一元二次方程根与系数的关系的探索和应用中学教育中学学案中学教育中学学案.pdf
一元二次方程根与系数的关系的探索和应用 一元二次方程根与系数的关系在新课本里面已经没有单独作为一节来学习,而是作为一个问题来探索和研究；并且仅限于 x2+px+q=0(p2-4q0)的形式,由于这部分内容在整个中学数学习中的重要性,特别是在解答有关二次函数和一元二次不等式的综合性题型时用得最多；所以,对于中上成绩的学生来说,有必要继续探索研究关于ax2+bx+c=0(a0,a、b、c 为常数,b2-4ac0)的一元二次方程根与系数的关系.用配方法解平方项系数是1 的一元二次方程x2+px+q=0,先由学生自主探索它的解答过程,然后抽一名学生在黑板上写出解答过程；教师给予点评归纳总结用配方法解平方项系数是1的一元二次方程的关键是在于方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，只有在p2-4q0 时一元二次方程 x2+px+q=0才有两个实数根，x1=242qpp,x2=242qpp.由学生分组计算 x1+x2,x1x2的值.然后问学生们发现了什么结论?学生们回答 x1+x2=-p,x1x2=q,引导学生用文字语言回答,归纳探索得出根与系数的关系；两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。它的特殊应用在于已知一元二次方程的两根，求这个一元二次方程。这个一元二次方程就可以写成 x2-（x1+x2）x+x1x2=0 的形式.如果平方项系数不是 1 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(其中 a0,a、b、c 为常数)还能用配方法来解吗?让学生探索讨论并解答.师生共同探索归纳用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(其中 a0,a、b、c 为常数)的关键在于先把平方项系数化成1变为方程x2+px+q=0的形式就可以求解了.它体现了化未知为已知的数学思想.抽两名学生在黑板上写出解答过程.并计算x1+x2,x1x2的值.并让学生们注意发现了什么?回答是 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a；让学生口头回答根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数比上二次项系数；两根之积等于常数项比上二次项系数.一、基本题型:1 已知一元二次方程的一个根,求另一根及求所含字母系数.例 1:已知方程 3x2+bx-4=0的一个根 2/3，求另一根和 b 的值.解:设另一根为 x2,由根与系数的关系得:32x2=-34，x2=-2，-2+32=-3m，m=4.注意:利用根与系数的关系求根及字母系数的值,关键是确定运用哪一个关系式作为突破口.例 2:已知关于 x 的一元二次方程 x2-(2m2-1)x+m2=0，当 m为值时一元二次方程有：(1)一个根为 0；(2)两根互为相反数；(3)有两个正根；(4)一根要大于 1，一根要小于 1.解:由根与系数的关系可知(1)当常数项 m2=0，即 m=0时一元二次方程有一根为 0.(2)当一次项系数-(2m2-1)=0，m=2/2 时一元二次方程的两根互为相反数.(3)当-(2m2-1)2-4m20，-(2m2-1)0，m20 同时成立；解之得-2/2 m 1/4 时，一元二次方程有两个正根.(4)设 x1、x2一元二次方程 x2-(2m2-1)x+m2=0 的两根，由根与系数的关系有(x1-1)(x2-1)0，化简得:x1x2-(x1+x2)+1 0.m2-(2m2-1)+10，-(2m2-1)2-4m20，同时成立,解之得 m-2时一元二次方程一根大于 0 根另一根小于 0.2已知一个一元二次方程,利用根与系数的关系,求与两根有关的代数式的值以及新的一元二次方程.例 1:已知一元二次方程 x2-5x+3=0 的两个实数根分别为 m,n.求(1)nm11；(2)m2n+mn2；(3)m2+n2的值。解：由根与系数的关系可知 m+n=5,mn=3 (1)nm11=35mnnm(2)m2n+mn2=mn(m+n)=3 5=15；(3)m2+n2=(m+n)2-2mn=52-23=19 例 2:已知一元二次方程 3x2+5x-2=0,不解方程,求以该方程(1)两根的倒数；（2）各根的 2 倍，（3）各根的平方为根的新的一元二方程.解:由根与系数的关系有 x1+x2=-5/3；x1x2=-2/3.(1)2111xx=2121xxxx25，2121111xxxx23所求的一元二次方程为 x2-25x-23=0，2x2-5x-3=0（2）2x1+2x2=2(x1+x2)=2(-35)=-310，2x12x2=4x1x2=4(-32)=-38；所求的一元二次方程为:x2+310 x-38=0；(3)x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-5/3)2-2(-3/2)=25/9+3=52/9；x21x22=(x1x2)2=(-2/3)2=4/9；所求的一元二次方程为x2-952x+94=0，9x2-52x+4=0 3、已知一元二次方程根的情况求待定系数.例1关于x 的一元二次方程x2+(2m+1)+m2-3=0有两个实数根.(1)求实数 m的取值范围；(2)是否存在实数m,使一元二次方程的两个实数根的积与两实数根的和的2 倍相等?