2021高考数学全真模拟卷（北京版）01【解析版】.pdf

【赢在高考黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京版）第一模拟第一部分（选择题 共40分）一、选择题共1 0小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数z =（l +i）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为复数z =（l +i）=-l +i,所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限故选：B2.已知集合 A =x|-1 V%l）,则 人1为（）A.x|-l x 6 B.x l x 6C.x|1 x -l【答案】D【解析】由 A =x|-l x -1,故选：D.3.已知双曲线C经过点（虚,3）,其渐近线方程为y =v,则C的标准方程为（）.22A.y2 3=1 B.x2-=12 2cC.y2-工-=1 1 CD.-y-x 2 113 3【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为丁 =氐，2设双曲线的方程为：/一4 =/1（/1 7 0）,3 3双曲线。经过点（应,3）,，2 3 =几=丸=一1,二双曲线的方程为：匕 一/=1,3故选：D.4.若a,/w R,则“。1且N 1”是“而1且a+力之2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为。1且。1,所以根据同向正数不等式相乘得。人1,根据同向不等式相加得a+A2,即a+b N 2 成 立,因此充分性成立；当。=1,。=2时满足旦但不满足al目2 1,即必要性不成立；从而“a 1且b 1”是）出 1且a+6 22”的充分不必要条件，故选：A5.在（工 的 展 开 式 中*3的系数是（）A.-2 0 B.-1 5 C.2 0 D.3 0【答案】A（1 6（1、6-【解析】的展开式的通公式为&=墨L（-x2）r=（-iy c 3 r-6,x/J令3尸 一6=3 .则r=3,故 X3 的系数是 Tr=（1）3 C；=-2 0 ,故选：A6.直线米+y一2-1 =0与圆f+y 2 2 x 2 y 2 =0的位置关系是（）A.相离 B.相切C.相交 D.相交不过圆心【答案】C【解析】直 线 依+一2%一1=0的方程可变为（工一2）左+丫1 =0,可知该直线恒过点（2,1）,又22+12-2X2-2-2=3 -2攵一1 =0与圆f+y2 2 x 2 y 2 =0的位置关系是相交.当=0时，直线方程为y =l,过圆心（1,1）.故选：C.7.对 于 奇 函 数,f（x）,若 对 任 意 的%|5%2 e（-l,l）,工产了2 ,且 /（不）一 /叨 0，则当-1）+/（2加2）时，实数a的取值范围为（）A.（-正，五）B.；，应 C.（1,伪 D.gl）【答案】D【解析】解幻是奇函数,/（a 1）+f （2n 2）0可转化为 f（a?-1），/0）在（一单）上为单调递增函数，a 1 2 2。91 卜1 4-1 1 ,解得一-1 2-2 .1 0.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为I g E =4.8+1.5 A f.2 Ol l 年 3 月 1 1 日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2 008年 5月 1 2 日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）A.1 0,5B.1.5C.1 g 1.5D.W1【答案】A【解析】因为地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为l g =4.8+1.5 M,所以E =1（）48+L5M,当震级分别为里氏9.0级，里氏&0 级时，释放出来的能量的比值为：1 04.84-1.5x91 04.8+1.5x8=1 0”,故选：A第二部分（非 选 择 题 共 1 1 0分）二、填空题共5小题，每小题5分，共 2 5 分。1 1 .抛物线x2=4 y 的 准 线 方 程 是.【答案】y =-l【解析】因 为 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 4y,焦点在y 轴上，所以：2 =4,即 =2,所以=1,2所以准线方程为：y =L故答案是：y =-i.1 2 .在等差数列 a“中，9=1|2+6,则数列 a n 的 前 1 1 项和S“=.【答案】1 32【解析】由 a 9=a i2+6,得 2 a 9-a i2=1 2,2即 2 a i+1 6 d -a i-1 l d=1 2,.a i+5 d=1 2,a 6=1 2.贝|J S”=l l a 6=l l x l 2=1 32.故答案为：1 321 3.已知，=1,W=2,且 a（b-a）=-2,则向量与 的夹角为.2 兀【答案】3 /-（解析】a-b-a -a-b-a=a b-l=-2,一：a-b-1 1COS=1_ i一i-r =-册2 2,-0T T 2兀.