高中数学必修一知识点总结中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

1/21 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合：A=我 校 的 篮 球 队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集与其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集R(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如：a,b,c (2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32(3)语言描述法：例：不是直角三角形的三角形(4)Venn 图:韦恩图（文氏图）是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。2/21 4、集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。含有 n 个元素的集合的子集的共有2n个；真子集共有21n个：非空真子集共有22n.集合的基本运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A且属于 B 的元由所有属于集合A 或属于集合 B设 S 是一个集合，A 是 S的一个子集，由 S 中所有真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法3/21 素所组成的集合,叫做 A,B 的交 集 记 作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB 的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集记作：AB（读作A并 B），即 AB=x|xA，或xB)不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A的补集（或余集）记作ACS，即 CSA=,|AxSxx 且 韦 恩 图 示 AB图1 AB图 2 性 质 AA=A A=AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=U A(CuA)=容斥原理有限集 A 的元素个数记作 card(A).对于两个有限集A，B，有 card(A B)=card(A)+card(B)-card(AB)重点习题：S A 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法4/21 注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题 1.求方程210 xx 的解集；2.设24,21,Aaa，9,5,1Baa，已知 9AB，则实数a 。3.设关于x的方程2120 xpx，20 xqxr 的解集分别为 A，B，若 3,4AB，3AB，求,p q r的值。4.设 A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0,又 AB=3，5，AB=3，求实数 a,b,c 的值.5.设10,7,4,1,9,7,5,3,1,02NMRxqpxxxA。若ANA，MA求 p,q 的值。6.设240Ax xx，222(1)10Bx xaxa B（）若ABB，求a的值；（）若ABB，求a的值 7.某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为 49，电视机拥有率为 85，洗衣机拥有率为 44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占 63，三种电器齐全的为 25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？二、函数（一）函数定义域、值域求法综合 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法5/21 就称:fAB为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function），记作(),yf x xA，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain），与 x 的值相队对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合()f x xA叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则 f(x)是一个函数符号，表示为“y 是 x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号 f(x)表示外，还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数 f(x)=x2+3x+1,当 x=2 时的函数值是：f(2)=22+32+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。（2）定义域是自变量 x 的取值范围；注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x与)Ry=x2(x0)；y=1 与 y=x0 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中，还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为 xm，长是宽的 2 倍，其面积为 y=2x2，此函数的定义域为 x0,而不是Rx。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法6/21 对应法则确定，函数的值域也随之确定。（求值域通常用观察法、配方法、代换法）定义域的求法：当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R；（2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果 f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,2,6yxxSrCr St等。（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）.真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法7/21（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1x2时都有 f(x1)f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。1函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM。那么，我们称M是函数()yf x的最大值（maximum value）.2二次函数在给定区间上的最值 利用二次函数的性质求最值 对二次函数2(0)yaxbxc a来说，若给定区间是(,)，则当0a 时，函数有最小值是，当0a 时，函数有最大值是；若给定区间是,a b，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。利用图像求函数的最值 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法8/21 利用函数的单调性求最值 3.