第二章　§3　第2课时　函数的最值.docx

第二章函数§3函数的单调性和最值第2课时函数的最值课后篇巩固提升基础达标练1.函数y=-|x|在R上()A.有最大值0,无最小值B.无最大值,有最小值0C.既无最大值,又无最小值D.以上都不对解析因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.答案A2.(多选题)若函数y=ax+1在区间1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是()A.2B.-2C.1D.0解析显然a0,当a>0时,y=ax+1在x=2取得最大值,在x=1取得最小值,所以2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,y=ax+1在x=1取得最大值,在x=2取得最小值,所以a+1-(2a+1)=2,即a=-2.答案AB3.函数y=x+x-2的值域是()A.0,+)B.2,+)C.4,+)D.2,+)解析函数y=x+x-2在区间2,+)上单调递增,所以其最小值为2.答案B4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内()A.有最大值42,有最小值12B.有最大值42,有最小值-14C.有最大值12,有最小值-14D.无最大值,有最小值-14解析f(x)=x+32214,x(-5,5),当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值.答案D5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x0,1,若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,当x0,1时,f(x)单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,f(x)max=f(1)=3+a=1.答案C6.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0x15,且xN),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=192,开口向下,又xN,所以当x=9,或x=10时,y取得最大值120万元.答案B7.已知定义在(0,+)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是()A.(-,2)B.(1,+)C.(1,2)D.(0,2)解析令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1f(x-1)>f(1).又f(x)在区间(0,+)上单调递减,所以x-1>0,x-1<1,得1<x<2.故选C.答案C8.若函数f(x)=1x在区间1,a上的最小值为14,则a=. 解析f(x)=1x在区间1,a上单调递减,函数f(x)的最小值为f(a)=1a=14,a=4.答案49.求函数f(x)=1x,12x<1,x,1x3的最大值与最小值.解画出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,函数的最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=1.10.已知函数f(x)=x2-2x+2.(1)求f(x)在区间-2,3上的最大值和最小值;(2)若g(x)=f(x)-mx在区间-1,2上单调递增,求m的取值范围.解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,而x-2,3,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间-2,3上的最大值为10.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数g(x)在区间-1,2上单调递增,可得m+22-1,解得m-4.故m的取值范围是(-,-4.能力提升练1.函数y=2-x2+4x的值域是()A.-2,2B.1,2C.0,2D.-2,2解析要求函数y=2-x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x(x0,4)的值域即可.设函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x0,4),所以f(x)的值域是0,4.因为t=f(x),所以t的值域是0,2,-t的值域是-2,0.故函数y=2-x2+4x的值域是0,2.故选C.答案C2.(多选题)(2020福建厦门双十中学高一月考)对于实数x,符号x表示不超过x的最大整数,例如=3,-1.08=-2,定义函数f(x)=x-x,则下列命题正确的是()A.f(-3.9)=f(4.1)B.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)的最小值为0D.函数f(x)是增函数解析根据符号x的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-x的解析式:当-1x<0时,x=-1,则f(x)=x-x=x+1;当0x<1时,x=0,则f(x)=x-x=x;当1x<2时,x=1,则f(x)=x-x=x-1;当2x<3时,x=2,则f(x)=x-x=x-2.画出函数f(x)=x-x的图象如图所示.根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;从图象可知,函数f(x)=x-x在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;根据函数单调性,可知函数f(x)=x-x在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以D错误.答案AC3.已知函数f(x)=-x2+2x+4在区间0,m上有最大值5,最小值1,则m的值等于()A.-1B.1C.2D.3解析因为函数f(x)=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数f(x)在区间(-,1上单调递增,在区间(1,+)上单调递减.若m1,则函数f(x)在区间0,m上单调递增,其最小值为f(0)=-02+2×0+4=4>1,显然不合题意.若m>1,则函数f(x)在区间0,1上单调递增,在区间1,m上单调递减,故函数f(x)的最大值为f(1)=5.而f(0)=-02+2×0+4=4>1.令f(m)=1,即-m2+2m+4=1,也就是m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.又因为m>1,所以m=3.故选D.答案D4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“􀱇”如下:当ab时,a􀱇b=a;当a<b时,a􀱇b=b2.已知函数f(x)=(1􀱇x)x-2(2􀱇x)(x-2,2),则满足f(m+1)f(3m)的实数的取值范围是()A.12,+B.12,2C.12,23D.-1,23解析当-2x1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;当1<x2时,f(x)=x2·x-2×2=x3-4.所以f(x)=x-4,-2x1,x3-4,1<x2.易知,f(x)=x-4在区间-2,1上单调递增,f(x)=x3-4在区间(1,2上单调递增,且-2x1时,f(x)max=-3,1<x2时,f(x)min=-3,则f(x)在区间-2,2上单调递增,所以由f(m+1)f(3m)得-2m+12,-23m2,m+13m,解得12m23,故选C.答案C5.若函数f(x)=-(x-2)2,x<2,(3-a)x+5a,x2满足对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是. 解析由题意得y=f(x)为增函数,3-a>0,-(2-2)22(3-a)+5a,-2a<3.答案-2,3)6.用mina,b表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=minx+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为. 解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据minx+2,10-x(x0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).由图象可知,函数f(x)的最大值为6.答案67.函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1(a为实数).(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.解(1)任取x1,x2(0,1,且x1<x2,则x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)2+ax1x2>0,即a<-2x1x2恒成立,a-2.(2)由2x-ax>5(x(0,1),得a<2x2-5x(x(0,1)恒成立.2x2-5x=2x-542258,函数y=2x2-5x在区间(0,1上单调递减,当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3.8.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨,每吨大米的价格为6 000元,大米的保管费用z(单位:元)与购买天数x(单位:天)的关系为z=9x(x+1)(xN+),每次购买大米需支付其他固定费用900元.(1)该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少?(2)若提供粮食的公司规定:当一次性购买大米不少于21吨时,其价格可享受8折优惠(即原价的80%),该食堂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由.解(1)设每天所支付的总费用为y1元,则y1=1x9x(x+1)+900+0.6×6000=900x+9x+36093609+2900x·9x=3609+180=3789,当且仅当900x=9x,即x=10时取等号,则该食堂10天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该食堂接受此优惠条件,则至少每35天购买一次大米,设该食堂接受此优惠条件后,每x(x35)天购买一次大米,平均每天支付的总费用为y2,则y2=1x9x(x+1)+900+0.6×6000×0.8=900x+9x+2889,设f(x)=900x+9x=9x+100x(x35),则f(x)在x35时为增函数,则当x=35时,y2有最小值,约为3229.7,此时3229.7<3789,则食堂应考虑接受此优惠条件.素养培优练已知函数f(x)=x2-mx+2.(1)若f(x)在区间(-,1上的最小值为-1,求实数m的值;(2)若m4时,对任意的x1,x21,m2+1,总有|f(x1)-f(x2)|m24-4,求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)=x2-mx+2,其图象的对称轴方程为x=m2.当m2时,f(x)min=fm2=-m24+2=-1,m=-23;当m>2时,f(x)在区间(-,1上单调递减,f(x)min=f(1)=12-m+2=-1,m=4.综上可知,m=-23或m=4.(2)m4,m21,m2+1,且m2+1m2m2-1,当x1,m2+1时,f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=fm2=-m24+2.对任意的x1,x21,m2+1,总有|f(x1)-f(x2)|m24-4,f(x)max-f(x)min=3-m+m24-2=m24-m+1m24-4,解得m5,实数m的取值范围是5,+).