(1,2)上有零点，故函数g(x)=/x的“新驻点”为。，那么la3 2=0-交 5 r解 得 一 彳，故z=q -2 i，复数二在复平面内对应的点为（之，-2），在第四象限.h=-2 2 2故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共扼复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.A【解析】根据直线平行的等价条件，求 出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=l时，两直线方程分别为直线h：x+y-1=0,h：*+5，-2=0满 足1/1 2,即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y-1=0,和-2 x -2=0,不满足条件.3n2 2 tn 2当 m/）时，则=,m 1 -13n?2 m由-=一得 m?-3m+2=0 得 m=l 或 m=2,m 1,m-2由7。得 n#2,则 m=l,即“m=l”是“h L”的充要条件，故答案为:A【点睛】（D 本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线q x +Zv+q=0 和直线zX+Hy+c2=平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5.A【解析】令 一，构造 _，要使函数/_、；_ _ 有三个不同的零点-其中则方M 二 二仁）二3 二（二）=住）+六一二 -a程二；+二二一二=0需要有两个不同的根二,二、，则二=二：+4二 0，解得二 0或二 _ 4 结合 _ 的图象，-（-）=7E并 分-0,一 一.两个情况分类讨论，可求出-、二/-、/尸、的值-（/-音）（一 高）（/-导）【详解】令三=:构造 求导得_ _、_三，当二理，二（二）0；当二幽，二（二）0，故二（二）在 上 单 调 递 增，在0+工）上单调递减，且二 0 时，二（二）0,二 。时，二（二）0,_./a =_（9）=；可 画 出 函 数 的 图 象（见下图），要使函数 _ _ 有 三 个 不 同 的 零 点-一（其中-二（二）=（=）+三一二 一/TT则方程二：+二二一二=o需要有两个不同的根二二，（其中二，二）则二=二：+4二0，解得二 庐 二 一4,且住 十 三=一 了I 7 .匚：=_若二0,即任；+二.=-二 V 0，_ /则 二/0二二，且二仁；）=二（二。=二（口 口：=一 口 0 1*e故-（/一 W）（,一三）=a 一 二 户 匚）=口 一（二/+二 二）+二二丁=,a +一口）若-_ 4，即一-=_-、，由于，故,，故-不符合题意，舍去.P,.;J_C 4 口仁）皿=匚。）=：口+；：解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.6.B【解析】设双曲线的渐近线方程为y =，与抛物线方程联立，利用 =（）,求出A的值，得到f的值，求 出 关 系，进而判bV2 V2断兄。大小，结合椭圆 +=1的焦距为2,即可求出结论.a2 b2【详解】设双曲线的渐近线方程为y=kx,代入抛物线方程得x2-k x+-=O,3,4 2依题意A =K 一 =0 女=土 耳，a 2 2厂wr2 2 z_.椭圆三 十 与=1的焦距2 耳=2,a bb1 =h2=I,/?2=3,Q?=4 ,3 32 2双 曲 线 的 标 准 方 程 为 土 =1.4 3故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.7.C【解析】由已知求出等比数列%的公比，进而求出根+=4,尝试用基本不等式，但加,e N取不到等号，所以考虑直接 取 的 值 代 入 比 较 即 可.【详解】a6=2a5+3a4,-2 q-3 =0,.,.q=3 或 7 =1 (舍).,.b0)与 双 曲 线一 斗=(a0,b0)即a2 b2 a2 b2 22)厂 y=l(a0,b0)的焦点相同，可2 2得：a2-b2=-a2+-b2,2 2hH n2 C 7 2.b 5/3 j.ze V?即/=3/r,可 得”一 二 ：-,a 3-3正b _双曲线的渐近线方程为：y=&x=与x,a 3双故选：A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.11.D【解 析】分 析 可 得k 0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】2 2当人上0时,等式区2 +了2=4|女|不是双曲线的方程；当k 020)的一条渐近线方程为丫=一*,即b x a y =(),a b aV依0，丫0)是直线6*-2丫 +4 2 =0上任意一点，i 4 a 4 a贝！I直线b x -a y +4 a =0与直线b x -a y =0的距离d =/,:=,，a +b c.圆(x *0+(丫-丫0)2=1与双曲线。的右支没有公共点，则d N l,4 cA 1,即e =-W 4,又elc a故e的取值范围为(1,4 ,故选：B.