广东江门市2024届高三上学期第一次月考数学试题含答案.pdf

1 2024 届高三数学第一次月考试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1已知集合21Ax x=，2230Bxxx=N，则AB=（）A1,0,1 B0,1 C11xx D11xx Bbac Cbca=Dcba 4设a、b、cR且ab，则下列选项中正确的是（）A33ab B22ab Cabbc D11ab5“31m”是“不等式()()21110mxmx+，则数列 nb是递增数列 D若数列 na的公差0d，则数列 na是递减数列 11 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）.A若任意选择三门课程，则选法总数为37AB若物理和化学至少选一门，则选法总数为1225C C C若物理和历史不能同时选，则选法总数为3175CCD若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为121255C CC12已知函数()2121xxf x=+，则（）A函数()f x的图象关于原点对称 B函数()f x的图象关于y轴对称 C函数()f x的值域为()1,1 D函数()f x是减函数 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知幂函数()()23mf xmx=在()0,+上为单调增函数，则实数m的值为 .14已知正实数x,y满足111xy+=,则9xy+最小值为152log 3lg20lg52+=.16设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占0045、0035、0020，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为002和005.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为002.95，则推测乙车间的次品率为 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。广东江门市2024届高三上学期第一次月考数学试题2 17（本小题满分 10 分）等比数列 na的公比为 2，且234,2,a aa+成等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)若2lognnnbaa=+，求数列 nb的前n项和nT.18（本小题满分 12 分）已知函数()2lnf xxx=+(1)求曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；(2)求函数()()3h xf xx=的单调增区间19（本小题满分 12 分）为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在 20：0022：00 时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区 80 人，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男10 50 60 女10 10 20 合计20 60 80(1)根据以上数据，依据小概率值=0.01 的独立性检验，能否认为“在 20：0022：00 时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查 3 人，设调查的 3 人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 X，求 X的数学期望和方差.0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 22()()()()()n adbcab cd ac bd=+.20（本小题满分 12 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ADAA=，3AB=，点 E在棱AB上移动 3(1)证明：11D EAD；(2)当=ABAE31时，求1D E与平面1ACD所成角的正弦值 21（本小题满分 12 分）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了 200 份试卷进行调查，这 200 份试卷的成绩（卷 面共 100 分）频率分布直方图如右图所示 (1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N(，2)（用样本平均数和标准差 s 分别作为 、的近似值），已知样本标准差 s 7.36，如有 84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）(3)从得分区间80，90)和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10 份试卷，再从这 10 份样本中随机抽测 3 份试卷，若已知抽测的 3 份试卷来自于不同区间，求抽测 3 份试卷有 2 份来自区间80，90)的概率 参考数据：若 X N(，2)，则 P(X +)0.68，P(2 X +2)0.95，P(3 X +3)0.99.22（本小题满分 12 分）已知函数()()()1 ln1f xxxm x=+.(1)若1x=是函数()yf x=的极值点，求 m 的值；(2)若对任意的1,ex+，()0f x 恒成立，求实数 m 的取值范围。1 2024 届高三数学第一次月考试题数学参考答案数学参考答案1【详解】因为2111Ax xxx=，()()22303100,1,2Bxxxxxx=+.故选：C 4【详解】对于 A 选项，因为函数3yx=为R上的增函数，且ab，则33ab，A 对；对于 B 选项，取1a=，2b=，则ab，但22ab，B 错；对于 C 选项，取1a=，0bc=，则abbc=，C 错；对于 D 选项，取2a=，1b=，则11ab，D 错.故选：A.5【详解】当1m=时，()()21110mxmx+对任意的xR恒成立，当1m 时，则10m，解得：31m，故m的取值范围为31m 故“31m”是31m ，a与b的夹角不为钝角，A 错误；B 项，()2212211a bb=+，向量a在b方向上的投影为22，B 错误；C 项，()1,2ab=，()abc，()22mn=，即24mn+=，C 正确；D 项，422 2mnmn=+，即2mn，当且仅当22mn=时等号成立，mn的最大值为 2，D 正确；故选：CD.10【详解】取1,0pq=，nan=，显然 A 不正确；由等差数列片段和性质知 B 正确；取2nnb=，易知21q=，但 nb为递减数列，故 C 不正确；若0d，则由等差数列定义知10nnaad+=,所以10121x+,20221x+，所以211121x ,则()()212122112121xxf xf x=+=()()()2112122 222221212121xxxxxx=+,因为21xx，所以2112220,210,210 xxxx+，所以()()210f xf x,即()()21f xf x，所以函数()f x是增函数，故 D 错误，故选:AC.13【详解】由题意可得2031mm=，解得2m=.