重庆市兼善2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1 .全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 .请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21 .设双曲线三+匕=1的一条渐近线为y =-2 x,且一个焦点与抛物线/=4的焦点相同，则此双曲线的方程为a b()A.-x2 5y2=1 B.5y2 x2=1 C.y2-5x2=1 D.5x2 y2=14 4 4-4 2 .已知集合4 =川工2 V 8灯，B=2,3,6 ,C=2,3,7 ,则 3 U(C)=()A.2,3,4,5 B.2,3,4,5,6 C.1,2,3,4,5,6 D.1,3,4,5,6,7 2 2匕/b23.设月，鸟是双曲线C：=1(0,/?0)的左,右焦点，。是坐标原点，过点尸2作。的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|制=#|8|,则C的离心率为（）A.7 2 B.V 3 C.2 D.34 .在区间卜川上随机取一个实数3使直线 =左（+3）与 圆/+丁=1相交的概率为（）A 1 五 n V 2A B C D 2 4 2 42 25.如图，双曲线C:三 =l（a 0力 0）的左，右焦点分别是耳（一G0），E（G0）,直线y =与双曲线。的两TT条渐近线分别相交于A,8两 点.若 鸟=,则双曲线。的离心率为（）A.2C.V2n 4也1 5.-3D.竿6.已知耳，心是双曲线。：二-产=1（。0）的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线与C相交于A3两点，若aI A用=JL 则6的内切圆半径为（）A桓A -3及333D.空37.在四边形A B C D中，AD/BC,A B =2,AD=5,BC =3,N A =6 0。，点E在线段C B的延长线上，且A E =B E,点”在边C 所在直线上，则A M -ME的最大值为（)7 1A.B.-2 45 1C.D.-3 0448.已知椭圆C的中心为原点。，尸（-2石,0）为。的左焦点,P为C上一点,满足1。曰=|。|且|P E|=4,则椭圆C的方程为（）2 2A k y 1A -1-=12 5 5,2B.三+匕=1,23 6 1 6-1-=30 10VD-a+以=19.函数/（x）=s i n2 x+心i nx+3 x在 ,勺上单调递减的充要条件是（）6 3A.m -3B.m-4c.迪3D.m 410.已知函数R =（嚏ax+工。有三个不同的零点均 均 修（其中 eX1与 0力 0）的左、右顶点分别是A 8,双曲线的右焦点F为（2,0）,点 P 在过厂且垂直于x轴的直线/上，当 A A 8 P 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）x-2 y-2 01 2.若 x、，满足约束条件卜y +1 2 0 ,则 z =3 x+2 y 的最大值为（）”0A.5 B.9 C.6 D.1 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20 分。1 3 .函数/（x）=x -2 的极大值为.1 4 .在 A46C中，已知A B =3,A C=2,P 是边8C的垂直平分线上的一点，贝！l B C.A P=.1 5 .如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为7 78 29 384 446 81 6 .正方体ABCD-ABiG。的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），户为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，P M.Q N的 取 值 范 围 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x=acos（p1 7.（1 2分）在平面直角坐标系尤Oy中，曲线G的参数方程为，.。为参数），在 以。为极点,y=bsm（pX轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲 线 是 圆 心 在 极 轴 上，且经过极点的圆.已知曲线C上的点对应的参数0 =5,射 线 夕=?与 曲 线 交 于 点（1）求曲线G，。2的直角坐标方程；（2）若点A,B为曲线G上的两个点且求下+屋 下 的值.0A-10B r1 8.（1 2分）如图，在四棱锥尸-AB C O中，底面A B C。是矩形，四条侧棱长均相等.（1）求证：A B平面PC。；（2）求证：平面24。，平面A B C 0.1 9.（1 2分）如图，底面A B C。是等腰梯形，A D/B C,A D =2 A B =2 B C =4,点E为AO的中点，以防为边作正方形B E F G,且平面B E F G，平面A B C D.（1）证明：平面A C F J _平面3 E F G.（2）求二面角A-8F 的正弦值.20.（1 2分）设椭圆。：0+营=1（。0）的 离 心 率 为 白，圆O:Y +y 2=2与 轴正半轴交于点A,圆。在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2夜.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点试判断1 PM卜|9|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.2 221.(1 2分)椭 圆 七：二+:=1(。1)的左、右焦点分别为耳，居，椭圆E上两动点P,Q使得四边形P EQ K为a b 平行四边形，且平行四边形PF.QF,的周长和最大面积分别为8和2 K.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线 鸟与椭圆E的另一交点为M，当 点 片 在 以 线 段 为 直 径 的 圆 上 时，求 直 线 的 方 程.22.(1 0分)已知函数/(x)=a(x-l)l n x+e x(a c/?).其中e是自然对数的底数.(1)求 函数/(可在点x =l处的切线方程；(2)若不等式/(x)-e WO对任意的x e l,4 w)恒成立，求实数。的取值范围.