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六年奥数知识讲解：余数问题 余数、同余与周期 一、同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。已知三个整数 a、b、m,如果m|a-b，就称a、b对于模 m 同余，记作 a三b(mod m)，读作 a同余于 b模 m 二、同余的性质：自身性：a三a(mod m)；对称性：若 a三b(mod m)，贝U b三a(mod m)；传递性：若 a三b(mod m),b三c(mod m)，贝U a三 c(m od m)；和差性：若 a三b(mod m),c三d(mod m),贝U a+c三b+d(m od m),a-c三b-d(mod m)；相乘性：若 a=b(mod m),c三d(mod m)，贝U aXc 三 b x d(mod m)；乘方性：若 a三b(mod m)，贝U an三bn(mod m)；同倍性:若a三b(mod m),整数c,则ax c三b x c(mod mX c);三、关于乘方的预备知识：若 A=ax b，贝U MA=MX b=(Ms)b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=MXMd 四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数 M n表示M的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或(mod 3);一个自然数M X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表 示M的各个偶数数位上数字的和，则 叶Y-X或 叶11-(X-Y)(m 数如果就称对于模同余记作三读作同余于模二同余的性质自身性三对称性若三贝三传递性若三三贝三和差性若三三贝三三三相乘性若三贝乘方性若三贝三同倍性若三整数则三三关于乘方的预备知识若贝若则四被除后的余数特征一个则叶或叶五费尔马小定理如果是质数素数是自然数且不能被整除贝三od 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整 除，贝U ap-1 三 1(mod p)。数如果就称对于模同余记作三读作同余于模二同余的性质自身性三对称性若三贝三传递性若三三贝三和差性若三三贝三三三相乘性若三贝乘方性若三贝三同倍性若三整数则三三关于乘方的预备知识若贝若则四被除后的余数特征一个则叶或叶五费尔马小定理如果是质数素数是自然数且不能被整除贝三