3.2 简单的三角恒等变换 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版含解析）.docx
第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换基础过关练题组一求值1.(陕西高一期末)已知cos2-6=-725,0<<2,则cos-12=()A.-35B.35C.45D.-452.设5<<6,cos2=a,则sin4=()A.1+a2B.1-a2C.-1+a2D.-1-a23.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sin x2cos x2,则f12的值是()A.-433B.8C.43D.-434.已知sin2-cos2=-15,450°<<540°,求tan2的值.题组二化简5.函数f(x)=3cos2x2+4sin2x4cos2x4-2(0<x<)的大致图象是()6.(吉林蛟河一中高一月考)化简1-sin6-1+sin6=()A.2sin 3B.2cos 3C.-2sin 3D.-2cos 37.化简2+cos2-sin21的结果是()A.-cos 1B.cos 1C.3cos 1D.-3cos 18.化简sin2+cos22+2sin24-2得()A.2+sin B.2+2sin-4C.2D.2+2sin+49.若(,2),试化简1-cos1+cos.10.已知<<32,化简:1+sin1+cos-1-cos+1-sin1+cos+1-cos.题组三三角恒等变换的综合应用11.函数f(x)=cos2x+4,xR,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数12.(山东冠县实验高级中学高一期中)已知函数f(x)=3cos2x-sin2x+3,则函数()A.f(x)的最小正周期为,最大值为5B.f(x)的最小正周期为,最大值为6C.f(x)的最小正周期为2,最大值为5D.f(x)的最小正周期为2,最大值为613.(广东中山高一下期末)求下列各式的值:(1)1sin10°-3cos10°(2)sin50°(1+3tan10°)-cos20°cos80°1-cos20°.14.已知向量a=cosx,12,b=(3sin x,-cos 2x),xR,设函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)求函数f(x)在0,2上的最大值和最小值.15.(北京朝阳高一上期末质检)已知函数f(x)=sin 2x-23sin2x+3.(1)若点P32,-12在角的终边上,求tan 2和f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期;(3)若x0,2,求函数f(x)的最小值.16.(浙江温州高一上期末)已知向量a=(sin x,2sin x),b=(3cos x,0),设函数f(x)=|a+b|.(1)解不等式f(x)5;(2)是否存在实数t(3,+),使函数y=f(x)在(3,t)内单调递增,若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.能力提升练一、选择题1.(广西河池中学高一下月考,)设a=12cos 2°-32sin 2°,b=2tan14°1-tan214°,c=1-cos50°2,则有()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b2.()已知函数f(x)=cos24+x·cos24-x,则f12等于()A.316B.116C.14D.343.(河南郑州高一下期末,)要得到函数y=23cos2x+sin 2x-3的图象,只需将函数y=2sin 2x的图象()A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向右平移6个单位长度4.(河南高一期末,)若函数f(x)=sin x+cos x-2sin xcos x+1-a有零点,则实数a的取值范围为()A.2,94B.-2,2C.-2,2D.-2,945.(河南郑州高一下期末,)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab0,若f(x)f6对任意xR成立,则下列命题中正确命题的个数是()(1)f 1112=0;(2)f710<f5;(3)f(x)不具有奇偶性;(4)f(x)的单调递增区间是k+6,k+23(kZ);(5)可能存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.A.1B.2C.3D.4二、填空题6.(2018江西上饶高一下联考,)设向量a=12,sin,b=32,cos+23,若ab,则sin2-56的值是. 7.(安徽安庆高一上期末,)若A为不等边ABC的最小内角,则f(A)=2sinAcosA1+sinA+cosA的值域为. 三、解答题8.(湖南师大附中高一期中,)已知2sin x=cos x.(1)求sin2x-sin xcos x的值;(2)若<x<2,求tanx2的值.9.