高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算含答案中学教育高考中学教育高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例 1】如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F 分别是 AB、CD 的中点.(1)求证：EF 是 AB和 CD 的公垂线；(2)求 AB 和 CD 间的距离；【规范解答】(1)证明：连结 AF，BF，由已知可得 AF=BF.又因为 AE=BE，所以 FEAB 交 AB 于 E.同理 EFDC 交 DC 于点 F.所以 EF 是 AB和 CD 的公垂线.(2)在 RtBEF 中，BF=a23,BE=a21,所以 EF2=BF2-BE2=a212，即 EF=a22.由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段，所以 AB 和 CD 间的距离为a22.【例 2】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求异面直线 AB、CD 之间的距离.设 AB 中点为 E，连 CE、ED.AC=BC,AE=EB.CDAB.同理 DEAB.AB平面 CED.设 CD 的中点为 F,连 EF，则 ABEF.同理可证 CDEF.EF 是异面直线 AB、CD 的距离.CE=23,CF=FD=21,EFC=90,EF=22212322.AB、CD 的距离是22.【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例 1 题图 例 2 题图 学习必备 欢迎下载（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例 3】如图(1),正四面体 ABCD 的棱长为 1，求：A到平面 BCD 的距离；过 A作 AO平面 BCD 于 O，连 BO 并延长与 CD 相交于 E，连 AE.AB=AC=AD,OB=OC=OD.O 是BCD 的外心.又 BDBCCD，O 是BCD 的中心，BO=32BE=332332.又 AB1，且AOB=90,AO=36331222 BOAB.A到平面 BCD 的距离是36.【例4】在梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=2,AB=a,AD=3a 且 sinADC=55,又 PA平面 ABCD,PA=a,求：(1)二面角 PCDA的大小;(2)点 A到平面 PBC 的距离.【规范解答】(1)作 AFDC 于 F,连结 PF,AP平面 ABCD,AFDC,PFDC,PFA就是二面角 PCDA的平面角.在ADF 中,AFD=90,ADF=arcsin55,AD=3a,AF=53a,在 RtPAF 中 tanPFA=3535aaAFPA,PFA=arc tan35.(2)PA平面 ABCD,PABC,又 BCAB,BC平面 PAB,作 AHPB,则 BCAH,AH平面 PBC,PAAB,PA=AB=a,PB=2a,AH=a22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其中 AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求 BF 的长；（）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.解法 1：（）过 E 作 EH/BC 交 CC1于 H，则 CH=BE=1，EH/AD，且 EH=AD.AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1.DF=C1H=2.6222DFBDBF（）延长 C1E 与 CB 交于 G，连 AG，则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG.过 C 作 CMAG，垂足为 M，连 C1M，由三垂线定理可知 AGC1M.由于 AG面 C1MC，且 AG面 AEC1F，所以平面 AEC1F面 C1MC.在 RtC1CM 中，作 CQMC1，垂足为 Q，则 CQ 的长即为 C 到面 AEC1F 的距离.113341712317123,17121743cos3cos3,.17,1,2211221MCCCCMCQGABMCGCMMCGGABBGABAGBGCGBGCCEB知由从而可得由 解法 2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设 F（0，0，z）.AEC1F 为平行四边形，例 3 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 B A C D 1A 1B1CD1C1B1A1EDCBA.62,62|).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC（II）设1n为面 AEC1F 的法向量，)1,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然 02020140,0,011yxyxAFnAEn得由.41,1,022,014yxxy即 111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为 a，则11114 33cos.33|CCnCCn C 到平面 AEC1F 的距离为.11334333343cos|1CCd 【例6】正三棱柱111CBAABC 的底面边长为 8，对角线101CB，D 是 AC 的中点。（1）求点1B到直线 AC 的距离.（2）求直线1AB到平面BDC1的距离 解：（1）连结 BD，DB1，由三垂线定理可得：ACDB1，所以DB1就是1B点到直线 AC 的距离。在BDBRt1中,6810222211BCCBBB34BD 2122121BBBDDB（2）因为 AC 与平面 BD1C交于的中点，设EBCCB11，则1AB/DE，所以1AB/平面BDC1，所以1AB到平面 BD1C的距离等于点到平面 BD1C 的距离，等于点到平面BD1C的距离，也就等于三棱 锥1BDCC 的高，BDCCBDCCVV11，131311CCShSBDCBDC，131312h，即直线1AB到平面 BD1C的距离是131312【解后归纳】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例 4】如图，在长方体 AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为4.解析：法 1（1）AE面 AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点 E 到面 ACD1的距离为 h，在ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故.2121,232152211BCAESSACECAD而 11111131,1,.33223DAECAECAD CVSDDShhh 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 HD1C1B1A1EDCBAD1C1B1A1EDCBAoxzy（3）过 D 作 DHCE 于 H，连 D1H、DE，则 D1HCE，DHD1为二面角 D1ECD 的平面角.