=,32 7r故答案为：31 4.在 AB C 中，内角 A，B ,C 的对边分别是。，b,c,若=2/?2,sin C =5/3 sin B,则 c os A =【答案】昱3【解析】sinC=3 s i n B 根据正弦定理：.=c =J J。，sin B sin C根据余弦定理：/=/+/2 b c c os A，又 储=2，C y/3b故可联立方程：0,1 5.已知函数/(x)=3一,x 0,、x若函数g(x)=|/(x)|-3x+b有三个零点，则 实 数b的取值范围为【答案】(-6)55,。【解析】y =3 x-b与 y =-3(x 0)相切时。=-6 (正舍)，y =3 x-b与 丁 =4%一%2(0%4)不相切.由图可知实数b的取值范围为(F,-6)DT 三、解答题共6 小题，共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题满分14分）在AABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,S.b=c,2sinB=V3sinA.（I）求 cos3 的值；（II）若 4=2,求aA B C 的面积.GI【解析】（I）因为2 sin 8 =G s i n A,所以26=岛.所以a=g.所以cos B=2+0 2一 层（言+人 石la c2 x 学 力 ,6(II)因为4=2,所以=C=JG.乂因为cosB=走，所以sinB =3 3所以s ABC=L c s i n 6 x222、岛手=017.（本小题满分14分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.(I)求a的值；(I D假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；(III)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm以上的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人，用X表示身高在180 c m以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.【解析】(I)根据题意得：(0.005x2+a+0.020 x 2+0.040)x 10=1.解得 a=0.010.(I I)设样本中男生身高的平均值为最，则x=145x0.05+155x0.1 +165x0.2+175x0.4+185x0.2+195x0.05=(145+195)x0.05+155x0.1+(165+185)x().2+175x0.4=17+155+70+70=172.5.所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm.(Ill)从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm以上的概率约为4由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.2Z64264所以 P(X=0)=C；(；)($3=言;1 3P(X=l)=C；(-)I-(-)2=4 41 3P(X=2)=C(-)2-(-)=4 4尸(X=3)=C冲*)。=随机变量X的分布列为X0123p27642764964164 3因为X 8(3,)，所以EX=3X-=2.4 4 418.(本小题满分14分)如 图1,在RtZsABC中，NC=90,AC=4,8C=2,分别为边4。,4 5的中点，点F,6分别为线段8,BE的中点.将ADE沿OE折 起 到 的 位 置，使点。为线段入由上(I)求证：A.F L B E；(I I)线 段 上 是 否 存 在 点Q,使得RQ 平面4。七？若存在，求出AQ的长，若不存在，请说明理由；(III)当A2=：AB时，求直线GQ与平面4O E所成角的大小.【解析】(I)因为A D=D C,N A Q C=60。，所以4O C为等边三角形.又因为点尸为线段c o的中点，所以由题可知所以。，平面4 0 c.因为A/u平面4。，所 以 互 _LA.又 E D D C =D,所以 A/_L 平面BCDE.所以 A/_L8E.(I I)由(I)知 从尸，平面3CQE,F G 1 D C.如图建立空间直角坐标系，则尸(0,0,0),0(0,-1,0),C(O,l,O),E(l,-l,0),4 仅,0,G),5(2,1,0).设平面 4 O E 的一个法向量为=(x,y,z),人。=(0,-1,-),D E =(1,0,0),y+A/3Z 令z =l,所以丁 =一6，所以 =(0,-Q,l).x =0所以n-A.D=O，即n-D E =0假 设 在 线 段 上 存 在 点0,使尸Q 平面4QE.设AQ=X 4 B,X e(O,l .又 A6=(2,l,G)，所以 4Q=(2/L,4&).所以。=(2 2,2,6 庖)，则 F Q =(2/l,/l,G-血).所以尸。=一 血+百 一 血=().解得，A=.一2则 在 线 段 上 存 在 中 点。，使尸。平面且(I I I)因为 4Q=|A3,又 A3=(2,l,G),所以 4。=，(，一岁)所以。4|,当.又因为G(|,。