【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线。的右支没有公共点得出d N l是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.39【解析】求出。专业人数在A、B、C、。四个专业总人数的比例后可得.【详解】由题意A、B、C、。四个不同的专业人数的比例为8:1 2:1 0:1 3,故。专业应抽取的人数为1 2 9 x-=-8 +1 2 +1 0 +1 3=3 9.故答案为：L【点睛】本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的.1 4.1【解析】试题分析：由函数f(x)=x l n(x+V +x2)为 偶 函 数=函 数g(x)=l n(x+J a +幺)为奇函数,g(O)=l na =O=a =l.考点：函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用转化思想，将函数/(x)=x l n(x+V +7)为偶函数转化为函数g(x)=l n(x+J a +f)为奇函数,然后再利用特殊与一般思想，取g(0)=l na =0 =a =l.1 5.3【解析】作出可行域，可得当直线z =x +2 y经过点4(1,1)时,z取得最大值，求解即可.【详解】3 x-y-2 =0/、作出可行域(如下图阴影部分)，联立,八，可求得点4(1/，x+y-2=0当直线z =x +2 y经过点 A(l,l)时,Za=l+2 x l =3.故答案为：3.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，属于基础题.1 6.8&【解析】先根据点共线得到O C =O。，从而得到。的轨迹为阿氏圆，结合三角形A B C和三角形3 0。的面积关系可求.【详解】设电质=软+经吟母经3 2 J?1 _ _B,0,E共线，则彳 +不=1,解得2 =5，从 而。为C Z）中点，故O B =6 0 C =近0口 .L L，在A B O。中，BD=2,O B =/2 OD.易知。的轨迹为阿氏圆，其半径尸=2&，故 SABC=4s玲OD-2 B D -r=8-72 .故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1?1 7.（1）证明见解析；（2）存在，x2+y2=【解析】（1）将 点 代 入 椭 圆 方 程 得 到 二+2=1,结合基本不等式，求得+9取 得 最 小 值 时/=2，进而证得I e r 4 b-椭圆的离心率为也.2(2)当直线MN的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得。到直线MN的 距 离.当 直 线 的 斜 率 存 在 时，联立直线 的 方 程 和 椭 圆 方 程，写出韦达定理，利用OM_LQV,则玉+乂H=0列方程，求得?，斤的关系式，进而求得。到直线MN的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】.-1a2 4b2(1)证明：.椭圆C经过点当 且 仅 当 咚=致，即1=2尸时，等号成立,a2 4此时椭圆C的离心率e=J W=也.V a2 21 9(2)解：椭圆。的焦距为2,.片 一 从=,又 靛+疗=i,.a 2=4,=3.当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时，由对称性，设 加(毛,毛)，N(毛，-毛).2 2,：M,N在椭圆C上，.互+百=,二片4 312T，二。到直线MN的距离d当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为旷=丘+祖.y=kx+m由Yy2+=114 3,得（3+4公b2+8加a+4m2-12=0,=（8 6）2 -4（3+4左2 乂4病 一 12）0.设M（X，y）,N（x2,y2）,则%+%=-，中2=?；产3+4K j+4kV OM 1 ON,中2+凶%=。，:.xx2+（2 +机）（仇 +m）=（&2 +1）%工2 +奶2（芭 4-x2）+m2=0,(公+1W-1 23+4k2Sk2m23+4公2+m0,即7/=1 2俨+1）,。到直线MN的距离d=2亘.Jl+公 V 7 7综上，0到直线MN的距离为定值，且 定 值 为 其 王，故存在定圆。：x2+y2=,使得圆0与直线MN总相切.7 7【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.18.(1)C (2)sin A =;c 二小3 14【解析】(1)由 cos 2C=2cos2 C 1 代入 cos2C+3cosc 1 =0 中计算即可；(2)由余弦定理可得c=缶，所以sinA=：g s in C,由=。从亩。=C sin Asin8,变形即可得到答案.【详解】(1)因为cos2C+3cosc 1 =0,可得：2cos2。