云南师大附中2023-2024学年高三上学期期初开学数学试题含答案.pdf

云南师大附中2023-2024 学年第一学期期初开学考试 高三数学 云南师大附中2023-2024 学年第一学期期初开学考试 高三数学 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题；本题共一、选择题；本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的1已知集合2log3Mxx=，则MN=（）A()1,8 B()0,8 C()1,6 D()0,6 2已知i是虚数单位，若12Zi=+，21Zi=+，则12ZZZ=在复平面内的对应点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ea处的切线方程为3yxb=+，则（）Aea=，2b=Bea=，2b=C1ea=，2b=D1ea=，2b=4函数()22cosxxyx=在区间2 2,上的图象大致为（）A B C D 5把语文、数学、英语、物理 4 本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为（）A16 B1 C12 D23 6如果0ab，那么下列不等式成立的是（）A11ab B2abb C2aba D11ab 7已知函数()f x是R上的偶函数，且()f x的图象关于点()1,0对称，当0,1x时，()22xf x=，则()()()()0122022ffff+的值为（）A2 B1 C0 D1 8“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为 8dm，下底面内侧边长为 2dm，侧棱长为 6dm将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为 6dm已知 1kg 大米的体积约为34dm3，则方斗内剩余的大米质量约为（参考数据：21.4，31.7，结果保留整数）（）A30kg B36kg C45kg D52kg 二、选择题；本题共二、选择题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9已知变量x，y之间的经验回归方程为7.60.4yx=，且变量x，y的数据如图所示，则下列说法正确的是（）x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量x，y之间呈正相关关系 B实数 m的值等于 5 C该回归直线必过(9,4)D相应于(10,3)的残差估计值为 0.6 10已知323,2log 2xy=则（）A32x D11 2xy+11若a、b、cR，则下列命题正确的是（）A若0ab 且abB若01a，则2aa且0c，则bcbaca+D()221222abab+12设直线():3l ykxk=+R与圆22:4C xy+=，则下列结论正确的为（）Al可能将C的周长平分 B若圆C上存在两个点到直线l的距离为 1，则k的取值范围为()()2 2,00,2 2C若直线l与圆C交于,A B两点，则ABC面积的最大值为 2 D若直线l与圆C交于,A B两点，则AB中点M的轨迹方程为223924xy+=三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1383213xx的展开式中，2x项的系数为14干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知 2023 年是癸卯年，则8132+年以后是年.15已知5520125(12)xaa xa xa x=+，则1234aaaa+=（用数字作答）16已知函数()sin0,42 2f xx=+的最小正周期为4，将函数()f x的图象向左平移6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是9x=，则的值为 四、解答题；本题共四、解答题；本题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 172022 年支付宝“集五福”活动从 1 月 19 日开始，持续到 1 月 31 日，用户打开支付宝最新版，通过 AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜 22：18 前集齐“五福”的用户获得一个大红包某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200 名进行调查，得到统计数据如下表所示：集齐“五福”卡 末集齐“五福”卡 合计男性80 20 100 女性65 35 100 合计145 55 200(1)请根据以上数据，由0.050=的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，求这 3 人中恰有 1 人未集齐“五福”卡的概率 参考公式：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+()20Pk0.10 0.050 0.010 0.001 0k2.706 3.841 6.635 10.828 18已知函数()xf xb a=（0a，且1a）的图象经过点(1,4)A，(3,16)B.(1)求函数()f x的解析式；(2)设函数()()()(2)g xf xfx x=，求函数()g x的值域19某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为 A 类体操），原来的大课间运动体操（记为 B类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关，分别对使用 A类体操与 B类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了 100 个学生的问卷调查情况，得到如下数据：喜爱不喜爱A 类体操 70 30 B 类体操 40 60(1)试根据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与 A 类体操和 B 类体操有关？