福建省三明市第一中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题含答案.pdf
2023-2024 学年度上学期高二年级数学月考（一）试题卷学年度上学期高二年级数学月考（一）试题卷第卷（选择题）一、单选题：本大题共 8 小题，每小题第卷（选择题）一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1.已知点?u?，?u?，则直线 AB 的倾斜角是()A.60B.30C.120D.1502.已知点 Au?和点 Bu5?2?到直线 l 的距离相等，且 l 过点u?，则直线 l 的方程为()A.?或?B.?或?C.?D.?3若直线 l1：ax+3y+10 与直线 l2：2x+（a+1）y+10 互相平行，则 a 的值是（）A3B2C3 或 2D3 或24圆221:1Cxy与圆2222:340Cxymm内切，则实数m的值为（）A4B5C6D75.设 x,yR，向量a?=(x,1,1)，b?=(1,y,1)，c?=(2,4,2)，且a?b?，b?/c?，则|a?+b?|=()A.22B.10C.3D.46已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长等于 a，则的值为（）Aa2B2a2C3a2Da27已知实数 x,y 满足 3x 4y 6=0，则?2 2 2?的最小值为()A.2B.?5C.25D.?58.已知圆M:x2+y2 2x 2y 2=0，直线l:2x+y+2=0，P 为 l 上的动点，过点P 作圆 M 的切线 PA，PB，且切点为 A，B，当?th?最小时，直线 AB 的方程为()A.2x y 1=0B.2x+y 1=0C.2x y+1=0D.2x+y+1=0二、多选题：本大题共二、多选题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分福建省三明市第一中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题9已知直线l：10mxy，(2,1)A，(0,1)B，则下列结论错误的是（）A直线l恒过定点0,1B当1m 时，直线l的倾斜角为34C当0m 时，直线l的斜率不存在D当1m 时，直线l与直线AB平行10.已知圆 A：x2+y2 2y 3=0，则下列说法正确的是A.直线?与圆 A 相切B.圆 A 截 y 轴所得的弦长为 4C.点 Bu?在圆 A 外D.圆 A 上的点到直线 3x 4y+19=0 的最小距离为 311.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，F 在棱C1D1上，下列判断正确的是()A.若B?F/平面A?BE，则 F 为C?D?的中点B.平面 ADC?B?平面A?BEC.异面直线A?B 与 CE 所成角的余弦值为?D.若 AB?，则VA1 B1BE=?12.过原点的直线 l 与圆 M：x2+y2+2x 2y 16=0 交于 A，B 两点，且 l 不经过点 M，则A.弦 AB 长的最小值为 8B.MAB 面积的最大值为 42C.圆 M 上一定存在 4 个点到 l 的距离为 22D.A，B 两点处圆的切线的交点位于直线 x y 16=0 上第卷（非选择题）三、填空题：本大题共第卷（非选择题）三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13过点()1,1-且与直线2360 xy 垂直的直线方程为_.14 已知空间向量a?=(2,1,3)、b?=(1,4,2)、c?=(,5,5)共面，则实数?的值为15.若 Au?，Bu?2?，Cu?2?，则ABC 的形状是 _.(选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数(0且 1)的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点 E在棱 AB 上，BE=2AE，动点 P 满足 BP=3PE.若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为；若点 P 在长方体 ABCD A1B1C1D1内部运动，F 为棱C1D1的中点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 M B1CF 的体积的最小值为四、解答题（本大题 6 共小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）四、解答题（本大题 6 共小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分）已知a?u?2?，b?u2?2?.u?求ua?b?ua?2b?;u2?当uka?b?ua?kb?时，求实数 k 的值18.(本小题 12.0 分)已知ABC 的顶点 Au?Cu?，边 BC 的垂直平分线所在直线方程为 x y 5=0u?求边 BC 所在直线方程;u2?求ABC 的面积19.u本小题?2.分?如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于 1，BAA1=CAA1=60(1)设AA1?=a?，AB?=b?，AC?=c?，用向量a?，b?，c?表示BC1?，并求出 BC1的长度；(2)求异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值20.u本小题 12 分?已知圆心为 C 的圆经过三个点O(0,0),A(2,4),B(1,1)u?