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程二-三=1的渐近线方程为y =2 x,由题意可得力=k,又c 2=l,b-a v-a即6-。=1,解得“，h,即可得到所求双曲线的方程.【详解】解：抛物线f=4y的焦点为(0,1)2 2可得双曲线匕+匕=1仿0,a 0)a b 7V2 r2即 为2 _ _工b-a1的 渐 近 线 方 程 为y=由题意可得=2,即8=4a又c1=1，即一。=11 ,4解 得。=一 二，/?=.即双曲线的方程为2二5/=1.4故 选：C【点 睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.2.C【解 析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详 解】集合 4=丫 必 8*=口6W 0*j6OP,列出相应方程，求出离心率.【详 解】解：不妨设过点鸟（c,0）作y =，x的垂线，其方程为y =-（x-c）,by=x/2 ,a 初4曰 a/瓶口 61 a b由，解得x =,y=,即P，,c。c c Jy =_ g（x-c）、7由|用=遥 。，所 以 有 铝-+c =6 3+”,c I。）c-c）化简得3。2=,2,所以离心率e =Q.a故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.4.D【解析】利用直线y =H%+3）与圆X2+/=1相交求出实数攵的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线丁=M*+3）与圆/+y 2=l相交，则粤L ,解 得 一 立 !则2 =也,q =0,c =6,由a aAF2-AF =BF2-BFl =2a=2-j2,ABF2 的周长为AF2+BF2 +AB=2a+AFi +2a+BFt +AB=4a+2AB=6 y/2,设AAB8的内切圆的半径为r,则_ Lx 6&r=，x 2 G x J 5,r=，2 2 3故选：B本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.7.A【解析】依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE =3 E求出的坐标，求出边C 3所在直线的方程，设 加 卜,-屈+5 0），利用坐标表示A M,M E,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由A B =2,4）=5,BC=3,N A =6 0。,.-.A（0,0）,B（1,V 3）,C（4,6）,D（5,0）因为点E在线段C B的延长线上，设E（九 ,百），/3x+S,x/s jM E=（-l-x,x-4 V 3）=1-x）+（Gx-46）（-0 x +5=-4x2+2 6 x-6 0=-4x2+26x-60当了=一 时（4加.腔）=一一4 ，m ax 4故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.8.B【解析】由题意可得c=2逐，设右焦点为F，由|OP|=|OF|=|OF，|知,ZPFFZFPO,N O FA N O PF，所以 NPFF，+NOFT=NFPO+NOPF，由 NPFF，+NOPP+NFPO+NOPF，=180。知，NFPO+NOPF，=90。，即 PF_LPF在 RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF，|=JFT 2 _P F2=4 4肩42=8,由椭圆定义，得|PF|+|PF，|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a?=36,于是 b2=a2-C2=36-（2A/）2=16，2 2所 以 椭 圆 的 方 程 为 土+乙=1.36 16故 选 B.点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.9.C【解析】先求导函数，函 数 在 上 单 调 递 减 则f(x)W O恒 成 立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质6 3和 图 象，列不等式组求解可得.【详 解】依 题 意，/(x)=2 c o s 2 x+wc o s x+3 =4 c o s2 x+m c o s x +1,令c o s x =f,则/e，故4/+/用+”0在 弓 苧 上 恒 成立;结合图象可知，“1 1 .O4 x +根x +L,04 2，解得4 x +mx-04 2 4,-48百科-T故 根4-3故选：C.【点 睛】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：代 换 法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或/),利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余 弦 曲 线，结合图象求它的单调区间.1 0.A【解 析】X X(x QX令：=/,构造要使函数+二-。有三个不同的零点勺/?七(其中、丫2 0,解得 0或a 0,a-4两个情况分e类 讨 论，可 求 出1【详 解】X X /1 -X,令=构造 阳，=7 求导得g(x)=一7，当X 0；当X /时，g(x)0,e e e故g C,底(-o o,/)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且；v0时，g(x)0时，g(x)09 g(x)nax=g(l =-可画出函数g 的的图象（见下图），要使函数切=（ax+；.。有三个不同的零点勺，与,a（其中X/与七）,贝!1 方程el +at-a=0 需要有两个不同的根，“2 （其中。2），则/a+4a 0,解得a 0或c i -4,且，,112a若Q 0,即则则勺 0与 V 1 七，且 g（七）=8（匕）=%xA2/故 y 1 e /：=。-，j(/-f：y=J-。+0+，月-=。e 7+a-a)=19若a 4 i 2I 1 4，由于g a，m a x =g =故。