+3cosc-2 =0,/.cosC=-,或cosC=-2(舍)，V 0 C 一I n x，构造函数g(x)=I一n X，求得g(x)的最大值即可;X X(2)首先通过求导判断f(x)的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数(幻=/(幻-/(2-幻，将问题转化为证明(x)0,探究(x)在区间内的最大值即可得证.【详解】解：(1)由/(x)办 H 9 即-,XI n X令 g(%)=F，(%0),则只需 a g(X)m a x，Xg (x)=l 21nx,令gx)=0,得x =G，xg(x)在(0,J 7)上单调递增，在(工,+0 0)上单调递减,，g(X)m a x =g(a)=(，a的取值范围是(_,+0 0);2e n Y(2)证明：不妨设玉 0,/(x)单调递增，当x e(l,+8)时，(x)0,/.0 m l,-xl 1 2,即证2 2-玉，由2 1,2-玉1,f(x)在(1,y)上单调递增,只需证明/()/(2 石)，由/(%)=F(毛)，只需证明f M/(2玉)，令(x)=/(x)-/(2-x),x e(0,l),只需证明/，(x)0,易知 (D =0,4(x)=/(x)+/(2-x)=-吗-吁？x(2-x)由xe(O,l),故一I nx。,/,/(x)-lnx-ln(2-x)(2-x)2-lnx(2-x)J(2-x)20,从而(X)在(0,1)上单调递增,由力(1)=0,故当无(0,1)时,(x)2,证毕.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题.I d20.(1)y=c+r更 适 宜(2)y=5+r(3)x 为 2 时，烧开一壶水最省煤气x x【解析】(1)根据散点图是否按直线型分布作答；(2)根据回归系数公式得出y 关于。的线性回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.【详解】(1)y=c+4更适宜作烧水时间j 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型.t(w-w)(y-y)1 6 2(2)由公式可得：d=20,Z(吗-可/=1U 一 而=20.6-20 x0.78=5，20所以所求回归方程为y=5+-r.厂,、九 7 ,(c 20A _ 20左 _ 匚 20 _ _.(3)设/=丘，则煤气用量 S=*=Ax 5+=5kx-i-2.5kx-=20/c,V x)x V x20”当且仅当5日二时取“=，即x=2 时，煤气用量最小.x故X为2时，烧开一壶水最省煤气.【点睛】本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.4 、21.(1)1),当a=0时,g(x)NO,g(x)在x N l时为增函数，所以g(x g =0,舍；当。时，(x)开口向上，对称轴为x=；,/(1)=1-0,所以g(x)在X 1时为增函数,所以g(x)g(l)=O,舍；当a 0时，二次函数(X)开口向下，且 =10,所以(x)在x0时有一个零点看,在(0,小)时(x)0,在(6+)时(力0,当/=1一。0即a l时，(力在(1,%)大于零,所 以g(x)在(1,%)时为增函数，所 以g(%)ig(l)=O,舍.综上所述：实 数。的取值范围为 1,+8)【点睛】本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属 于 中 档 题.处 理 函 数 单 调 性 问 题 时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值.22.(1)(-2,0),1,1)【解 析】；(2)a=l或a=1(1)将 曲 线C的极坐标方程和直线/的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C与/的交点坐标;(2)由 直 线/的 普 通 方 程 为x+2y-。=0,故。上 任 意 一 点(2 8 5 0百$山0,根据点到直线距离公式求得P到直 线/的 距 离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.【详 解】八、12(1)3p2+p2sin2=12.由，x=OCOS0 0 1.八,得3/+4：/=12,y=psin 02 2曲 线C的 直 角 坐 标 方 程 为 土+匕=1.4 3当a=2时，直 线/的 普 通 方 程 为x+2y+2=0由，x+2y+2=0X2 y2 解得:+=114 3x=-2或y=0从 而C与/的 交 点 坐 标 为(-2,0),X=13.(2)由题意知直线/的普通方程为x+2y-a=0,C的参数方程为尤=2cosar.(。为参数)y=V3sin(7故C上 任 意 一 点P(2cos a,6sin a)至!l/的距离为.12cos a +2G si忑4sin a +工-。I 6j忑贝 111PAi=0 d =sin 45MH.当aZO时，|PA|的最大值为且4=7111所以4=1;当a0时，|PA|的 最 大 值 为 回 辔=晒，所以a=-l.综上所述，。=1或a=-4【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.