设 AE=x，则 BE=2x 112,1.4,1,Rt D DHDHDDHRt ADEDExRt DHEEHx在中在中在中.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt 法2：以D 为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0),C(0，2，0).（1）.,0)1,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面 ACD1的法向量为),(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为.313212|1nnEDh（3）设平面 D1EC 的法向量),(cban，),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE 由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn 令 b=1,c=2,a=2x，).2,1,2(xn依题意.225)2(222|4cos211xDDnDDn 321x（不合，舍去），322x.AE=32时，二面角 D1ECD 的大小为4.对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.把边长为 a 的正ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，则点 A到 BC 的距离是 ()A.a B.a26 C.a33 D.a415 2.ABC 中，AB=9，AC=15，BAC=120.ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A、B、C 的距离都是 14，那么点 P 到平面的距离为 ()A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面外一点 P 向引两条斜线 PA,PB.A,B 为斜足,它们与所成角的差是 45,它们在内的射影长分别是 2cm 和 12cm,则 P 到的距离是 ()A.4cm B.3cm 或 4cm C.6cm D.4cm 或 6cm 4.空间四点 A、B、C、D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 ()希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 A.a21 B.a22 C.a23 D.a 5.在四面体 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直.M 是面 ABC 内一点，且点 M 到三个面 PAB、PBC、PCA 的距离分别为 2、3、6，则点 M 到顶点 P 的距离是 ()A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，将锐角为 60，边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60的二面角，则 AC 与 BD 的距离是 ()A.a43 B.a43 C.a23 D.a46 7.如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD，PD=AD1，设点 C 到平面 PAB的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则有 ()A.1d1d2 B.d1d21 C.d11d2 D.d2d11 8.如图所示，在平面的同侧有三点 A、B、C，ABC 的重心为 G.如果 A、B、C、G 到平面的距离分别为 a、b、c、d，那么 a+b+c 等于 ()A.2d B.3d C.4d D.以上都不对 9.如图，菱形 ABCD 边长为 a，A=60，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点且2DGCGFBCFHDAHEBAE，沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起，使 A、C 重合，这时点 A 到平面 EFGH 的距离是 ()A.2a B.a22 C.a23 D.a615 二、思维激活 10.二面角-MN-等于 60，平面内一点 A到平面的距离 AB 的长为 4，则点 B 到的距离为 .11.在 60的二面角l中，A,ACl 于 C，B，BDl 于 D，又 AC=BD=a,CD=2a，则 A、B 两点间距离为 .12.设平面外两点 A 和 B 到平面的距离分别为 4cm 和 1cm，AB 与平面所成的角是 60，则线段 AB的长是 .13.在直角坐标系中,已知 A(3,2),B(-3,-2)沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为的二面角 AOyB 后,AOB=90，则 cos的值是 .三、能力提高 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 14.在边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC=60，PC平面 ABCD，E 是 PA的中点，求点 E 到平 面 PBC 的距离 15.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB 为直角，侧面 AB1与侧面 AC1所成的二面角为 60，M 为 AA1上的点.A1MC1=30，BMC1=90，AB=a.(1)求 BM 与侧面 AC1所成角的正切值.(2)求顶点 A到面 BMC1的距离.16.已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直.ABC=90,BC=2,AC=23,且 AA1A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱 A1A与底面 ABC 所成角的大小;（2）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小;（3）求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB 与 BC 的中点，EF 与 BD 交于 H.(1)求二面角 B1EFB 的大小.(2)试在棱 B1B 上找一点 M，使 D1M面 EFB1，并证明你的结论.(3)求点 D1到面 EFB1的距离.