故答案为：2.14【详解】()119991 9xyxyxyxyyx+=+=+990,0,26xyxyxyyxyx+=,所以916xy+当且仅当9xyyx=即44,3xy=时等号成立,所以,9xy+的最小值为 16.故答案为:16.15【详解】()2log 32lg20lg52lg 20 53lg103235+=+=+=+=.故答案为：5 16003【分析】设出事件，设出未知数，利用全概率公式列出方程，求出答案.【详解】设A表示“取到的是一件次品”，123,B B B分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然123,B B B是样本空间的一个划分，且有()()()1230.45,0.35,0.2P BP BP B=，由于()()130.02,0.05P A BP A B=，设()2P A Bm=，由全概率公式得()()()()()()()112233P AP A BP BP A BP BP A BP B=+即000.45 0.020.350.2 0.052.95m+=，解得003m=，推测乙车间的次品率为003 故答案为：003 17【分析】(1)运用等差中项求出1a，再根据等比数列的通项公式求出na；(2)根据条件求出 nb 的通项公式，再分组求和.【详解】（1）已知等比数列 na的公比为 2，且234,2,a aa+成等差数列，3242(2)aaa+=+，()1112 4228aaa+=+，解得12a=，2 分1*2 22,Nnnnan=；4 分（2）2log 222nnnnbn=+=+，6 分()2(12)222nnTn=+.8 分1(1)222nn n+=+；10 分综上，()11222nnn nT+=+18(1)320 xy=；(2)10,2，()1,+.【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）利用导数即可求得函数()()3h xf xx=的单调增区间【详解】（1）()2ln(0)f xxxx=+，则()12fxxx=+1 分则()1123f=+=，又()1ln1 11f=+=，3 分则曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为3(1)1yx=+，即320 xy=5 分（2）()()2l33(0)n xh xfxxxxx=+，7 分则()2312312(0)xxxxxxh x+=+=，9 分由()0h x可得102x，11 分则函数()()3h xf xx=的单调增区间为10,2，()1,+.12 分19【分析】（1）根据卡方计算公式计算卡方，即可求解，（2）根据二项分布的期望和方差公式即可求解.【详解】（1）提出假设 H0：在 20：0022：00 时间段居民的休闲方式与性别无关系，根据样本提供的 22 列联表得，3()228010 10 10 50808.8896.63560 20 20 609=，3 分根据小概率值=0.01 的独立性检验，我们推断当 H0不成立，认为居民的休闲方式与性别有关.5 分（2）由题意得，53,6XB，6 分且()3315C,0,1,2,366kkkP Xkk=，10 分故()()555153,3626612E XD X=,12 分20【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11D EAD.（2）利用向量法求得1D E与平面1ACD所成角的正弦值【详解】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，1 分()()110,0,1,1,0,1DA，设()1,0,03Ett，2 分所以()()11=1,11,0,1=1 1=0D E DAt ，3 分所以11D EAD.4 分（2）当=ABAE31时，()1,1,0E，()1=1,1,1D E，()()1,0,0,0,3,0AC，()()1=1,3,0,=0,3,1ACCD ，6 分设平面1ACD的法向量为(),nx y z=，则13=03=0n ACxyn CDyz=+=+，故可设()3,1,3n=，10 分设1D E与平面1ACD所成角为，则11157sin=57193n D EnD E .12 分21【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均分65 0.0175 0.0485 0.03595 0.015()1080.5=+=；2 分（2）由（1）可知()280.5,7.36XN设学校期望的平均分约为 m，则()0.84P Xm=，因为0.68()PXo+，3(0.4)PX，即()73.140.84P X，所以学校期望的平均分约为 73 分；6 分（3）由频率分布直方图可知，分数在)80,90和90,100的频率分别为 0.35 和 0.15，那么按照分层抽样，抽取 10 人，其中分数在)80,90，应抽取0.351070.350.15=+人，分数在90,100应抽取0.151030.350.15=+人，8 分记事件A：抽测的 3 份试卷来自于不同区间；事件 B:取出的试卷有 2 份来自区间80，90)，则()3331073310CCC7C10P A=，()2173310C C21C40P AB=，10 分则()()()421340|710P ABP B AP A=所以抽测 3 份试卷有 2 份来自区间80，90)的概率为34.12 分22【详解】（1）()1lnxfxxmx=+，1 分1x=是函数()yf x=的极值点，所以001ln)1(=+=mf，0=m 3 分经检验0=m时，1x=是函数()yf x=的极值点。4 分（2）若()()()1 ln10f xxxm x=+在1,ex+上恒成立，则1ln1xmxx+在1,ex+上恒成立，6 分令()1ln1xg xxx=+，则()()()22112 ln1lnln111xxxxxgxxxxxx x+=+=+，7 分4 令()22 ln1h xxxx=+，则()2ln22h xxx=+.当1,ex+时，()0h x，h（x）在1,e+上单调递增且()10h=，9 分故当1x 时，()()()0,0,h xgxg x单调递增；当11ex时，()()()0,0,h xgxg x单调递减；故当1x=时，()g x取得极小值，也是最小值()10g=，11 分实数 m的取值范围为(,0 12 分【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形(2)构造新的函数 h(x)(3)利用导数研究 h(x)的单调性或最值(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题