(乌鲁木齐市第四中学高一期中,)已知向量a=(23sin x-cos x,sin x),b=(cos x,sin x),f(x)=a·b+1.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)当x-12,6时,求f(x)的值域.答案全解全析第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换基础过关练1.B因为cos2-6=2cos2-12-1=-725,所以cos-12=±35,又因为0<<2,所以cos-12=35.2.D5<<6,454,32,sin4=-1-cos22=-1-a2.3.Bf(x)=2tan x-2sin2x2-sin2x2-cos2x212sinx=2tan x+cosx12sinx=2tan x+1tanx.又tan 12=sin12cos12=2sin12cos122cos212=sin 61+cos 6=13+2,f 12=2×13+2+3+2=8.4.解析由题意得sin 2-cos 22=15,即1-sin =15,得sin =45.450°<<540°,cos =-35,tan 2=1-cossin=1-(-35)45=2.5.Bf(x)=3cos2x2+4sin2x4cos2x4-2=3cos2x2+(2sin x4cos x4) 2-2=3cos2x2+sin2x2-2=3×1+cosx2+1-cosx2-2=|cos x|(0<x<),故选B.6.A因为1-sin6-1+sin6=(sin3-cos3)2-(sin3+cos3)2,34<3<,所以原式=sin 3-cos 3+sin 3+cos 3=2sin 3.7.C原式=2+1-2sin21-sin21=3-3sin21=3(1-sin21)=3cos21=3cos 1.8.C原式=1+2sin 2cos 2+1-cos24-2=2+sin -cos2-=2+sin -sin =2.9.解析(,2),sin <0,1-cos1+cos=1-cos21+cos=-sin1+cos=-tan 2.10.解析原式=sin2+cos222cos2-2sin2+sin2-cos222cos2+2sin2.<<32,2<2<34,cos2<0,sin2>0,原式=sin2+cos22-2sin2+cos2+sin2-cos222sin2-cos2=-sin2+cos22+sin2-cos22=-2cos2.11.D由cos 2x=2cos2x-1,得f(x)=cos2x+4=1+cos(2x+2)2=12+12cos2x+2=12-sin2x2,所以f(-x)=12+sin2x2,故f(x)f(-x),且-f(x)f(-x),所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.12.B依题意f(x)=3×1+cos2x2-1-cos2x2+3=2cos 2x+4,故最小正周期为T=22=,最大值为2+4=6,故选B.13.解析(1)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=2(12cos10°-32sin10°)12sin20°=4cos(10°+60°)sin20°=4sin20°sin20°=4.(2)原式=sin50°cos10°(cos10°+3sin10°)-cos20°cos80°2sin210°=cos40°cos10°·2sin(10°+30°)-cos20°2sin210°=sin80°cos10°-cos20°2sin210°=1-cos20°22(1-cos20°)=2.14.解析(1)f(x)=a·b=3sin x·cos x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,故函数f(x)的最小正周期T=22=.(2)令2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,故函数f(x)的单调递减区间为k+3,k+56(kZ).(3)由(1)知f(x)=sin2x-6,x0,2,2x-6-6,56,结合正弦函数的图象可得函数f(x)在0,2上的最大值为1,最小值为-12.15.解析(1)因为点P32,-12在角的终边上,所以sin =-12,cos =32,tan =-33,tan 2=2tan1-tan2=2×(-33)1-13=-3.f()=sin 2-23sin2+3=2sin cos -23sin2+3=2×-12×32-23×-122+3=0.(2)f(x)=sin 2x-23sin2x+3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3,所以f(x)的最小正周期为.(3)因为x0,2,所以32x+343,所以-32sin2x+31,所以当2x+3=43,即x=2时,f(x)有最小值-3.16.解析(1)由题意得,f(x)=(sinx+3cosx)2+(2sinx)2=4+3sin2x-cos2x=4+2sin(2x-6).