一般地，（板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数（even function）。（图像关于 y 轴对称）4.一般地，（板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做奇函数(odd function)。（图像关于原点对称）注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（三）函数解析式的表达 求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法 例 1、（1）已知二次函数()f x满足(1)1f，(1)5f ，图象过原点，求()f x；（2）已知二次函数()f x，其图象的顶点是(1,2)，且经过原点，()f x 解：（1）由题意设 2()f xaxbxc，(1)1f，(1)5f ，且图象过原点，2()32f xxx（2）由题意设 2()(1)2f xa x，又图象经过原点，(0)0f，20a 得2a ，2()24f xxx 说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；)()(xfxf真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法9/21 （2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。2、代入法 例 2、根据已知条件，求函数表达式（1）已知2()43f xxx，求(1)f x（2）已知2()31f xx，()21g xx，求()f g x和()g f x.解：（1）2()43f xxx 22(1)(1)4(1)32f xxxxx （2）2()31f xx，()21g xx 222()3()13(21)112124f g xg xxxx 22()2()12(31)161g f xf xxx 说明：已知()f x求()f g x，常用“代入法”.基本方法：将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替，化简得函数表达式 3、配凑法与换元法：例 3、（1）已知2(1)2f xxx，求()f x.（2）已知(1)2fxxx ，求(1)f x 解：（1）法一配凑法：2(1)(1)212f xxxx 2(1)41xx2(1)4(1)3xx 2()43f xxx 法二换元法：令1xt，则1xt，22()(1)2(1)43f ttttt 2()43f xxx（2）设11ux，则x=1u，2(1)xu 于是22()(1)2(1)1(1)f uuuuu 2()1(1)f xxx 22(1)(1)12(11)f xxxx x 即2(1)2(0)f xxx x.说明：已知)(xgf求)(xf的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉与到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法10/21 4、构造方程法 例 3、已知 f(x)满足，求()f x.解：-将中x换成1x得 -2-得 说明：已知)(xf与)(xf，或)(xf与之间的关系式，求)(xf的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去)(xf 或，解出)(xf.（三）恒成立问题的求解策略 主要讨论二次函数问题（四）反函数的几种题型与方法 反函数的定义 一般地，设函数)(Axxfy的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x=(y).若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，x在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数)(Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy 1.求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域 二反解：视 y 为常量，从 yf x中解出唯一表达式 1xfy，真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法11/21 三对换：将x与y互换，得 1yfx，并注明定义域。2.反函数 1yfx与原函数 yf x的关系：性质 1、1yfx的定义域、值域分别为 yf x的值域、定义域。性质 2、若 yf x存在反函数，且 yf x为奇函数，则 1yfx也为奇函数。性质 3、若 yf x为单调函数，则 1yfx同 yf x有相同的单调性。性质 4、yf x和 1yfx在同一直角坐标系中，图像关于yx对称。探讨 1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(xfy 来说，不一定有反函数，如2xy,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2xy,),0 x有反函数是xy 探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数)(xfy 是定义域 A 到值域 C 的映射，而它的反函数)(1xfy是集合 C 到集合 A 的映射，因此，函数)(xfy 的定义域正好是它的反函数)(1xfy的值域；函数)(xfy 的值域正好是它的反函数)(1xfy的定义域xxffxxff)(,)(11（如下表）：函数)(xfy 反函数)(1xfy 定义域 A C 值 域 C A 探讨 3：)(1xfy的反函数是？若函数)(xfy 有反函数)(1xfy，那么函数)(1xfy的反函数就是真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法12/21)(xfy，这就是说，函数)(xfy 与)(1xfy互为反函数 例 1：已知 32log1xf x，求 1fx （对数函数形式）解：f x的 值 域 为R,令 32log1xy，则 32log1xy 112323yyxx 1123xfx 例 2：已知 221xf x求 1fx （指数函数形式）解：令221xy，y的值域为1y ，221xy 12log2yx 12log2yx 112log2101xfxxx 例 3：已知 21101fxxx ，求 1fx （根式形式）解：令 21101yxx 201110011xxx 20111x 20111x 01y 211yx 2211yx 211xy 1211 01fxxx 例 4：求11R212xyxx 且x的反函数 （分式形式）解：由题意知，反解为11211212yyxxxyy 原函数的反函数为 例 5、已知 21211,2f xxxx，求 f x的反函数 （二次函数形式）真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法13/21 解：122131 23xxtxt 令 1xt 所以原函数可化为 2212112f tttt 即 f x22x23x 22yf xx （27y）222yxxy（27y）所以 f x的反函数 12 27fxxx 例 6、求的反函数 （分段函数形式）解：0 x 时，2yx 则xy （0y）则 y 的反函数为yx(0)x 0 x 时，y 12x 则2xy（0y）则 y 的反函数为20yx x 所以原函数的泛函数 注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来 利用反函数求值 （性质一的应用）例 7、已知 12221,13fxxfx 求的值 解一：先求反函数 1fx 解：令，得222111xxxyy 且0y 故 f x的反函数为 1210fxxx 解二：根据性质一 解：12xx 即 例 8、已知 xf xak的图像过点1,3，其反函数 1yfx的图像过 2,0点，求 f x的表达式。