一元二次函数知识点汇总中学教育中考中学教育中考.pdf

姓名 二次函数总复习（知识点）1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数2axy 的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy 的图像与a的符号关系：当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.抛物线cbxaxy2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.定点是抛物线的最值点 最大值(0a时)或最小值(0a时)，坐标为(h,k)。6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 7.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：0b时，对称轴为y轴；0ab时,对称轴在y轴左侧；0ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2.其中左右移动可得到，再上下移动可得到。口诀“左加右减，上加下减”图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x(y轴)(0,0)kaxy2 0 x(y轴)(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.10.抛物线与 Y轴的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程 对称轴是轴函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点为其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数用配方法可化成的形式其中抛物线的三要素开口方向对称轴行于轴或重合的直线记作特别地轴记作直线定点是抛物线的最值点最大值时或最小值时坐标为求抛物线的顶点对称轴的方法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为的形式得到顶点为对称轴是运用抛物线的对称轴对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点再用公式法或对称性进行验证才能做到万无一失抛物线中的作用决定开口方向及开口大小这与中的完全一样和同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线故时对02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.11二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程cbxax20就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0时的情况(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根 12.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 附：将二次函数的一般式cbxaxy2化为顶点式 khxay2的方法：(可用配方法和公式法)典型例题精讲：某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10元出售，每天可销售 100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少 10 件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？解：设涨价 x 元，即售出价为（10+x）元，利润为 y 元，依题意得：y=（10+x-8）（100-10 x）=（2+x）（100-10 x）=-10 x+80 x+200 对称轴是轴函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点为其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数用配方法可化成的形式其中抛物线的三要素开口方向对称轴行于轴或重合的直线记作特别地轴记作直线定点是抛物线的最值点最大值时或最小值时坐标为求抛物线的顶点对称轴的方法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为的形式得到顶点为对称轴是运用抛物线的对称轴对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点再用公式法或对称性进行验证才能做到万无一失抛物线中的作用决定开口方向及开口大小这与中的完全一样和同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线故时对y=-10（x-4）+360 当涨价 x 为 4 元，即售价为 10+4=14 元时每天所赚的利润最大，最大利润为 360 元 对称轴是轴函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时抛物线开口向下顶点为其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数用配方法可化成的形式其中抛物线的三要素开口方向对称轴行于轴或重合的直线记作特别地轴记作直线定点是抛物线的最值点最大值时或最小值时坐标为求抛物线的顶点对称轴的方法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为的形式得到顶点为对称轴是运用抛物线的对称轴对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点再用公式法或对称性进行验证才能做到万无一失抛物线中的作用决定开口方向及开口大小这与中的完全一样和同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线故时对