(2)从样本的喜爱大课间运动的学生中，按 A、B 类分层抽取 11 名学生参加一个座谈会，再从中抽取 3 名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱 A类体操也有喜爱 B 类体操的概率 附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，0.0500.0100.001 ax3.841 6.635 10.828 20现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢()1,Nk kk局，谁便赢得全部奖金 a 元.假设每局甲赢的概率为()01pp，乙赢的概率为1p，且每场比赛相互独立.在甲赢了()m mk局，乙赢了()n nk局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金.(1)若33,2,1,4kmnp=，求:PP甲乙；(2)记事件 A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4,2,2kmn=时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p，并判断当617p时，事件 A是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于 0.06，则称该随机事件为小概率事件.21已知函数()e2xf xax=(1)讨论()f x的单调性；(2)当1a=时，求函数()()cosg xf xx=在,2+上的零点个数22 如图 1，在梯形ABCD中，,60,2/,3ADBCABCABADBC=，点 E 在线段BC上，2BEEC=，将ABE沿AE翻折至PAE的位置，连接PD，点 F 为PD中点，连接CF，如图 2，(1)在线段AD上是否存在一点 Q，使平面/PAE平面FQC?若存在，请确定点 Q的位置，若不存在，请说明理由；(2)当平面PAE 平面AECD时，求三棱锥PAEF的体积，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司数学数学参考答案参考答案 1B 2log3x，则322loglog 20 xx，解得3028x=，则 2log308Mxxxx=，()0,8MN=，故选：B.2D 由21Zi=+，得21Zi=，所以()()12213ZiZiZi=+=，故Z在复平面内的对应点的坐标为()3,1，位于第四象限.故选：D 本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题.3C 求出函数的导函数，依题意可得1|3xy=，即可求出a，再将切点代入切线方程，即可求出b；解：1eexxyaaxx=+，1|ee 12 e 13xkyaaa=+=+=，1ea=，1e1ea=将()1,1代入3yxb=+得31b+=，2b=故选：C 4C 根据奇偶性排除 D，再取特值1,2xx=排除 AB.因为2,2x，关于原点对称，()()()()()22cos22cos=xxxxfxxxf x，所以函数()f x为奇函数，故 D 错误；因为012，所以()()13122cos1cos102=f，故 A 错误；因为22，所以cos20，所以()()215242cos2cos204=f，故 B 错误；故选：C.5C 由排列数公式计算 4 本书排成一行、语文书和英语书不相邻的排法，由古典概型公式计算可得答案.根据题意，语文、数学、英语、物理 4 本书从左到右排成一行，有4424A=种不同的排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有222312A A=种，则语文书和英语书不相邻的概率121242P=.故选：C.6D 由于0ab，不妨令2a=，1b ，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论 解：由于0ab，故 A 不正确可得2ab=，21b=，2abb，故 B 不正确 可得2ab=，24a=，2aba，故 C 不正确 故选：D 7C 利用对称性和奇偶性可推导得到()f x是周期为4的周期函数，并求得()()()()0,1,2,3ffff的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.()f x图象关于点()1,0对称，()()2f xfx=，又()f x为R上的偶函数，()()f xfx=，()()()22f xfxf x=，()()()()42f xf xf xf x+=+=，fx是周期为4的周期函数，()()()311220fff=，又()01f=，()()201ff=，()()()()()()()()()012202250501232020fffffffff+=+()()()()()()202120225051 0 1 00121 0 10fffff+=+=+=.故选：C.关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值.8B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据四棱台的体积公式即可求解.如图，平面2222A B C D为大米铺平后所在的平面 连接AC，11AC，22A C 分别取ABCD，1111DCBA的中心1,O O（它们分别在AC，11AC上），连接1OO，则1OO与平面2222A B C D的交点2O必在22A C上且为2222A B C D的中心 在正四棱台的对角面11ACC A中，8 2dmAC=，112 2dmAC=，16dmAA=，226 2dmA C=，易得2A，2C分别为1AA，1CC的三等分点，13 2dmOO=，122 2dmOO=，所以()()1 1 112222222231104 262622 2dm33A B C DA B C DV=+=又因为 1kg 大米的体积约为34dm3，所以方斗内剩余的大米质量约为104 2326 236.43634=（kg）故选:B 9BC 将样本中心点代入回归直线方程，先求出m，再逐一判断即可.