,。)，所以G Q =(,因为”=(0,-6,1),设宜线GQ与 平 面 所 成 角 为。，则s i n 0=GQ-nMH6U-1-2x42百T _24直线GQ与平面A D E所成角为3 0 .1 9.(本小题满分1 4分)已知函数/(x)=l n x-ar-l(R),=xf(x)+-x2+2 x .(I)求/(x)的单调区间;(II)当。=1时，若函数g(x)在区间(依 加+1)(6？Z)内存在唯一的极值点，求加的值.【解析】(I )由已知得x0,fx)=-a =X-cixX(i )当时，/(x)0恒成立，则函数/(在(0,+8)为增函数;(i i)当a0时，由/(x)0,W O x-；a由/(x)L；a所以函数f(x)的单调递增区间为(0,L)，单调递减区间为(L,+00).a a(II)因为 g(x)=(x)+；x 2 +2x=x(l n x-x-l)+-x2+2x=x l n x-x2+x,则 g(x)-l n x+1 x+1 =l n x x +2 =/(x)+3 .由(I )可知，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+o。)上单调递减.又因为g(!)=2 +2 =二 (),e e e-所以g(x)在(0,1)上有且只有一个零点x,.又在(0,%)上g(x)0,g(x)在(X 1,l)上单调递增.所以西为极值点,此时m-0.又g(3)=l n 3 1 (),g(4)=2 1 n 2 2 0,g(x)在(3,x2)上单调递增；在(工2,4)上g(x)1),离心率6 =四.直 线/：工=叩+1与8轴交于点4,与椭圆。相交于瓦尸a3两 点.自 点 及F分别向直线x =3作垂线，垂足分别为用，月.(I )求椭圆C的方程及焦点坐标；(II)记&耳,的 面 积 分 别 为 邑，S 3,试 证 明 昔 为 定 值.【解析】(I)由题意可知人=1,又=亚，即=1二2.解得2=3.即a 3 a2 3所以 c=yja2 b2=6.2_所以椭圆C的方程为（+y2=i,焦点坐标为（应,0）.x=my+1,o o(H)由 得。%之+3)/+2加 一2=0,显然m cR.广+3 y 3=0设 1（芭,必）,尸（工 2，%），则 X+%=2/77，必%2，&(3,乂),(3,必).nr+3 m+3因为 5户3=3(3%)|%|二(3-/)昆|=-(2-m yl)(2-m y2)yly2=；4 2加(必+%)+m2 M】IM%I_2/H 2 _2+mi -)m+3 m+3-2/+3=(4-2m-43(m2+2)一(加2+3 f 乂因为 S22=g x 2乂 一 =(M+一4%当4m2 8 _ 4m2+8?2+24(m2+3)2 加2+3 (加2+3)212m2+24(苏+3)23(+2)所以找=五包I 2S22 12(病 +2)4(m2+3)22 1.（本小题满分1 4 分）对于正整数集合4=%,4，?（n e N n3 3）,如 果 去 掉 其 中 任 意 一 个 元 素i=1,2,）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.(I )判断集合 1,2,3,4,5 是否是“和谐集”(不必写过程)；(II)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；(III)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.【解析】(I )集合 1,2,3,4,5 不是“和谐集”.(I I )设集合A=ava2,凡 所有元素之和为A/.由题可知，M-at(/=1,2,)均为偶数，因此。(1=1,2,，“)的奇偶性相同.(i)如 果 为奇数，则(i=1,2,)也均为奇数，由于知=4+o 2+所以为 奇数.(i i)如果M为偶数，则4 (i=l,2,)均为偶数，此时设q =2b,则 他 也，也 也是“和谐集重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.(III)由(II)可知集合A中元素个数为奇数，当=3时，显然任意集合，生，4不是“和谐集”当=5时，不妨设q a2 a3 a4 a5,将集合 4,%,g,%分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有%+%=。3 +。4 ，或者/=4 +4+a4；将集合%,%，/，%分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等,则有a2+a5=a3+a4，或者a5=a2+a3+a4.由、，得4=%，矛盾；由、，得 =矛盾；由、，得4=-“2，矛盾：由、，得4=。2，矛盾.因此当=5时，集合A 一定不是“和谐集”.当=7时,设4=1,3,5,7,9,11,13,因为 3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13,1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,所以集合4=1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”.集合A中元素个数的最小值是7.