课时3238_6.2.4向量的数量积（第1课时）-6.2.4向量的数量积（第一课时）教案.docx

6.2.4向量的数量积（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标1了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义2体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算3体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯二、教学重难点1重点：平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角2难点：平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质三、教学过程1.向量数量积概念的形成1.1创设情境，引发思考 【实际情境】观察小车的运动，讨论功的计算公式提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？预设互动回答：力有做功，但是不能用W=FS，因为力F不在位移S的方向上；对力F进行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；在位移方向的分力F1大小为，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小【设计意图】向量数量积概念不是凭空产生的，用人拉小车这一实例，让学生感受“向量乘以向量”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.结论：，影响功的要素有三个：F的大小，S的大小，夹角的余弦推广：功的计算公式要考虑力和位移的方向，所以将初中的公式W=FS补充完整，为：归纳总结：，从计算公式看出，力是向量，位移是向量，功是数量校对答案：1.物理背景：如图，物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W = .其中，力是向量，位移是向量，功是数量，q 是.1.2类比物理背景，形成概念提问：（1）类比功的计算公式，数学中两个向量乘法的计算公式是什么？ （2）两个向量的乘积称为两个向量的数量积（或内积），它的结果由哪些要素来决定？ （3）零向量与任何向量的数量积是什么？预设互动回答：，结果是数量，结果由三个要素来决定：；零向量与任何向量的数量积为，不是，是数量不是向量注意：记法“”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替“规定”： ×=归纳总结：，线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与模的大小有关，还和它们的夹角有关校对答案：2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为q，我们把称为与的数量积（或内积），记作，即=规定：×=.1.3初步应用，理解概念例1 已知当与的夹角求【预设的答案】 例2 已知，求与的夹角【预设的答案】 由得，又【设计意图】（1）利用向量数量积及夹角概念,加深向量数量积概念的理解；（2）从这个例题中归纳概括出向量夹角公式：.2.向量的投影教师：如图（1），设是两个非零向量，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.教师：在上的投影和在上的投影向量相同吗?学生：不相同，尽管他们都是向量，但在上的投影一定与共线，而在上的投影一定与共线.教师：如图（2），设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，之间有怎样的关系?学生：与共线，于是.教师：分小组探究与，的关系以及的表达式.（提示：分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论）.学生：当为锐角（如图（1）时，与方向相同，所以；当为直角（如图（2）时，所以；当为钝角（如图（3）时，与方向相反，所以，即.当时，所以；当时，所以.教师：总结：综上可知，对于任意的，都有.【设计意图】1.引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的投影以及数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义2.通过课前尝试练习，使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解，课堂上师生展开互动分析，并进行归纳总结，为数量积的性质埋下伏笔3. 向量数量积的性质教师：从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性?学生：思考讨论.教师：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则（1）.（2）.（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.此外，由还可以得到（4） .【设计意图】将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识4. 归纳总结（1）向量数量积的概念（2）向量的投影（3）向量数量数量积的性质【设计意图】（1）梳理本节课对于向量数量积的认知；（2）鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习向量数量积的必要性.四、课外作业1学案中的巩固训练1、2及本节课的小本作业；2预习下一节课的内容：向量的运算律；3. 拓展与提高：已知a与b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角(本题供学有余力的同学选做)【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的