由表格数据得，68 10 1294x+=，6321144mmy+=，将样本中心点11(9,)4m+代入回归直线方程7.60.4yx=得，117.60.4 94m+=，解得5m=.所以选项 B 正确；又1144m+=，即样本中心点为(9,4)，所以选项 C 正确；对选项 A，当变量x增加，变量y相应值减少，两个变量之间呈负相关关系，所以选项 A 错误；对选项 D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差.由经验回归方程7.60.4yx=，令10 x=，得预测值3.6y=，则相应于(10,3)的残差为33.60.6=，所以选项 D 错误.故选：BC.10BCD 由22log 3log8x=，可判定 A 不正确；由对于的运算性质，可判定 B 正确；由对数的运算性质，可判定C 正确；结合基本不等式和对数的运算性质，可判定 D 正确.对于 A 中，由23x=，可得22213log 3log8log 822x=，所以 A 不正确；对于 B 中，由323,2log 2xy=，可得2log 3x=，所以23222log 3 2log 2log 32log 3xy=，所以 B 正确；对于 C 中，由33332log 2log 4log272y=，所以xy，所以 C 正确；对于 D 中，由23log 3,2log 2yx=，可得23222211log 3log 2log 32log 32log 3log 3xy+=+=+=，因为2212log 3log 3，所以等号不成立，所以2xy+，又因为1xy=，所以11 2xyxyxyxy+=+，所以 D 正确.故选：BCD.11BD 利用特殊值法可判断 A 选项；利用作差法可判断 BCD 选项.对于 A 选项，若0ab 且ab，取1a=，1b=，则11ab，A 错；对于 B 选项，若01a，则()210aaa a=且0c，则0ab，则()()()()()0a bcb acc abbcbacaa aca ac+=+，故bcbaca+，C 错；对于 D 选项，()()()()()2222221 2222144120ababaabbab+=+=+，当且仅当12ab=时，等号成立，故()221222abab+，D 对.故选：BD.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司12BC 根据圆心在直线上判断 A，根据直线与圆的位置关系判断 B，根据三角形面积公式判断 C，根据几何法求出点 M 的轨迹方程即可判断 D.对于A，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，A错误；对于 B，若圆C上存在两个点到直线l的距离为 1，则C到直线l的距离d满足13d，所以23131k+，解得2 2k 0或02 2k，B 正确；对于 C，1sin2sin2ABCSCA CBACBACB=，当90ACB=时，ABC的面积有最大值 2，C 正确；对于D，易知直线l经过定点()0,3P，所以OMPM，所以M点的轨迹以OP为直径的圆，其方程为223924xy+=，又因为M点在圆C内，由222243924xyxy+=+=，解得43y=，所以M点的轨迹方程为223940243xyy+=的最小正周期为4，所以2142=，()1sin24=+f xx，将函数()f x的图象向左平移6个单位长度，可得11sinsin26423=+=+yxx，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），可得3sin23=+yx，因为所得函数图象的一条对称轴方程是9x=，所以3sinsincos12932+=，可得()kk=+Z，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司因为,2 2，所以0=.故答案为：0.17(1)有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关(2)35（1）由公式根据列联表求出2K，将其与临界值比较大小，根据比较结果判断即可；（2）由条件列出所有基本事件，再由古典概型的概率公式求解.（1）根据列联表可得：()()()()()()22220080 3520655.643145 55 100 100n adbcKabcdacbd=+，又()23.8410.05P K=，5.6433.841，所以有 95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；（2）设集齐“五福”卡的男性抽取 x人，则580100 x=，所以4x=，故抽取的 5 人中集齐“五福”卡的男性有 4 人，未集齐“五福”卡的男性有 1 人，设被抽取的集齐“五福”卡的 4 名男性为,A B C D,未集齐“五福”卡的 1 名男性为a，从 5 人中任意抽取 3 人的所有基本事件如下：()()()()(),A B CA B DA B aA C DA C a，()()()()(),A D aB C DB C aB D aC D a，所以基本事件总数为 10，其中事件恰有 1 人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：()()()()()(),A B aA C aA D aB C aB D aC D a共 6 种，由古典概型的概率公式可得事件恰有 1 人未集齐“五福”卡的概率63105P=,故这 3 人中恰有 1 人未集齐“五福”卡的概率是35.18(1)1()2xf x+=；(2)15,2+.