课时21820_4.2.1等差数列的概念-等差数列——教学设计.docx

4.2.1 等差数列(人教A版普通高中教科书数学选择必修第二册第四章) 一、内容与内容解析 1.内容：等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导.2.内容解析：本节内容是在学习了数列的一些基本知识之后，学生探究特殊数列的开始，是数列这一章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是数列的重点内容. 通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为求解问题提供了有力的工具.等差数列在高考中也是重点考查的内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的好题材，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义. 3.教学重点：等差数列的概念、等差数列的通项公式.二、目标与目标解读 1.目标：（1） 能通过具体实例，发现数列的等差关系，理解等差数列的概念，会用定义判断一个数列是否为等差数列;（2） 了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式;（3） 体会用化归思想与方程思想解决问题.2.目标解读：达成上述目标的标志分别是：（1）知道等差的数列的本质是从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数;（2）能够通过等差数列的定义推导出等差数列的通项公式;（3）通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，熟练掌握“知三求一”的问题和方法.三、教学问题诊断解析 1.问题诊断（1）让学生体会引入等差数列定义的必要性是第一个教学问题，先引出生活中的几个实例，引起学生极大的兴趣，让学生分析,观察特点，感受“等差数列”的问题，希望学生能通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列模型，在这个过程中形成等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式.（2）如何让学生掌握推导等差数列的通项公式是第二个教学问题，通项公式的推导过程可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力.根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列通项公式的过程中举例让学生求an，引导学生进行类比，归纳。如何自然地生成数学归纳法和累加法，是本课教学环节中的一个重点内容. 2.教学难点等差数列的通项公式推导及应用.四、教学支持条件分析本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。五、教学过程设计1.概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】（1）1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。观察奥运会举办的年份所对应的数列： 1896，1900，1904，2008，2012，（         ） 你能预测出第31届奥运会的时间吗？学生口答：2016.2016 如何预测出来的？ 根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4. 【设计意图】创设奥运会的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的. 【实际情境】下面，我们再来观察几个生活当中的数列.引入三个生活问题中的数列： (2)2000年女子举重4个体重级别：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4)气温随高度的变化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.1.2探究问题，形成概念【问题探究1】什么是等差数列？(1) 2008，2012，2016(2) 48,53,58,63.(3) 104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4) 28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.问题1：(1)观察以上四个数列，它们有什么共同点？对于数列(1),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？ 对于数列(2),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？ 对于数列(3),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？对于数列(4),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？追问1：(2)你能归纳出等差数列的定义吗？【预设的答案】4，5，4.25，-6.5学生：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 【设计意图】让学生计算，观察比较，引导学生归纳得出等差数列的定义.【概念形成】我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列. a1,a2,a3,a4an1,an,an+1  等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示. 追问2：你能说出上面三个数列的公差是多少吗？ 学生口答：分别为4，5，4.25，-6.5追问3：怎么算出来的？学生口答：用相邻两项的后项减去前项 .为了今后表示方便，我们将等差数列的定义用数学符号记作：anan1=d, (n2,nN)an+1an=d (n1,nN)活动：寻找身边的等差数列,让学生回答、讨论.【设计意图】通过活动，巩固等差数列的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.概念辨析:1.判断以下数列是等差数列吗？(1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)-3，-2，-1，1，2，3 .追问1：根据这个题目来看，怎样判断一个数列是否为等差数列呢? 学生回答：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：看anan1 是不是同一个常数.追问2：请你继续观察练习1中的四个等差数列，你能否总结出：每个数列中，公差d的正负与数的增减情况有什么关系？ 总结：由等差数列的定义式可知: 当d>0时，an>an1，数列是递增数列；当d<0时，an<an1，数列是递减数列；当d=0时，an=an1，数列是常数列.【概念形成】观察下面的两个数列：(1) 2008，2012，2016(2) 6，4，2特点：由三个数构成，由三个数a,A,b组成的等差数列，A称为a与b的等差中项，试一试：在横线填入一个数，让数列成为一个等差数列(1)2， ，4； (2)-8， ，0； (3)a， ，b【设计意图】让学生计算，引导学生归纳得出等差中项的公式: 【问题探究2】如何求等差数列的通项公式？问题2：如何求an？-4，-1, 2, 5, 8， a1=4, a2=4+1×3, a3=4+2×3, a4=4+3×3由学生观察、归纳得到an=4+(n1)×3我们将这个问题抽象出来： 如果已知一个等差数列，公差是d ，你能猜测出an多少吗？【预设的答案】学生猜测 an=a1+(n1)d【设计意图】让学生观察，归纳猜想得出等差数列的通项公式. 追问1：如果已知一个等差数列的首项是a1，公差是d ，那么这个数列的通项an能求出来吗？         分析1：根据等差数列的定义： a2a1=d, a3a2=d, a4a3=d, 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d, a4=a3+d=a2+d=a1+2d+d=a1+3d, an=a1+(n1)d这样得到的： an=a1+(n1)d,这个式子称为等差数列的通项公式.注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要数学归纳法，将在以后学习. 下面我们引入第二种方法来证明这个通项公式：分析2: 根据等差数列的定义：a2a1=d, (1) a3a2=d, (2) a4a3=d, (3)anan1=d (n1)追问2：将上面n1个等式左右两边分别相加,左右分别是什么样？   ana1=(n1)d由此得到： an=a1+(n1)d .这种求通项公式的方法叫累加法,是探讨数列通项的一种常见方法.后续的学习还会继续研究.我们在这里的要求是:需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法. 说明：通项公式中，有四个量:首项a1，公差d，序号n和第n项an，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 . 下面，我们通过几个例子来看这个公式的用法.2.初步应用，理解概念例1.(1)求等差数列8，5，2，的第20项分析：已知什么？要求什么？已知首项a1，d，n,要求an.解： a1=8, d=58=3 an=a1+n1d=8+n1×3 =3n+11 a20=3×20+11=49说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道a1，d, n,求an.体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想. 例1. (2)判断-401是不是等差数列5,-9 ,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由. 分析:本题是第（1）题的逆向问题，已知什么？要求什么？知道a1，d, an, 求n.抽学生回答解题思路 .解： a1=5, d=4 an=a1+n1d=5+n1×4 =4n1 令401=4n1解得： n=100，即 -401是数列的第100项.【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。 根据刚才学到的办法，请你完成下面的练习： （学生完成后，抽学生说出解答过程，核对结果）练习：1. 求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；2. -20是不是等差数列 0， 27 ，-7，中的项.【预设的答案】1. 15,27,39 2.不是【设计意图】通过一些具体的数列计算，巩固、加深对概念的理解.例2.在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d及a19.解：由等差数列的通项公式得a1+4d=10a1+11d=31解得：a1=2，d=3 a19=2+191×3=52【设计意图】进一步灵活应用、巩固等差数列的通项公式，体会联立方程组求解的思想，由此可以让学生看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.例3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今五等诸侯，共分橘六十，人别加三颗，五人各几何？” 意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？” 【预设的答案】6,9,12,15,18【设计意图】让学生感受数学文化，提高学习数学的积极性，激发学习数学的兴趣，掌握知识的同时，拓宽数学视野，提升自己的文化素养.3. 课堂检测【设计意图】当堂检测同学们的本节课内容的学习掌握情况.4. 归纳小结 【设计意图】梳理本节课的知识点.四、课外作业