2.3.2-2.3.4平面向量的坐标表示题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版含解析）.docx
第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示基础过关练题组一平面向量的坐标表示1.已知AB=(-2,4),则下面说法正确的是()A.A点的坐标是(-2,4)B.B点的坐标是(-2,4)C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4)D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)2.在平面直角坐标系中,|a|=2 020,a与x轴正半轴的夹角为3,则向量a的坐标是()A.(1 0102,1 0102)B.(-1 0102,1 0102)C.(1 010,±1 0103)D.(1 0103,1 010)3.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且OA=(-1,-1),则OB=;OC=;OD=. 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形,OA=4,AB=3,AOx=45°,OAB=105°,OA=a,AB=b.求向量a,b的坐标.题组二平面向量的坐标运算5.(重庆一中高一下月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.1,83B.133,83C.133,43D.-133,-436.已知ABC中,AB=(2,8),AC=(-3,4),若BM=MC,则AM=()A.-12,6B.52,2C.(-1,12)D.(5,4)7.在ABC中,点P在BC边上,且BP=2PC,点Q是AC边的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=()A.(-6,21)B.(6,-21)C.(2,-7)D.(-2,7)8.(四川棠湖中学高考模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),若点P满足PA+PB+PC=0,则|OP|=. 9.已知向量a=(-2,1),b=(3,5),c=(4,11).(1)求a-2b;(2)若c=xa+yb,求x+y的值.题组三平面向量共线的坐标表示10.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若平面上任意向量c都可以唯一表示为c=a+b(,R),则实数m的取值范围是()A.(-,0)(0,+)B.(-,3)C.(-,-3)(-3,+)D.-3,3)11.(山西长治第二中学高一期中)若向量m与向量n=(-2,1)共线,且|m|=35,则向量m的坐标为()A.(-6,3)B.(6,-3)C.(6,-3)或(-6,3)D.(-6,-3)或(6,3)12.(吉林第五十五中学高一期末)已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-b,n=2a-b,若mn,则=. 能力提升练一、选择题1.(山东菏泽一中高一月考,)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则用a,b表示c为()A.c=12a-32bB.c=-12a+32bC.c=32a-12bD.c=-32a+12b2.()如图所示,若向量e1、e2是一组单位正交向量,则向量2a+b在平面直角坐标系中的坐标为()A.(3,4)B.(2,4) C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)3.(2018福建泉州永春一中高二上期中,)已知向量AB与单位向量e同向,且A(1,-2),B(-5,23-2),则e的坐标为()A.32,12B.-32,12 C.32,-12D.-12,32二、填空题4.()A,B为单位圆(圆心为O)上的点,O到弦AB的距离为32,C是劣弧AB(包含端点)上一动点,若OC=OA+OB (,R),则+的取值范围为. 5.(江苏高考模拟,)如图,在平面四边形ABCD中,CBA=CAD=90°,ACD=30°,AB=BC,点E为线段BC的中点.若AC=AD+AE(,R),则的值为. 三、解答题6.(云南玉溪民族中学高一期末,)已知三点A(-3,0),B(9,-3),C(3,6),AE=13AC,BF=13BC,求证:EFAB.7.(黑龙江哈尔滨第六中学高一月考,)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).(1)若a-tb与c共线,求实数t的值;(2)求|a+tb|的最小值及相应的t值.8.(福建厦门双十中学高一下期中,)根据平面向量基本定理,若e1,e2为一组基底,同一平面的向量a可以被唯一确定地表示为a=xe1+ye2,则向量a与有序实数对(x,y)一一对应,称(x,y)为向量a在基底e1,e2下的坐标.特别地,若e1,e2分别为x,y轴正方向的单位向量i,j,则称(x,y)为向量a的直角坐标.(1)据此证明向量加法的直角坐标公式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);(2)如图,在直角三角形OAB中,AOB=90°,|OA|=1,|OB|=3,点C在AB边上,且OCAB,求向量OC在基底OA,OB下的坐标.答案全解全析第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示基础过关练1.D由向量的坐标表示方法可知,当A是原点时,B点的坐标是(-2,4).2.C设a=(x,y),则x=2 020cos3=1 010,|y|=2 020sin3=1 0103.故a=(1 010,±1 0103).3.答案(1,-1);(1,1);(-1,1)解析OC=-OA=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以OB=(1,-1),则OD=-OB=-(1,-1)=(-1,1).4.解析如图所示,作AMx轴于点M,则OM=OA·cos 45°=4×22=22,AM=OA·sin 45°=4×22=22,A(22,22),故a=(22,22).AOC=180°-105°=75°,AOy=45°,COy=30°.