+2 0）,即当机=匕时，等号成立，m此时NA必 最 大，此时4归的外接圆面积取最小值，2 2 _点P的坐标为（2力），代 入 与 与=1可得b=slc2-a2=72-a tr7 2所以双曲线的方程为土-匕=1.2 2故选：A【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.C【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2 y,找出直线在丁轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】x 2 y 2 0作出满足约束条件 0的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.y 0；当时，/,(x)=26C,所以AE=3C,因为45/8C,所以A/3 C,所以四边形A B C D是平行四边形，因为AB=BC,所以平行四边形ABCE是菱形，所以AC _L 5 E,因为平面8EFG，平面A8CO,且平面B EFG c平面A B C D =BE,所以A C，平面BEFG.因为ACq平面4 C F,所以平面A C F J_平面BEFG.(2)记AC,BE的交点为0,再取F G的中点P.由题意可知AC,BE,0P两两垂直，故以0为坐标原点,以射线0B,0C,0P分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.因为底面A B C D是等腰梯形,AD/BC,A D =2 A B =2 B C =4,所以四边形A B C E是菱形，且/B A D=60,所以 A(0,-百,0),5(1,0,0),(-1,0,0),0(-2,囱,(),F(-l,0,2),则 A B=(1,V3,0),B F=(-2,0,2),B D=(-3,6,(),设平面 A B F 的法向量为 m=&,y,z J,则 止 A5=x+J 3 x =0m-B F -2玉 +2Z=0，不妨取 =-1,则m=(73,-1,73),设平面D B F的法向量为=(X2，%，Z2)，则n B D =-3x?+5AM=.,r 不妨取 M=a,G Dm H故 cos(m,ri)=-mn/H)535圮二面角一。的大小为仇故，强=席=等【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了二面角的求法，利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法，属于中档题.2 220.（1）+2_=1;（2）见解析.6 3【解析】（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可.（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM-ON，结合三角形相似，证明结论，即可.【详解】（I）设椭圆的半焦距为c,由椭圆的离心率为也知，b=c,a=&b,22 2.椭圆C的 方 程 可 设 为 笳+斗=1 易求得A（0,o）,.点（及，虚）在椭圆上，.奈+1=1,解得a 6 x2 v22，椭圆C的方程为上+L =1.b2=3 6 3（U）当过点P且与圆。相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x=0,由（I）知,M,瓜吟,7 V（V 2,-V 2）,OM=g y,O N =五，-塔,OM-ON=G ,:.OM IO N.当过点P且与圆。相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y=+/，M（xe y j,N 5,y2）,rH=V2,即加2=2（42+1）.廿+1 ）联立直线和椭圆的方程得x2+2（Ax+m）2=6,/.（1 +2Z:2）X2+4kmx+2nr-6 =0,得A=-4（1 +2k2）（2m2-6）04km2nr-652-犷 万V OM=（%,y）,ON=（如 必），/.OM-ON=xlx2+yy2=xx2+（2 +m）（优+加），=(1+22)玉 工2+攵利(玉+x2)+m2=(1+2 2)_+km 7 n+/%22k+1 2k+1（1 +Z:2）（2w2-6）-4A;W+fn2（2k2+）3m2-6k2-6 3（2+2）-6-62k2+1 2 公+1 2 公+1：.0M ON.综上所述，圆。上任意一点尸处的切线交椭圆C于点M,N,都有QW_LCW.在RtbOMN中,由AOMP与A/VOP相似得，|。尸=归”卜忸川=2为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难.2 221.（1）亍 +=1 （2）3%+历-3=0或%-历-3=0【解析】（1）根据题意计算得到a=2,b=6,c =l,得到椭圆方程.设 牡 ：尤=，取+1,2（西,乂），（工2，%），联立方程得到，6m%+必=_不2+4,根据月产 河=0,计算得3m+4到答案.【详解】（1）由平行四边形PGQ工的周长为8,可知4a=8,即。=2.由平行四边形的最大面积为2百，可知Z?c=百，又a b l,解得人=6,c=l.r2 v2所以椭圆方程为土+二=1.4 3（2）注意到直线 用的斜率不为0,且过定点名（1,0）.设/%:尤=冲+1,尸（工|,X）,加（工2，%），由*I：；?”消x得（3 +4尸+6丁9=。，所 纺6m,+20，3m+493m+4因为后D=（根凹+2,y）,M=（加%+2,%），所以耳P 耳M=(阳 +2)(/佻+2)+%=(加2 +1)%M+2加(凹+%)+49(m2+l)12m2 7-9 m2=-人-F 4 -3加 +4 3加 +4 3 m 2 +4因为点片在以线段 9 为直径的圆上，所以片P.4 M=0,即z =土，所以直线P鸟的方程3 x +J 7 y-3 =0或3 x-V 7 y 3 =0.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为片尸片M=0是解题的关键.2 2.(1)yex.0,令(x)=g(x)=a(l n x +l -，)+e -e*,/.hx)=a -+XI-ex,易知，+与在 l,o)上单调递减，X X J X X.(力在1,”)上单调递减，)=2 a-e,当加一e 0即0 a时，(x)W0在 1,4 s)上恒成立，.(X)在 1,+)上单调递减，即g(x)在 1,+0即ag时，现 e(l,+oo)使 (x)=0,(x)在(1,%)递 增,此 时 (x)/?=0,g(x)0,.g(x)在(l,x 0)递增，.g(x)g(l)=o,不合题意.综上，实数。的取值范围是a2【点睛】本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.