第 15 题图 第 17 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 空间的距离习题解答 1.D 折后 BC=2a,点 A到 BC 的距离为415422aaa.2.A BC=21120cos159215922.ABC 外接圆半径 R=37120sin221,点 P 到的距离为.7)37(1422 3.D 设 PO垂足为 O,|PO|=xcm,OAP=,OBP=,那么-=45,tan=2x,tan=12x,tan(-)=tan 45 展开左边并整理得:x2-10 x+24=0,解得 x1=6,x2=4.4.B P、Q 的最短距离即为异面直线 AB 与 CD 间的距离，当 P 为 AB 的中点，Q 为 CD 的中点时符合题意.5.A PM=7632222.6.C 取 BD 的中点 O 连 AO、OC，作 OEAC 于 E，则 OE 为所求，AO=CO=AC=23a.7.D 点 C 到平面 PAB 的距离 d1=22,点 B 到平面 PAC 的距离 d2=33211221，12233,d2d11 8.B|MM|=2cb，又3122cbacbd.a+b+c=3d.9.A 设 BD 的中点为 O，EO=6760cos2322322aaaaa，点 A到平面 EFGH 的距离为23679422aaa.10.2 作 ACMN 于 C，连 BC，则 BCMN，ACB=60，又 MN平面 ABC，平面 ABC平面，作 BDAC 于 D，则 BD，希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 BD 的长即为所求，得 BD=2 11.a3 AB=aaaaaa360cos2)2(222.12.23cm 或3310cm 当点 A、B 在同侧时，AB=3260sin3;当点 A、B 在异侧时，AB=331060sin5 13.94 如图,AB=26)32(22222 OBOA BCy 轴,BCy 轴,BCB为二面角 AOyB 的平面角.BCB=,在BCB中,BC=BC=3,BB=104262,由余弦定理易知 cos=94.14.如图，将点 E 到平面 PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距.连 AC、BD，设 AC、BD 交于 O，则 EO平面 PBC，OE 上任一点到平面 PBC 的距离相等 平面 PBC平面 ABCD，过 O 作 OG平面 PBC，则 GBC，又ACB=60，AC=BC=AB=a，OC=2a,OG=OC sin60=43a.点评：若直接过 E 作平面 PBC 的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果 15.(1)三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，BAC 为二面角 B1AA1C1的平面角，BAC=60.又ACB 为直角，BC侧面 AC1.连 MC，则 MC 是 MB 在侧面 AC1上的射影.BMC 为 BM 与侧面 AC1所成的角.且CMC1=90，A1MC1=30，所以AMC=60.设 BC=m，则 AC=m33，MC=32m，所以 tanBMC=23.即 BM 与侧面 AC1所成的角的正切值为23.(2)过 A作 ANMC，垂足为 N，则 AN面 MBC1.面 MBC面 MBC1，且过 N 作 NHMB，垂足为 H，则 NH 是 N 到面 MBC1的距离，也就是 A到面 MBC1的距离.AB=a,AC=2a,且ACN=30，AN=4a且AMN=60，MN=a123.第 14 题图解 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 NH=MNsinBMC=a123a5239(本题还可用等积法).16.(1)如图所示,作 A1DAC,垂足为 D,由面 A1ACC1面 ABC,得 A1D面 ABC A1AD 为 A1A与面 ABC 所成的角 AA1A1C,AA1=A1C A1AD=45为所求.(2)作 DEAB 垂足为 E,连 A1E,则由 A1D面 ABC,得 A1EAB,A1ED 是面 A1ABB1与面 ABC 所成二面角的平面角.由已知 ABBC 得 DEBC,又 D 是 AC 的中点,BC=2,AC=23 DE=1,AD=A1D=3,tanA1ED=DEDA1=3,故A1ED=60为所求.()连结 A1B,根据定义,点 C 到面 A1ABB1的距离,即为三棱锥 CA1AB的高 h.由 VCA1AB=VA1-ABC得31SAA1Bh=31SABCA1D 即313223122h,h=3为所求.17.(1)如图连结 B1D1，AC，B1H，底面为正方形 ABCD，对角线 ACBD.又E、F 分别为 AB、BC 的中点 EFAC.EFBD.又棱 B1B底面 ABCD，EF面 ABCD，EFB1B.又 B1BBD=B,BB1面 BB1D1D，BD面 BB1D1D.EF面 BB1D1D.而 B1面 BB1D1D，BH面 BB1D1D，EFB1H，EFBH.B1HB 为二面角 B1EFB 的平面角.在 RtB1BH 中，B1B=a,BH=a42，tanB1HB=221BHBB.B1HB=arctan22.二面角 B1EFB 的大小为 arctan22.(2)在棱 B1B 上取中点 M，连 D1M，则 D1M面 EFB1.连结 C1M.EF面 BB1D1D，D1M面 BB1D1D.D1MEF.又D1C1面 B1BCC1.C1M 为 D1M 在面 B1BCC1内的射影.在正方形 B1BCC1中，M、F 分别为 B1B 和 BC 的中点，由平面几何知识 B1FC1M.于是，由三垂线定理可知 B1D1，而 B1F面 EFB1，EF面 EFB1，EFB1F=F，D1M面 EFB1.(3)设 D1M 与面 EFB1交于 N 点，则 D1N 为点 D 到面 EFB1的距离，B1面 EFB1,D1M面 EFB1，第 17 题图解 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 B1ND1M.在 RtMB1D1中，由射影定理 D1B12=D1ND1M，而 D1B1=2a,D1=aMBDB2321211，D1N=.341211aMDBD 即点 D1到面 EFB1的距离为a34.高中数学立体几何 空间距离的计算（学生版）1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例 1】如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F 分别是 AB、CD 的中点.(1)求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；(2)求 AB 和 CD 间的距离；【例2】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求异面直线 AB、CD 之间的距离.例 1 题图 例 2 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例7】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求：A到平面 BCD 的距离；【例8】在梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=2,AB=a,AD=3a 且 sinADC=55,又 PA平面 ABCD,PA=a,求：(1)二面角 PCDA的大小;(2)点 A到平面 PBC 的距离.