又OC=AB=3,C-32,332,AB=OC=-32,332,即b=-32,332.5.Da-2b+3c=(5,-2)-2×(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,所以13+3x=0,4+3y=0,解得x=-133,y=-43,即c=-133,-43.6.A因为AB=(2,8),AC=(-3,4),所以BC=AC-AB=(-5,-4).因为BM=MC,所以M为BC边的中点,所以BM=12BC=-52,-2,所以AM=AB+BM=(2,8)+-52,-2=-12,6.故选A.7.A由题意可得PQ=12(PA+PC),PC=2PQ-PA,PC=2(1,5)-(4,3)=(-2,7),BC=3PC=(-6,21).故选A.8.答案22解析因为PA+PB+PC=0,所以P为ABC的重心,故点P的坐标为1+2+33,1+3+23,即P(2,2),故|OP|=22.9.解析(1)a-2b=(-2,1)-2(3,5)=(-8,-9).(2)c=xa+yb,(4,11)=x(-2,1)+y(3,5),-2x+3y=4,x+5y=11,解得x=1,y=2,x+y=3.10.C根据平面向量基本定理可知,若平面上任意向量c都可以唯一表示为c=a+b(,R),则向量a,b不共线,由a=(1,3),b=(m,2m-3)得2m-33m,解得m-3,即实数m的取值范围是(-,-3)(-3,+).故选C.11.C根据题意,设向量m的坐标为(x,y),由向量m与向量n=(-2,1)共线,得x-2=y1,即x=-2y,所以m=(-2y,y),因为|m|=35,所以(-2y)2+y2=5y2=35,解得y=±3.当y=-3时,x=6;当y=3时,x=-6.所以向量m的坐标为(6,-3)或(-6,3).故选C.12.答案12解析m=a-b=(2,3)-(-1,4)=(+2,3-4),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),因为mn,所以2(+2)=5(3-4),解得=12.能力提升练一、选择题1.A设c=x1a+x2b(x1,x2R),因为向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),所以x1+x2=-1,x1-x2=2,解得x1=12,x2=-32.所以c=12a-32b.故选A.2.A建立如图所示的平面直角坐标系,易知e1=(1,0),e2=(0,1),2a=(2,1),b=(1,3),2a+b=(2,1)+(1,3)=(3,4),即向量2a+b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4).故选A.3.B由两点间的距离公式可知,线段AB=(1+5)2+-2-(23-2)2=48=43,即|AB|=43.因为向量AB与单位向量e同向,AB=(-5,23-2)-(1,-2)=(-6,23),所以e=1|AB|·AB=143(-6,23)=-32,12.故选B.二、填空题4.答案1,233解析如图,以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系,设A,B两点在x 轴上方且线段AB 与y轴垂直.因为A,B为单位圆(圆心为O)上的点,O到弦AB的距离为32,所以不妨设点A-12,32,点B12,32,故OA=-12,32,OB=12,32,即OA=-2,32,OB=2,32,所以OC=OA+OB=-2,3(+)2.设点C的坐标为(x,y),则OC=(x,y).又C是劣弧AB(包含端点)上一动点,所以-12x12,32y1, 所以323(+)21 ,解得1+233 ,故+的取值范围为1,233.5.答案439解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,1),所以AC=(2,2),AE=(2,1),AC=22,AD=22×tan 30°=263.过点D作DFx轴于点F,则DAF=180°-90°-45°=45°,DF=263sin 45°=263×22=233,所以D-233,233,AD=-233,233,因为AC=AD+AE(,R),所以(2,2)=-233,233+(2,1),所以-233+2=2,233+=2,解得=33,=43,故的值为439.三、解答题6.证明由题意得AC=(3,6)-(-3,0)=(6,6),AE=13AC=(2,2),所以点E的坐标为(-3,0)+(2,2)=(-1,2).又BC=(3,6)-(9,-3)=(-6,9),BF=13BC=(-2,3),所以点F的坐标为(9,-3)+(-2,3)=(7,0),所以EF=(7,0)-(-1,2)=(8,-2),AB=(9,-3)-(-3,0)=(12,-3),又8×(-3)-12×(-2)=0,所以EFAB.7.解析(1)a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),且a-tb与c共线,(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=35.(2)a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),|a+tb|=(-3+2t)2+(2+t)2 =5t2-8t+13=5(t-45) 2+495,易知当t=45时,|a+tb|取得最小值,最小值为755.8.解析(1)证明:由a=(x1,y1),b=(x2,y2)可得a=x1i+y1 j,b=x2i+y2 j,a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a+b=(x1+x2,y1+y2). (2)解法一(向量法):根据几何性质易知OAB=60°,|CA|=12,|CB|=32,从而AC=13CB,所以AO+OC=13(CO+OB),所以43OC=OA+13OB,即OC=34OA+14OB,向量OC在基底OA,OB下的坐标为34,14.解法二(坐标法):以O为坐标原点,OA,OB的方向为x轴,y轴正方向建立直角坐标系,则A(1,0),B(0,3),由几何性质易得C34,34.设OC=xOA+yOB(x,yR),又知A(1,0),B(0,3),则34,34=x(1,0)+y(0,3)=(x,3y),x=34,3y=34,x=34,y=14,OC=34OA+14OB.向量OC在基底OA,OB下的坐标为34,14.
