六年级下册数学试题-小升初精讲：05讲 裂项（无答案）全国通用.docx

第五讲裂项教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算1(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a < b ，a ´ b11( 1 - 1)=那么有a ´ bb - a ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有：n ´ (n + 1) ´ (n + 2)n ´ (n + 1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)1= 1 11-n ´ (n +1) ´ (n + 2)2 n ´ (n +1)(n +1)(n + 2)1= 111-n ´ (n +1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)3 n ´ (n +1) ´ (n + 2)(n +1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：a + ba2 + b2a2b2ab11ab=+=+（2）=+=+（1）a ´ ba ´ ba ´ bbaa ´ ba ´ ba ´ bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。二、整数裂项(1) 1´ 2 + 2 ´ 3 + 3´ 4 + . + (n -1) ´ n = 1 (n -1) ´ n ´ (n + 1)3(2) 1´ 2 ´ 3 + 2 ´ 3´ 4 + 3´ 4 ´ 5 + . + (n - 2) ´ (n -1) ´ n = 1 (n - 2)(n -1)n(n +1)4+ n2 = n ´ (n +1) ´ (2n +1) ；(3)12 + 22 + 32 +6= (1 + 2 + 3 +2n2 ´ (n +1)2+ n)(4)1 + 2 + 3 +333+ n3=41ì1= 1 -1.ï n ´ (n +1)nn +1ïï 1= 1 ´ æ 1 - 1 ö (k > 1). ï n ´ (n + k )ç nn + k ÷kèøï拆ïaa æ 11ö()ï=-a > 1，且k > 1 .ç÷分()èn ´ n +kknn + køï与íéù1111裂ï = ê-ú ´.ï() () ë n ´ (n +1)(n +1)´ (n + 2)ûn ´ n +1 ´ n + 22项ïï 1= 1 ´ 1 ´ é 1- 1ù .ï n ´ (n + k )´ (n + 2k )ê n ´ (n + k )(n +1)´ (n + 2k )ú2kïëûïn ´ (n +1) ´ (n + 2) - (n -1)´ n ´ (n +1) 3ïn ´ (n +1) =.ïî例题精讲模块一、分数裂项11111【例 1】+=。1´ 22 ´ 33´ 44 ´ 55 ´ 6【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算111+ . +【例 2】10 ´11 11´1259 ´ 60【难度】2 星【考点】分数裂项【题型】计算2222+=【例 3】10 ´ 99 ´ 85 ´ 44 ´ 3【难度】2 星【考点】分数裂项【题型】计算21111【例 4】+=1´ 33´ 55 ´ 7【考点】分数裂项99 ´101【难度】2 星【题型】计算【例 5】计算： 25 ´ æ+1111ö =+ç 1´ 33´ 55 ´ 723´ 25 ÷èø【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算251 + 251251251251+【例 6】4 ´ 88 ´1212 ´162000 ´ 20042004 ´ 2008【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算【例 7】计算： (1 +1111111+) ´128 =8244880120168224288【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算3【例 8】 1 +=6122030425672901111111【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算【例 9】计算： 1 - 1 -11111112612203042567290【考点】分数裂项【难度】3 星【题型】计算11111【例 10】+=。104088154238【考点】分数裂项【难度】3 星【题型】计算1111+【例 11】计算：1´ 3´ 53´ 5 ´ 75 ´ 7 ´ 92001´ 2003´ 2005【题型】计算【考点】分数裂项【难度】3 星4【例 12】计算：11 + 2 1 + 3 1 + 4+11420+ 20261220【考点】分数裂项【难度】3 星【题型】计算【例 13】计算： 2008 1 + 2009+ 2010+ 2011+ 2012=1111。1854108180270【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算11111+ × × × +【例 14】1´ 2 ´ 3´ 42 ´ 3´ 4 ´ 53´ 4 ´ 5 ´ 66 ´ 7 ´ 8 ´ 97 ´ 8 ´ 9 ´10333+ . +【例 15】1´ 2 ´ 3´ 42 ´ 3´ 4 ´ 517 ´18 ´19 ´ 205家庭作业1111111111计算：+×1´ 22´ 33´ 44´ 55´ 66´ 77 ´88´ 99´1022222计算：+1´+L+×33´ 55´ 797 ´ 99111198´1003计算：+2´+L+×44´ 66´8111111114计算：+.61220304256729011111 5计算：+L+×42870130970065 + 66 + 77 + 88 + 99 +10-+-+×6计算：5´ 66´ 77 ´88´ 99´10357911131517197计算：-+-+-+-+×261220304256729022228计算：+1´ 2´32´ 3´ 43´ 4´ 5 +L+ 98´ 99´100 ×+1511192092399计算：+L+×26122021024010计算： (1- 1) ´ (1+ 1) ´ (1- 1) ´ (1+ 1) ´L´ (1- 1) ´ (1+ 1) ×223399711111111计算：+1´+L+×22´ 33´ 44´ 55´ 62007 ´ 20083333312计算：+2´+L+×55´88´1111´1498´101481216202413计算：-+-+-×1´ 33´ 55´ 77 ´ 99´1111´1314计算：(1)11 + 3 1 + 5 1 + 7+ 9+11 1 +13+15+1711111;2612203042567290468101214161820(2)+-+-+L +1´ 32´ 43´ 54´ 65´ 76´87 ´ 98´109´1176788082+-×37 ´ 3938´ 4039 ´ 4140´ 428311233975983915计算：+L+×261220380420111116.计算：+1´ 2´32´ 3´ 43´ 4´ 5 +L+ 48´ 49´ 50 ×+9