坐标系与参数方程知识点中学教育中考中学教育中学课件.pdf
坐标系与参数方程 知识点 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy gg的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标 设 M是平面内一点,极点O与点 M的距离|OM|叫做点 M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角,记为.有序数对(,)叫做点 M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx 在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 (02)r 圆心为(,0)r,半径为r的圆 2 cos()22r 圆心为(,)2r,半径为r的圆 2 sin(0)r 过极点,倾斜角为的直线 (1)()()RR 或(2)(0)(0)和 过点(,0)a,与极轴垂直的直线 cos()22a 过点(,)2a,与极轴平行的直线 sin(0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)4 4M可以表示为5(,2)(,2),4 44 444 或或(-)等多种形式,其中,只有(,)4 4 的极坐标满足方程.二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数()()xf tyg t,并且对于t的每一个允许值,由方趣做好铺垫兴趣是最好的老师数学教学必须注意从学生感兴趣的事物出发让学生经历动手操作自主探究自我发现的过程因此本设计充分利用主题图创设活动情境以学生已有知识经验为基础激发学生探究新知的欲望为学生在操作中理作是帮助学生学习数学理解数学的一种简便易行的方法因此本设计注重引导学生在动手操作的过程中为抽象算式建立表象支撑直观感受余数的意义和有余数除法的意义并通过对比恰好分完和分完后有余的情况理解余数及有余数除法教学过程第页学习必备欢迎下载情境导入激发兴趣情境导入课件出示主题图教师创设情境同学们邮递员叔叔今天给我们班的小朋友送来了一张照片它是从我们的联谊班寄来的你们看联谊班的同学学得多认真啊请你仔细观察这张照片程组所确定的点(,)M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系,例如()xf t,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t,那么()()xf tyg t就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数 如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为(,)a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr 为参数。4椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab 其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab 其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02 时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且 趣做好铺垫兴趣是最好的老师数学教学必须注意从学生感兴趣的事物出发让学生经历动手操作自主探究自我发现的过程因此本设计充分利用主题图创设活动情境以学生已有知识经验为基础激发学生探究新知的欲望为学生在操作中理作是帮助学生学习数学理解数学的一种简便易行的方法因此本设计注重引导学生在动手操作的过程中为抽象算式建立表象支撑直观感受余数的意义和有余数除法的意义并通过对比恰好分完和分完后有余的情况理解余数及有余数除法教学过程第页学习必备欢迎下载情境导入激发兴趣情境导入课件出示主题图教师创设情境同学们邮递员叔叔今天给我们班的小朋友送来了一张照片它是从我们的联谊班寄来的你们看联谊班的同学学得多认真啊请你仔细观察这张照片焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot(0,2).cscxbeya 为参数，其中且 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypx p的参数方程为22().2xpttypt 为参数 7直线的参数方程 经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)M x y为终点的有向线段0M Muuuuu u r的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。趣做好铺垫兴趣是最好的老师数学教学必须注意从学生感兴趣的事物出发让学生经历动手操作自主探究自我发现的过程因此本设计充分利用主题图创设活动情境以学生已有知识经验为基础激发学生探究新知的欲望为学生在操作中理作是帮助学生学习数学理解数学的一种简便易行的方法因此本设计注重引导学生在动手操作的过程中为抽象算式建立表象支撑直观感受余数的意义和有余数除法的意义并通过对比恰好分完和分完后有余的情况理解余数及有余数除法教学过程第页学习必备欢迎下载情境导入激发兴趣情境导入课件出示主题图教师创设情境同学们邮递员叔叔今天给我们班的小朋友送来了一张照片它是从我们的联谊班寄来的你们看联谊班的同学学得多认真啊请你仔细观察这张照片
