4.2.1直线与圆的位置关系题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word版含解析）.docx

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系的判定1.(陕西高考模拟)若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定2.(河南商丘九校联考高一(上)期末)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心3.(2018吉林松原高一期末)点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定4.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-3=0的位置关系是. 题组二直线与圆相切的有关问题5.已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在6.(湖南高一期末)已知圆C的圆心在x轴上,半径长为2,且与直线x-3y+2=0相切,则圆C的方程为()A.(x-2)2+y2=4B.(x+2)2+y2=4或(x-6)2+y2=4C.(x-1)2+y2=4D.(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=47.(吉林东北师大附中高一期末)已知圆C与直线x-y=0和直线x-y-4=0都相切,且圆心C在直线x+y=0上,则圆C的方程是()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y-1)2=4D.(x-1)2+(y+1)2=48.(广东高一期末)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.2109.(湖南浏阳一中高二期末)若直线l:x-y+t=0与圆C:x2+y2-12x-16y+96=0相切,则实数t的值为. 题组三直线与圆相交的有关问题10.(甘肃天水一中高一上学期期末)点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()A.x+y-1=0B.2x+y-3=0C.x-y-3=0D.2x-y-5=011.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是()A.4B.2C.D.3212.直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为23,则直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°13.已知点A(1,a),圆O:x2+y2=4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条,求实数a的值及切线方程;(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为23,求实数a的值.14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(1)求证:直线l恒过定点;(2)判断直线l与圆C的位置关系;(3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.能力提升练一、选择题1.(湖北荆州中学高二期末,)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则AOB的外接圆方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y+1)2=20C.(x-4)2+(y-2)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=202.(江西吉安一中高二月考,)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=43.(湖南衡阳市一中高一期末,)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2的取值范围是()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.-3,3D.(-,-33,+)4.(天津红桥期末,)若直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y-4)2=4所截得的弦长为22,则a的值为()A.-7或-1B.7或1C.7或-1D.-7或15.(2018吉林松原高一期末,)已知点M(a,b)(ab0)是圆x2+y2=r2(r>0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则()A.lg,且l与圆相离B.lg,且l与圆相切C.lg,且l与圆相交D.lg,且l与圆相离6.()直线y=kx交曲线y=-x2+4x-3于P、Q两点,O为原点,P在线段OQ上,若|OP|=2|PQ|,则k的值为()A.15B.35C.55D.757.(江西临川第一中学高三上学期期末,)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为Q(1,1),直线AB交x轴于点P,则|PA|·|PB|=()A.4B.5C.6D.8二、填空题8.(湖北沙市中学上学期期末,)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x和l2:y=kx-1被圆C所截得的弦的长度之比为12,则k的值为. 9.()已知方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆,其中aR,且a1,则无论a取不为1的任何实数,上述圆恒过的定点坐标是. 10.(2018豫南九校高一期末,)已知集合A=(x,y)|(x-1)2+(y+2)2=6,B=(x,y)|2x+y-5=0,则集合AB的子集个数为. 11.(2018陕西西安一中期末,)已知圆x2+y2=4,则圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为. 三、解答题12.(天津高一期末,)已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0.(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆D的标准方程;(2)过点P(4,-4)的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程;(3)当k取何值时,直线m:kx-y+3k+1=0与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长.13.(河北高一月考,)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.答案全解全析基础过关练1.C若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则1a2+b2>1,即a2+b2<1,点P(b,a)在圆C内部.故选C.2.C对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在,(0,1)在圆x2+y2=2内,对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心,故选C.3.B点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,x02+y02>R2,圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|R2|x02+y02<R,直线x0x+y0y=R2与圆相交.故选B.4.答案相交解析解法一:将直线方程(3k+2)x-ky-2=0化为(3x-y)k+2x-2=0,令3x-y=0,2x-2=0,解得x=1,y=3,则直线恒过点(1,3),又12+32-2×1-2×3-3=-1<0,所以点(1,3)在圆内,所以直线与圆相交.解法二:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=5,可知圆的半径长为5,圆心(1,1)到直线的距离d=|2k|(3k+2)2+(-k)2|2k|k2=2<5,所以直线与圆相交.5.B由题意知|c|a2+b2=1,则|c|=a2+b2,即c2=a2+b2,故三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.6.D设圆心坐标为(a,0),因为圆与直线x-3y+2=0相切,所以由点到直线的距离公式可得|a+2|2=2,解得a=2或a=-6.因此圆C的方程为(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4.7.B圆心在直线x+y=0上,可设圆心为(a,-a),设所求圆的方程为(x-a)2+(y+a)2=r2,则由题意,得|a-(-a)|2=|a-(-a)-4|2=r,解得a=1,r=2.所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.8.C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径长r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,即a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=|AC|2-22=40-4=6.