令4+2sin(2x-6)5,得sin2x-612,得6+2k2x-656+2k(kZ).不等式的解集是xk+6xk+2,kZ.(2)令2k-22x-62k+2,kZ,解得k-6xk+3,kZ,f(x)的单调递增区间是k-6,k+3(kZ).由题知当k=1时,f(x)在56,43内单调递增,且356,43满足条件,所以当3<t43时,f(x)在(3,t)内单调递增,3<t43.能力提升练一、选择题1.D由题意可得,a=12cos 2°-32sin 2°=sin 30°cos 2°-cos 30°sin 2°=sin 28°,b=2tan14°1-tan214°=tan 28°,c=1-cos50°2=sin225°=sin 25°,结合三角函数线和三角函数的单调性可得c<a<b.2.Af(x)=cos24+x·cos24-x=1+cos2+2x2·1+cos2-2x2=1-sin2x2·1+sin2x2=1-sin22x4,所以f 12=1-sin264=316.故选A.3.Cy=23cos2x+sin 2x-3=3(2cos2x-1)+sin 2x=3cos 2x+sin 2x=232cos 2x+12sin 2x=2sin2x+3=2sin 2x+6,故只需将函数y=2sin 2x的图象向左平移6个单位长度.故选C.4.D令f(x)=0,得a=sin x+cos x-2sin xcos x+1,(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,令t=sin x+cos x=2sinx+4-2,2,则2sin xcos x=t2-1,sin x+cos x-2sin x·cos x+1=t-(t2-1)+1=-t2+t+2,构造函数g(t)=-t2+t+2,其中-2t2,则g(t)=-t-122+94,g(t)max=g12=94,g(t)min=g(-2)=-2,当-2a94时,直线y=a与函数y=g(t)的图象在区间-2,2上有交点,实数a的取值范围是-2,94,故选D.5.Bf(x)=a2+b2sin(2x+)其中tan =ba.由于f(x)f6对任意xR成立,故x=6是函数f(x)图象的对称轴,所以2×6+=k+2,kZ,=k+6,kZ,所以f(x)=a2+b2sin2x+k+6=±a2+b2sin2x+6.对于(1),f1112=±a2+b2sin2×1112+6=0,故(1)正确.对于(2),计算得f710=f5,故(2)错误.对于(3),根据f(x)的解析式可知,f(x)是非奇非偶函数,故(3)正确.对于(4),由于f(x)的解析式有两种情况,故单调性要分情况讨论,故(4)错误.对于(5),要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>a2+b2,两边平方得b2>a2+b2,与已知矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,故(5)错误.综上,正确的命题有两个,故选B.二、填空题6.答案- 79解析因为ab,所以12cos +23=32sin ,所以12cos +13=32sin ,所以sin-6=13,所以sin2-56=sin2-3-2=-cos2-3=2sin2-6-1=29-1=-79.7.答案(0,2-1解析A为不等边ABC的最小内角,A0,3,设t=sin A+cos A,则t=sin A+cos A=2sinA+4(1,2.又2sin Acos A=(sin A+cos A)2-1=t2-1,f(A)=2sinAcosA1+sinA+cosA=t2-1t+1=t-1(0,2-1.故答案为(0,2-1.三、解答题8.解析(1)由2sin x=cos x得tan x=12,则sin2x-sin xcos x=sin2x-sinxcosxsin2x+cos2x=tan2x-tanxtan2x+1=-15.(2)解法一:tan x=2tan x21-tan2x2=12,则tan2x2+4tanx2-1=0,解得tanx2=-2±5,由<x<2及tan x=12>0,得<x<32,则2<x2<34,tanx2=-2-5.解法二:由<x<2及tan x=12>0,得<x<32,从而sin x=-55,cos x=-255,tanx2=sinx2cosx2=2sinx2cosx22cos2x2=sinx1+cosx=-551-255=-2-5.9.解析(1)f(x)=a·b+1=(23sin x-cos x)·cos x+sin2x+1=23sin xcos x-cos2x+sin2x+1=3sin 2x-(cos2x-sin2x)+1=3sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-6+1,由于函数y=sin u的单调递减区间为u2+2ku32+2k,kZ,所以令2+2k2x-632+2k(kZ),得3+kx56+k(kZ),因此函数y=f(x)的单调递减区间为3+k,56+k,kZ.(2)x-12,6,2x-6-3,6,sin2x-6-32,12,2sin2x-6+11-3,2,因此函数y=f(x)在区间-12,6上的值域为1-3,2.