解：1yfx的 图 像 过 点 2,0，f x的 图 像 过 点 0,2，0211xakkf xa 又 yf x的图像过点1,3，真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法14/21 31221xaaf x 利用图像 （性质四的应用）例 9：已知函数 211,2xfxaxaxa 的图像关于直线yx对称，求 a 的值 解：由题意 f x的图像关于直线yx对称，则 1f xfx 令 yf x(2)y 1212ayy xaxxx 所以 由 1f xfx 得=解得2a （五）二次函数根的问题一题多解&指数函数 y=ax 运算规律：aa*ab=aa+b(a0,a、b 属于 Q)(aa)b=aab(a0,a、b 属于 Q)(ab)a=aa*ba(a0,a、b 属于 Q)指数函数图像对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称 3、函数 y=ax 与 y=-a-x 关于坐标原点对称 指数函数问题解决方法：1比较大小 例 1 已知函数2()f xxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是_ 分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法15/21 区间内 解：(1)(1)fxfx，函数()f x的对称轴是1x 故2b，又(0)3f，3c 函数()f x在1，上递减，在1，上递增 若0 x，则321xx，(3)(2)xxff；若0 x，则321xx，(3)(2)xxff 综上可得(3)(2)xxff，即()()xxf cf b 评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论 2求解有关指数不等式 例 2 已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是_ 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围 解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在()，上是增函数，31xx，解得14x x的取值范围是 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论 3求定义域与值域问题 例 3 求函数216xy的定义域和值域 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法16/21 解：由题意可得2160 x，即261x，20 x，故2x 函数()f x的定义域是2，令26xt，则1yt，又2x，20 x 2061x，即01t 011t，即01y 函数的值域是01，评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响 4最值问题 例 4 函数221(01)xxyaaaa且在区间 11，上有最大值 14，则a的值是_ 分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围 解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t 当1a 时，11x，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya 解得3a 或5a （舍去）；当01a 时，11x，1xaaa，即1ata，1ta时，解得13a 或15a （舍去），a的值是 3 或13 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法17/21 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等 5解指数方程 例 5 解方程223380 xx 解：原方程可化为29(3)80390 xx ，令3(0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t 或19t （舍去），39x，2x，经检验原方程的解是2x 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根 6图象变换与应用问题 例 6 为了得到函数9 35xy 的图象，可以把函数3xy 的图象（）A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数9 35xy 转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断 解：293535xxy ，把函数3xy 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数9 35xy 的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等 真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法18/21&对数函数 y=logax 如果0a，且1a，0M，0N，那么：1 Ma(log)NMalogNalog；2 MalogNalog；3 naMlognMalog )(Rn 注意：换底公式 （0a，且1a；0c，且1c；0b）幂函数 y=xa(a 属于 R)1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra 的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 三、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法19/21 出零点 4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 重点习题：1.下列图象中不能表示函数的图象的是 （）y （A）（B）（C）(D)2.函数 y=(0.2)-x+1 的反函数是()A.y=log5x+1 B.y=klogx5+1 C.y=log5(x-1)D.y=log5x-1 3.曲线 分别是指数函数,和 的图象,则 与 1 的大小关系是().(4.当 a1 时，函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图像只可能是(B )真钻研教材领会编者意图切实把握课文的特点其次要关注学情根据本班学生的实际情况制定符合他们接受水平和需要的教学目标这样才能有的放矢增强目标的针对性和有效性三是教学目标的制定必须具体明确教学目标的表达越清晰标闲置上课和写教案使用的都是教参上的教学目标教学过程中制定的教学目标和教学结果没有多大关联制定教学目标把三维目标割裂开来分别表述教学环节紧紧围绕教学目标循序渐进地展开认为备课的第一个环节和最重要的环节是的作用而在实际操作中常常夹杂着一些不切实际的目标我们把这些不切实际的目标称为虚目标泛目标和去目标例卖火柴的小女孩的教学目标教学中培养学生的想象力这就是虚目标例少年闰土的教学目标理解课文详略得当的写作方法20/21 5.若函数 y=f（x）的定义域是2，4，则 y=f（12logx）的定义域是（）6.已知函数3(10)()(5)(10)nnf nf f nn，其中 nN，则 f（8）=（）7.若函数1()log()(011af xaax且）的定义域和值域都是0，1，则 a=（）8.如果二次函