（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.（2）由（1）求出函数()g x的解析式，判断函数单调性求解作答.（1）依题意，3416abba=，而0a，解得2,2ab=，即有1()2 22xxf x+=，所以函数()f x的解析式是1()2xf x+=.（2）由（1）知，1112(2)2()()()22xxxxg xf xfx+=，因函数2xy=和12xy=在2,)+上都单调递增，因此函数()g x在2,)+上单调递增，max15()(2)2g xg=，所以函数()g x的值域为15,)2+.19(1)可以认为是否喜爱大课间运动程度与 A类体操和 B类体操有关(2)4255（1）先提出零假设，再计算卡方，利用独立性检验的思想，可得出结论；（2）由分层抽样的方法可知，抽取 11 名学生中，喜爱 A 类体操有 7 名学生，喜爱 B类体操有 4 名学生，通过排列组合计算出抽取 3 名学生的所有情况和 3 名发言学生中既有喜爱 A类体操也有喜爱 B 类体操的情况，由古典概型可求（1）零假设为：0H：是否喜爱大课间运动程度与 A 类体操和 B 体操无关 根据列联表中的数据，得到22200(70 6030 40)20018.182100 100 110 9011=10.828，根据小概率值0.001=的独立性检验，推断0H不成立，即认为是否喜爱大课间运动程度与 A类体操和 B类体操有关；（2）由样本中的数据可知，抽取 11 名学生中，其中喜爱 A类体操有 7 名学生，喜爱 B 类体操有 4 名学生，从 11 名学生抽取 3 名学生的所有情况有31111 10 9C1653 2 1=，而3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况有122174744 37 6C CC C7412622 1+=+=种，所以1264216555P=，所以参加发言的学生既有喜爱 A类体操也有喜爱 B类体操的概率为425520(1)15:1；学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)2(12)11)()(fppp=+（617p），事件 A是小概率事件，理由见解析.（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，最后一局必然是甲赢，最多再进行 2 局，利用独立事件概率求出概率，再求出乙赢得全部奖金的概率作答.（2）设比赛再继续进行Y局乙赢得全部奖金，最后一局必然是乙赢，利用独立事件概率求出()f p，并求出函数最小值，再判断作答.（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行 2 局，当1X=时，甲以3:1赢，3(1)4P X=，当2X=时，甲以3:2赢，133(2)4416P X=，因此甲赢的概率为331541616+=，则乙赢的概率为15111616=，所以:15:1PP=甲乙.（2）设比赛再继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，当2Y=时，乙以4:2赢，2(2)(1)P Yp=，当3Y=时，乙以4:3赢，1222(3)C(1)2(1)P Ypppp=，于是得乙赢得全部奖金的概率222()(1)2(1)(12)(1)P Appppp=+=+，甲赢得全部奖金的概率2(12)11)()(fppp=+，617p，即函数()f p在6,1)7上单调递增，则有min6324()()7343f pf=，因此乙赢的概率最大值为3241910.05540.06343343=恒成立，则()f x在R上单调递增；当0a 时，令()0fx=，解得ln2xa=，故(,ln2)xa 时，()0fx，()f x单调递增.综上，当0a 时，则()f x在R上单调递增；当0a 时，()f x在(,ln2)a单调递减，在(ln2,)a+单调递增.（2）由已知得()e2cosxg xxx=，,2x+，则()esin2xgxx=+当,02x 时，因为()()()e1sin10 xgxx=+=所以()g x在,02上无零点当0,2x时，因为()gx单调递增，且()010g=，所以存在00,2x，使()00gx=当)00,xx时，()0gx 所以()g x在)00,x上单调递减，在0,2x上单调递增，且()00g=所以()00g x 所以2e02h=所以2e02g=所以()002g xg，所以()g x在,2+上单调递增因为02g，所以()g x在,2+上无零点综上所述，()g x在,2+上的零点个数为 2 22(1)存在，Q是AD的中点(2)12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；（2）利用余弦定理与勾股定理证得AEMD，进而利用线面垂直的判定定理证得MD 平面PAE，从而得到 F 到平面PAE的距离，再利用等体积法即可得解.（1）当 Q是AD的中点时，平面/PAE平面FQC，理由如下：如图，连接,FQ CQ，依题意得/ADEC，且2,1ADEC=，则/,AQCE AQCE=，所以四边形AECQ是平行四边形，则/AECQ，又AE 平面,PAE CQ 平面PAE，所以/CQ平面PAE，因为,Q F分别为,AD PD的中点，所以/PAQF，又PA平面,PAE QF 平面PAE，所以/QF平面PAE，因为,QF CQ 平面,FQC QFCQQ=，所以平面/PAE平面FQC，.（2）取AE的中点 M，连接DM，因为2,3,60BEEC BCABC=，则2BEAB=，所以PAE为边长为 2 的等边三角形，则1322322PAES=，因为1,2,60AMADMAD=，所以由余弦定理得1142 1 232MD=+=，所以在AMD中，222MDAMAD+=，则AEMD，因为平面PAE 平面AECD，平面PAE 平面,AECDAE MD=平面AECD，所以MD 平面PAE，因为 F为PD的中点，所以 F到平面PAE的距离1322hMD=，所以113133322P AEFF PAEPAEVVSh=.