故选C.9.答案2±22解析圆C的标准方程为(x-6)2+(y-8)2=4,圆心C的坐标为(6,8),半径长为2,由于直线l与圆C相切,则圆心C到直线l的距离等于半径长,即|6-8+t|2=2,即|t-2|=22,解得t=2±22.10.C因为AB是圆(x-1)2+y2=25的弦,设圆心为C,则C(1,0),根据题意易知ABCP,因此,AB的斜率k=-1kCP=-10+11-2=1,可得直线AB的方程为y+1=x-2,化简,得x-y-3=0,故选C.11.C圆心(0,0)到直线的距离d=|0+0-5|12+72=22.又圆的半径长r=1,所以直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为212-222=2,所以直线截圆所得的劣弧所对的圆心角大小为90°,所以劣弧是整个圆周的14,所以直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半,即12×2r=.12.C由题意,知圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径长为2,直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为23,圆心到直线的距离d=4-(3)2=1,又圆心到直线的距离d=|2k|k2+1,k=±33,直线的倾斜角为30°或150°.故选C.13.解析(1)由于过点A的圆O的切线只有一条,故点A在圆上,所以12+a2=4,所以a=±3.当a=3时,A(1,3),此时切线方程为x+3y-4=0;当a=-3时,A(1,-3),此时切线方程为x-3y-4=0.(2)设直线方程为x+y=b,因为直线过点A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.又圆心到直线的距离d=|b|2,所以|b|22+2322=4,由得a=2-1,b=2或a=-2-1,b=-2.所以a=2-1或a=-2-1.14.解析(1)证明:直线l的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0.因为mR,所以2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1.所以直线l恒过定点A(3,1).(2)圆心C(1,2),|AC|=(3-1)2+(1-2)2=5<5,所以点A在圆C内.从而直线l与圆C相交(无论m为何实数).(3)当m=0时,直线l的方程为x+y-4=0,圆心C(1,2)到直线l的距离d=|1+2-4|12+12=22.所以此时直线l被圆C截得的弦长为225-12=72.能力提升练一、选择题1.A由题意知,OAPA,OBPB,四边形AOBP有一组对角都等于90°,四边形AOBP的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是线段OP,线段OP的中点为(2,1),|OP|=25,四边形AOBP的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5,AOB外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A.2.C圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径长为2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,易知所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32,则所求圆的半径长为2,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则|a-b-4|2=2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3舍去),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.3.C如图,设过P(2,0)的直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由坐标原点O(0,0)到直线kx-y-2k=0的距离等于3,得|2k|k2+1=3,解得k=±3,故yx-2的取值范围是-3,3.故选C.4.A圆心(0,4)到直线l的距离d=|4+2a|a2+1=4-(2)2=2,解得a=-7或a=-1,故选A.5.A因为点M在圆内,所以a2+b2<r2.所以圆心(0,0)到直线l的距离d=|r2|a2+b2>r,所以直线l与圆相离.易知OMg,所以直线g的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0,所以lg.6.Dy=-x2+4x-3,(x-2)2+y2=1(1x3,y0),设圆心C到直线y=kx的距离为d,过C作CM直线y=kx,垂足为M,|OP|=2|PQ|,|OM|=5|PM|,即22-d2=51-d2,d2=78,从而78=|2k|k2+12,k2=725,y0,k0,k=75,故选D.7.Bx2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9,所以圆x2+y2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径长为3,设它与x轴的交点分别为M,N,不妨设|MO|=1,|NO|=5.因为弦AB的中点为Q(1,1),所以QCAB,因为kQC=1-01-2=-1,所以kAB=1,所以直线AB的方程为y-1=x-1,即y=x,所以点P的坐标为(0,0),它与原点重合.由圆的相交弦定理可得|MO|·|NO|=|PA|·|PB|,所以|PA|·|PB|=5,故选B.二、填空题8.答案12 解析圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径长为2,圆心到直线l1:y=3x的距离为3,l1被圆C所截得的弦的长度为222-3=2,圆心到l2的距离为|2k-1|k2+1,l2被圆C所截得的弦的长度为24-2k-1k2+12,结合l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为12,可得24-2k-1k2+12=2×2,解得k=12.9.答案(1,1)解析由已知得x2+y2-4y+2+2a(y-x)=0,它表示过圆x2+y2-4y+2=0与直线y-x=0交点的圆.由x2+y2-4y+2=0,y-x=0解得x=1,y=1,即定点坐标为(1,1).10.答案4解析由题意知AB中的元素为圆与直线的交点,因为圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=|2×1-2-5|22+12=5<6,所以直线与圆相交,故集合AB中有2个元素.故集合AB的子集个数为4.11.答案3解析圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径长为2,圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离d=|0-0+5|32+(-4)2=1,故圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为3.三、解答题12.解析由题意,知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0的圆心坐标为C(1,2),半径长r=5.(1)设D(m,n),因为圆心C与点D关于直线x-2y-2=0对称,所以1+m2-2×2+n2-2=0,n-2m-1=-2,解得m=3,n=-2,则D(3,-2),半径长r=5, 所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.(2)设点C到直线l的距离为d(d>0),则2r2-d2=8,解得d=3.当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=4,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y+4=k(x-4),则d=|-3k-6|k2+1=3,解得k=-34,所以直线l的方程为3x+4y+4=0.综上,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0 .(3)直线m:kx-y+3k+1=0可化为y-1=k(x+3),所以直线m过定点M(-3,1),当CMm时,弦长最短,又由kCM=14,可得k=-4,此时最短弦长为2r2-|CM|2=42.13.解析(1)因为圆M的圆心M(-a,a)在直线y=x上,所以a=-a,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M相切,所以r=|-15|32+42=3,故圆M的方程为x2+y2=9.(2)由(1)知,圆心M(0,0),不妨设A(-3,0),B(3,0).设P(x,y),因为点P在圆M内,所以x2+y2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x2+y2=(x+3)2+y2·(x-3)2+y2,所以2x2-2y2=9,则2y2=2x2-9.因为直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,所以k1=yx+3,k2=yx-3,则k1k2=y2x2-9=2x2-92x2-18=1+92x2-18.因为2x2-2y2=9,x2+y2<9,所以92x2<274,所以-29<12x2-18-19,则-1<1+92x2-180.故k1k2的取值范围为(-1,0.