七天课堂初中数学经典例题解析中学教育初中教育中学教育初中教育.pdf
学习必备 欢迎下载 初中数学经典例题解析 【例】如图 10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证：BEFCEG（2）当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？解析过程及每步分值 1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG 1 分 图 10 MBDCEFGxA学习必备 欢迎下载 所以,BGCEGBFE 所以BEFCEG 3 分（2）BEFCEG与的周长之和为定值 4 分 理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH 因此，BEFCEG与的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6 分 理由二：由AB5，AM4，可知 在 RtBEF与 RtGCE中，有：4343,5555EFBEBFBEGEECGCCE，所以，BEF的周长是125BE，ECG的周长是125CE 又BECE10，因此BEFCEG与的周长之和是 24 6 分（3）设BEx，则43,(10)55EFxGCx 所以211 43622(10)522 55255yEF DGxxxx 8 分 配方得：2655121()2566yx 所以，当556x 时，y有最大值 9 分 最大值为1216 10 分 AMxHGFEDCB线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例】如图 二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点 A B C且 OA 1 OB OC 3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 M N在yax2bxc的图像上(点 N在点 M的右边)且 MNx轴 求以 MN为直径且与x轴相切的圆的半径 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值 （1）依题意(10)(3 0)(03)ABC，分别代入2yaxbxc 1 分 解方程组得所求解析式为223yxx 4 分（2）2223(1)4yxxx 5 分 顶点坐标(14)，对称轴1x 7 分（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1)rr，8 分 把N点代入223yxx得1172r 9 分 同理可得另一种情形1172r 圆的半径为1172或1172 10 分 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例 3】已知两个关于x的二次函数1y与当xk时，217y；且二次函数2y的图象的对称轴是直222112()2(0)612yya xkkyyxx，线1x （1）求k的值；（2）求函数12yy，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y的图象与2y的图象是否有交点？请说明理由.线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值（1）由22112()2612ya xkyyxx，得22222121()612()2610()yyyyxxa xkxxa xk 又因为当xk时，217y，即261017kk，解得11k，或27k （舍去），故k的值为1 （2）由1k，得2222610(1)(1)(26)10yxxa xa xaxa，所以函数2y的图象的对称轴为262(1)axa，于是，有2612(1)aa，解得1a ，所以2212212411yxxyxx ，（3）由21(1)2yx，得函数1y的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1 2)，；由22224112(1)9yxxx，得函数2y的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)，；故在同一直角坐标系内，函数1y的图象与2y的图象没有交点 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例 4】如图,抛物线24yxx与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P是直线 l 上一动点.（1）求点 A的坐标;（2）以点 A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 P的坐标;（3）设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当46 268 2S 时,求 x 的取值范围.线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值 解：（1）4)2(422xxxy A(-2,-4)（2）四边形 ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)四边形 ABP3O为直角梯形时，P1(5854，)四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(51256，)（3）由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x 当点 P在第二象限时，x0,过点 A、P分别作 x 轴的垂线，垂足为 A、P 则四边形 POA A的面积 44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO AA B的面积42421BAAS)0(84xxSSSBAAAAPO 286264S，286264SS 即2868426484xx 21242223Sx x 的取值范围是21242223x 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例 4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值 解：（1）设1y=kx,由图所示，函数1y=kx的图像过（1，2），所以 2=1 k，2k 故利润1y关于投资量x的函数关系式是1y=x2；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=2ax，由图 12-所示，函数2y=2ax的图像过（2，2），所以222a，21a 故利润2y关于投资量x的函数关系式是221xy；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（80 x），则投入种植树木（x8）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得 z=)8(2x+221x=162212 xx=14)2(212x 当2x时，z的最小值是 14；因为80 x，所以622x 所以36)2(2x 所以18)2(212x 所以32141814)2(212x，即32z，此时8x 当8x时，z的最大值是 32.线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例 5】如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以 A点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB向右侧放大，B点的对应点为 C（1）求 C点坐标及直线 BC的解析式;（2）一抛物线经过 B、C两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB距离为3 2的点 P 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值 解:（1）过 C点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知：ABOA CD，49AOBOADCD 由已知(4,0)A，(0,4)B可知：4,4AOBO 9ADCDC点坐标为(5,9)直线 BC的解析是为：409450yx 化简得：4yx （2）设抛物线解析式为2(0)yaxbxc a，由题意得：24925540cabcbac，解得：111144abc 222125454abc 解得抛物线解析式为2144yxx或22144255yxx 又22144255yxx的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去 满足条件的抛物线解析式为244yxx（准确画出函数244yxx图象）线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载（3）将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点 P，设 P到 直线 AB的距离为 h，故 P点应在与直线 AB平行，且相距3 2的上下两条平行直线1l和2l上 由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC的距离也为3 2 如图，设1l与 y 轴交于 E点，过 E作 EFBC于 F点，在 RtBEF中3 2EFh，45EBFABO，6BE 可以求得直线1l与 y 轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线2l与 y 轴交点坐标为(0,2)两直线解析式1:10lyx；2:2lyx 根据题意列出方程组：24410yxxyx ；2442yxxyx 解得：11616xy；2219xy；3320 xy；4431xy 满足条件的点 P有四个，它们分别是1(6,16)P，2(1,9)P，3(2,0)P，4(3,1)P.线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载【例 6】如图，抛物线21:23Lyxx 交x轴于 A、B两点，交y轴于 M点.抛物线1L向右平移 2 个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于 C、D两点.（1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点 N，使以 A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P是抛物线1L上的一个动点（P不与点 A、B重合），那么点 P关于原点的对称点 Q是否在抛物线2L上，请说明理由.线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与学习必备 欢迎下载 解析过程及每步分值 线垂足为与的延长线相交于点连结求证当点在线段上运动时和的周长之间有什么关系并说明你的理由设的面积为请你求出和之间的函数关系式并求出当为何值时有最大值最大值是多少图解析过程及每步分值因为四边形是平行四边形形所以因此与的周长之和等于由可得所以分理由二由可知在与中有所以的周长是的周长是又因此与的周长之和是分分设则所以配方得所以当时有最大值分最大值为分学习必备欢迎下载例如图二次函数与坐标轴交于点且求此二次函数欢迎下载解析过程及每步分值分别代入依题意分解方程组得所求解析式为分分顶点坐标对称轴分设圆半径为当在轴下方时点坐标为分分把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或分学习必备欢迎下载例已知两个关于的二次函数与