求圆 C 的方程；u2?若直线 l 的斜率为?，在 y 轴上的截距为 1，且与圆 C 相交于 P、Q 两点，求OPQ的面积21 u本小题 12 分?正三棱柱111ABCABC-中，12,BCCCD为BC的中点，点E在1AA上.(1)证明：BC平面1A AD；(2)若二面角11ADEC大小为30，求以11A E D C,为顶点的四面体体积.22.u本小题 12 分?如图，圆 M：x 22 y2?，点 P?t 为直线 l：x?上一动点，过点 P 引圆 M的两条切线，切点分别为 A，Bu?若 t?，求切线所在直线方程；(2)若两条切线 PA，PB 与 y 轴分别交于 S、T 两点，求 ST 的最小值2023-2024学年度上学期高二年级数学月考（一）答题卡2023-2024学年度上学期高二年级数学月考（一）答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记准考证号0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9客观题(18为单选题;912为多选题)客观题(18为单选题;912为多选题)1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.、解答题解答题17.18.19.20.21.22.2023-2024 学年度上学期高二年级数学月考（一）答案学年度上学期高二年级数学月考（一）答案选择题填空题13、0523 yx14、415、锐角三角形16、23、?解答题解答题17、【答案】解：(1)已知a?=(3,2,1)，b?=(2,1,2)，则a?2=14,b?2=9,a?b?=6，.2所以(a?+b?)(a?2b?)=a?2 a?b?2b?2=14 6 2 9=10；.5（2）因为(ka+b)(a kb)，所以(ka?+b?)(a?kb?)=ka?2+1 k2a?b?kb?2=14k+6 1 k2 9k=0，解 k=?或?.1018.【答案】解：(1)边 BC 的垂直平分线所在直线 x y 5=0 的斜率为 1，.2直线 BC 的斜率为 1，又点 C(3,4)，直线 BC 的方程为 y+4=x 3，即 x+y+1=0；.4(2)设点 C(3,4)关于直线 x y 5=0 的对称点 B(m,n)，则?t?=1?t?5=0，即m+n+1=0m n 3=0,.6解得m=1n=2，即 B(1,2)，.8所以BC=3 12+4+22=22，.9点 A(1,1)到直线 BC 的距离为?t?t?=?，.10所以ABC 的面积为?22?=3.1219.【答案】解：【答案】解：(1)由题意得，BC1?=BB1?+B1C1?=BB1?+B1A1?+A1C1?=AA1?AB?+AC?=a?+c?b?，.3因为底面边长和侧棱长都等于 1，且BAA1=CAA1=60，a?b?=a?c?=b?c?=?，123456789101112BAACCBADACDBCABDABDBC1?=a?+c?b?2=a?2+b?2+c?2+2a?c?2a?b?2b?c?=2；.6(2)因为AB1?=a?+b?，所以AB1?=a?+b?2=a?2+b?2+2a?b?=3，AB1?BC1?=a?+b?a?+c?b?=a?2+a?c?a?b?+a?b?+b?c?b?2=1，.9设异面直线AB1与BC1所成的角为，.10cos=?=?=?.1220.【答案】解：(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，.1则F=04+16 2D+4E+F=01+1+D+E+F=0,解得 D=2，E=4，F=0圆 C 的方程为x2+y2+2x 4y=0；.4(2)圆x2+y2+2x 4y=0 的圆心坐标为 C(1,2)，半径为5.5直线 l 的方程为 y=?x 1，即 4x+3y+3=0.6圆心到直线 l 的距离d1=?t?t?t?=1，.8|PQ|=2(5)2 1=4.9原点 O 到直线 l 的距离d2=?t?t?t?=?，.10OPQ 的面积 S=?4?=?.1221【答案】（1）正三棱柱111ABCABC-，则1AA 平面ABC，又BC平面ABC，1BCAA，.2又D为BC的中点，则ADBC，AD、1AA 平面1A AD，AD1A AA，BC平面1A AD.4（2）由题意，ABC为正三角形，D为BC的中点，ADBC，如图建立空间坐标系，.5由（1）易知平面1AED法向量11,0,0n u r，.6设,AEh则0,3,Eh，0,0,0D，11,0,2C，则10,3,1,0,2DEhDC，.7设平面1DEC的法向量为2,nx y zu u r，则2213020nDEyhznDCxz ，取3z，则22 3,3nh ，.10由题意122122 33cos302()15n nnnh ，解得1h 或1h （舍去），131322AEDS，点1C到平面1AED距离为 1，.1222.【答案】解：(1)由题意得，切线的斜率存在，设切线 y=k x+1+1，即 kx y+k+1=0，.1所以圆心 M 到切线的距离d=?t?t?=1，.2解得 k=0 或?.3所以切线所在直线方程为 y=1 或 3x+4y 1=0.4(2)由题知，切线的斜率存在，设切线 y=k x+1+t，即 kx y+k+t=0.5设圆心 M 到切线的距离为 d，所以d=?t?t?=1，化简得 8k2+6tk+t2 1=0.6则kPA+kPB=?t，kPAkPB=?.7在切线 y=k(x+1)+t中，令 x=0，解得 y=k+t，所以|ST|=|(kPA+t)(kPB+t)|=|kPA kPB|，.9即|ST|=?t?，所以|ST|min=?，此时 t=0.故 ST 的最小值为?.12