【例9】如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其中 AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求 BF 的长；（）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.例 3 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 B A C D 1A 1B1CD1C1B1A1EDCBA【例10】正三棱柱111CBAABC 的底面边长为 8，对角线101CB，D 是 AC 的中点。（1）求点1B到直线 AC 的距离.（2）求直线1AB到平面BDC1的距离 【解后归纳】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法 【例11】如图，在长方体 AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为4.对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.把边长为 a 的正ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，则点 A到 BC 的距离是 ()A.a B.a26 C.a33 D.a415 2.ABC 中，AB=9，AC=15，BAC=120.ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A、B、C 的距离都是 14，那么点 P 到平面的距离为 ()A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面外一点 P 向引两条斜线 PA,PB.A,B 为斜足,它们与所成角的差是 45,它们在内的射影长分别是 2cm 和 12cm,则 P 到的距离是 ()A.4cm B.3cm 或 4cm C.6cm D.4cm 或 6cm 4.空间四点 A、B、C、D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 ()A.a21 B.a22 C.a23 D.a 5.在四面体 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直.M 是面 ABC 内一点，且点 M 到三个面 PAB、PBC、PCA 的距离分别为 2、3、6，则点 M 到顶点 P 的距离是 ()A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，将锐角为 60，边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60的二面角，则 AC 与 BD 的距离是 ()A.a43 B.a43 C.a23 D.a46 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 7.如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD，PD=AD1，设点 C 到平面 PAB的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则有 ()A.1d1d2 B.d1d21 C.d11d2 D.d2d11 8.如图所示，在平面的同侧有三点 A、B、C，ABC 的重心为 G.如果 A、B、C、G 到平面的距离分别为 a、b、c、d，那么 a+b+c 等于 ()A.2d B.3d C.4d D.以上都不对 9.如图，菱形 ABCD 边长为 a，A=60，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点且2DGCGFBCFHDAHEBAE，沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起，使 A、C 重合，这时点 A 到平面 EFGH 的距离是 ()A.2a B.a22 C.a23 D.a615 二、思维激活 10.二面角-MN-等于 60，平面内一点 A到平面的距离 AB 的长为 4，则点 B 到的距离为 .11.在 60的二面角l中，A,ACl 于 C，B，BDl 于 D，又 AC=BD=a,CD=2a，则 A、B 两点间距离为 .12.设平面外两点 A 和 B 到平面的距离分别为 4cm 和 1cm，AB 与平面所成的角是 60，则线段 AB的长是 .13.在直角坐标系中,已知 A(3,2),B(-3,-2)沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为的二面角 AOyB 后,AOB=90，则 cos的值是 .三、能力提高 14.在边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC=60，PC平面 ABCD，E 是 PA的中点，求点 E 到平 面 PBC 的距离 15.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB 为直角，侧面 AB1与侧面 AC1所成的二面角为 60，M 为 AA1上的点.A1MC1=30，BMC1=90，AB=a.(1)求 BM 与侧面 AC1所成角的正切值.(2)求顶点 A到面 BMC1的距离.16.已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直.ABC=90,BC=2,AC=23,且 AA1 第 8 题图 第 9 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能学习必备 欢迎下载 A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱 A1A与底面 ABC 所成角的大小;（2）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小;（3）求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB 与 BC 的中点，EF 与 BD 交于 H.(1)求二面角 B1EFB 的大小.(2)试在棱 B1B 上找一点 M，使 D1M面 EFB1，并证明你的结论.(3)求点 D1到面 EFB1的距离.第 17 题图 希望你喜欢写给儿子的话语最新篇你的进步真快没想到你这么聪明相信你还能说得更好你是一个聪明的孩子如果你能再守纪律些老师会更喜欢你真希望那一天早到来你真了不起竟能想出如此独特的方法很有新意大家用掌声鼓励他哎一定是有了与其他同学不一样的看法勇敢站起来你很勇敢第一个举起手来说错不要紧关键是敢于发表个人见解老师真高兴你能勇敢举手并站起来回答问题大胆说出你的想法吧你的想法真不错向你学习这个问题提出得真好谁愿意帮助个聪明的孩子要是遇到问题能再认真思考一下那可就太棒了你提出的数学问题可真多注意观察周围的事物你可真细心啊你的声音真好听你能大声读一遍吗希望下节课你是第一个回答问题的人你分析问题这么透彻老师真希望每课都能