第三章 §3 第1课时 指数函数的概念、图象与性质.docx
第三章指数运算与指数函数§3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的概念、图象与性质课后篇巩固提升基础达标练1.函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为()A.2B.1C.3D.2或-1解析由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1,故选D.答案D2.已知函数f(x)=4x,x>0,f(x+1)-1,x<0,则f-12+f12=()A.3B.5C.32D.52解析f-12=f12-1=412-1=1,f12=412=2,f-12+f12=1+2=3,故选A.答案A3.函数y=ax-a(a>0,且a1)的图象可能是()解析当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确,选项C正确.答案C4.已知a=30.2,b=0.2-3,c=3-0.2,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a解析3>1,0<0.2<1,a=30.2(1,3).b=0.2-3=15-3=53=125,c=3-0.2=13 15<130=1,b>a>c.答案B5.已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且f(3)<f(2),则a的取值范围是. 解析f(x)是指数函数,且f(3)<f(2),函数f(x)在R上是减函数,0<1-2a<1,即0<2a<1,a<0.答案(-,0)6.已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第象限. 解析0<a<1,指数函数y=ax为减函数,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不经过第三象限.答案三7.根据函数y=|2x-1|的图象判断:当实数m为何值时,方程|2x-1|=m无解?有一解?有两解?解函数y=|2x-1|的图象可由指数函数y=2x的图象先向下平移一个单位长度,再作x轴下方的部分关于x轴对称的图形,如图所示,观察两函数y=|2x-1|,y=m的图象可知:当m<0时,两函数图象没有公共点,所以方程|2x-1|=m无解;当m=0或m1时,两函数图象只有一个公共点,所以方程|2x-1|=m有一解;当0<m<1时,两函数图象有两个公共点,所以方程|2x-1|=m有两解.能力提升练1.定义maxa,b,c为a,b,c中的最大值,设M=max2x,2x-3,6-x,则M的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析画出函数M=max2x,2x-3,6-x的图象,如图所示.由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M的最小值为4,故选C.答案C2.指数函数f(x)=mx,g(x)=nx满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是()解析由0<m<n<1可知应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,不妨选特殊点法,令x=1,得对应的函数值分别为m和n,由m<n,可知C选项符合题意.答案C3.若函数f(x)=a(x-1)+1,x<-1,a-x,x-1是R上的单调函数,则正实数a的取值范围是()A.13,1B.0,13C.(0,1)D.(1,+)解析显然a=1不符合条件,a是正实数,当x<-1时,f(x)=a(x-1)+1单调递增,于是函数f(x)在R上单调递增,又当x-1时,f(x)=a-x=1ax,1a>1,a(-1-1)+1a,解得13a<1.答案A4.(多选题)(2020山东临沂高一期末)如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是()A.蓝藻面积每个月的增长率为100%B.蓝藻每个月增加的面积都相等C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60 m2D.若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3解析由题图可知,函数y=at的图象经过点(1,2),即a1=2,则a=2,y=2t;2t+1-2t=2t不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,因而每个月的增长率为100%,A对,B错;当t=6时,y=26=64>60,C对;若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t1=2,2t2=3,2t3=6,于是2t1·2t2=2×3,即2t1+t2=6,因而t1+t2=t3,D对.答案ACD5.(多选题)(2020江苏海安高级中学高一月考)若函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点,则实数a可能的取值为()A.2B.0C.1D.-1解析由f(x)=ex-1与g(x)=ax恒过点(0,0),如图,当a0时,两函数图象恰有一个公共点;当a>0时,函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点,则g(x)=ax为f(x)=ex-1的切线,且切点为(0,0),易验证知,当a=1时符合题意.结合选项,知B,C,D均符合题意.答案BCD6.比较下列各题中两个数的大小:(1)31156与83356;(2)3x2-2x+9与13x2+2x-6;(3)1.70.3与0.93.1.解(1)(方法一)31156÷83356=311×33856=9856.98>1,56>0,9856>1.又31156>0,83356>0,31156>83356.(方法二)利用指数函数y=311x与y=833x的图象(如图)比较大小.由图知31156>83356.(2)令y1=3x2-2x+9=3(x2-2x+1)+8=3(x-1)2+838,y2=13x2+2x-6=3-x2-2x+6=3-(x+1)2+737,y1>y2,即3x2-2x+9>13x2+2x-6.(3)由指数函数的性质知1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,1.70.3>0.93.1.素养培优练已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0);(2)求证:f(x-y)=f(x)f(y);(3)判断f(x)的单调性.(1)解令x=1,y=0,得f(1)=f(1)·f(0),由条件知f(1)0,f(0)=1.(2)证明设x<0,则-x>0.令y=-x,则有f(0)=f(x)·f(-x)=1,f(x)=1f(-x).f(-x)>1,0<f(x)<1.又f(x-y)·f(y)=f(x-y+y)=f(x),且f(y)0,f(x-y)=f(x)f(y).(3)解f(x)在R上是增函数,理由如下:由(2)知,对任意xR,都有f(x)>0.设x1,x2是R上任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)·f(x1)=f(x1)1-f(x2-x1)<0,f(x1)<f(x2),f(x)在R上是增函数.