若存在,求出 m的的值；若不存在,请说明理由.解:一元二次方程的判别式=(2m+1)2-4(m2-3)=4m+13,当 4m+13 0,即 m-13/4 时,一元二次方程有两个实数根.(2)设一元二次方程的两个实数根分别为x1、x2,则 x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-3.x1x2=2(x1+x2),m2-3=2-(2m+1),m2+4m-1=0,m1=-2+5,m2=-2-5(不合题意,舍去).答:存在实数 m=-2+5,使方程的两个实数根的的积与两个实数根的和的2 倍相等.例 2:已知关于 x的一元二次方程 x2-5x+3=0 的两根分别是一直三角形的两条直角边,求这个直角三角形的斜边长.解:=(-5)2-413=25-12=13 0 一元二次方程x2-5x+3=0有两个实数根.设它分别为 x1、x2.由根与系数的关系有 x1+x2=5,x1x2=3.直角三角形的斜边=2221xx 212212)(xxxx325219.小结:利用 x1+x2与x1x2可获得关于 m的等式,在求得 m的值后,必须检验方程的判别式是否能保证方程有两个实根；否则就要增加解.二、综合能力创新探研:例 1:已知二次三项式 3x2-4x+m,当 m取何值时,(1)在实数范围内能分解因式；(2)在实数范围内不能分解因式；(3)能分解成一个完全平方.探索:二次三项式在实数范围内能分解因式的条件是方程有实数根,即=b2-4ac0；不能分解的条件是0；当=0 时,二次三项式是完全平方式.解:设 3x2-4x+m=0.a=3,b=-4,c=m=b2-4ac=(-4)2-43m=16-12m(1)当 0,即 16-12m0,m4/3 时,二次三项式 3x2-4x+m在实数范围内能分解因式；(2)当0 时,即 16-12m 0,m 4/3 时,在实数范围内不能分解因式；(3)当=0 时,即 16-12m=0,m=4/3 时,二次三项式是完全平方式.例 2:已知实数 m、n 满足 m2-5m+3=0,n2-5n+3=0.nmmn的值.解:若 m=n时,nmmn=1+1=2.若 m n 时,则 m、n 是方程 x2-5x+3=0 的两根.由根与系学习而是作为一个问题来探索和研究并且仅限于的形式由于这部分内容在整个中学数学习中的重要性特别是在解答有关二次函数和一元二次不等式的综合性题型时用得最多所以对于中上成绩的学生来说有必要继续探索研究关于为常抽一名学生在黑板上写出解答过程教师给予点评归纳总结用配方法解平方项系数是的一元二次方程的关键是在于方程的两边同时加上一次项系数一半的平方只有在由时一元二次方程才有两个实数根学生分组计算的值然后问学生们发数两根之积等于常数项它的特殊应用在于已知一元二次方程的两根求这个一元二次方程这个一元二次方程就可以写成的形式如果平方项系数不是的一元二次方程其中为常数还能用配方法来解吗让学生探索讨论并解答师生共同探索归数的关系可知:m+n=5,mn=3；nmmn=mnmnnmmnnm2)(22231933252.注意:本题有两个答案；而 2 这个答案容易忽略.因为方程 x2-5x+3=0 的=(-5)2-413=130.所以方程有两个不相等的实数根,即 m n.但题设中并没有这样的限制条件.例 3:已知 a、b 为实数,且有 3a2+2009a+8=0,8b2+2009b+3=0.ab1 求ba的值.分析:仔细观察察两个方程的结构特征,将第二个方程通过变形使它们具共同特点,然后重新构造一个一元二次方程,再利用根与系数的关系来求解.解:由8b2+2009b+3=0可知b0,所以在方程的两边同时除以 b2得0812009)1(32bb.ab1,a 与b1是一元二次方程 3x2+2009x+8=0的两根,由根与系数的关系有381baba 例 4 求证:不论 a 是什么什么实数,二次函数 y=x2+ax+a-2 的图像都与 x 轴相交于两个不同的点,并求出这两点间的距离最小值时的二次函数表达式.解:二次函数对应的一元二次方程为 x2+ax+a-2=0.判别式=a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+40，所以 a 不论何值一元二次方程为 x2+ax+a-2=0 都有两个不相等的实数根；即不论 a 是什么什么实数,二次函数 y=x2+ax+a-2 的图像都与 x 轴相交于两个不同的点。设 x1、x2是一元二次方程为 x2+ax+a-2=0 的两根.由根与系数的关系有 x1+x2=-a,x1x2=a-2；x2-x1=212)(xx212214)(xxxx)2(4)(2aa=4)2(2a当 a=2 时,两个交点间的距离最小,最小值为 2.此时的二次函数为 y=x2+2x.学习而是作为一个问题来探索和研究并且仅限于的形式由于这部分内容在整个中学数学习中的重要性特别是在解答有关二次函数和一元二次不等式的综合性题型时用得最多所以对于中上成绩的学生来说有必要继续探索研究关于为常抽一名学生在黑板上写出解答过程教师给予点评归纳总结用配方法解平方项系数是的一元二次方程的关键是在于方程的两边同时加上一次项系数一半的平方只有在由时一元二次方程才有两个实数根学生分组计算的值然后问学生们发数两根之积等于常数项它的特殊应用在于已知一元二次方程的两根求这个一元二次方程这个一元二次方程就可以写成的形式如果平方项系数不是的一元二次方程其中为常数还能用配方法来解吗让学生探索讨论并解答师生共同探索归
