高中数学排列组合二项定理中学教育中学中学教育中学课件.pdf

学习必备 欢迎下载 高中数学-排列组合二项定理 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.(1).加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1十 m2十十 mn种不同的方法(2).乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取一本，有 6 种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从 5 本书中任取一本，有5 种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6 十 5=11 答：从书架任取一本书，有 11 种不同的取法（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有 6 种方法；第二步取一本语文书，有 5 种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有 30 种不同的方法 例 2(1)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字 0，l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从 5 个数字中任选一个数字，共有 5 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有 5 种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有 5 种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125 答：可以组成 125 个三位数 2.可以有重复元素的排列.从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 mm m=mn.例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列.1.对排列定义的理解.定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.相同排列.学习必备 欢迎下载 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.排列数.从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号mnA表示.排列数公式：),()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm 注意：!)!1(!nnnn 规定 0!=1 111mnmnmnmmmnmnmAACAAA 11mnmnnAA 规定10nnnCC 2.含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,.an其中限重复数为 n1、n2nk，且 n=n1+n2+nk,则 S 的排列个数等于!.!21knnnnn.例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(n又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3n.三、组合.1.组合：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数公式：)!(!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn 两个公式：;mnnmnCC mnmnmnCCC11 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1mn111mnCCC一类是不含红球的选法有mnC）根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以有 C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11.排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多学习必备 欢迎下载 几个常用组合数公式 nnnnnnCCC2210 11111121153142011112knknknknmnmmnmmmmmmnnnnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC 常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC.vi.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1(其中nx的系数，左边为 22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2 四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法.排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有mmmnmnAA11个.其中11mnmnA是一个“整体排列”，而mmA则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为2nA2211AAn.有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有2211AAnn.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112nnnAA.注：区别在于是确定的座位，有22A种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mmnmnmnAA1（插做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多学习必备 欢迎下载 空法），当 n m+1m,即 m21n时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有nnA种，)(nmm个元素的全排列有mmA种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）n=n！/m！；解法二：（比例分配法）mmnnAA/.平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有kknnnnknknACCC)1(.例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CCCP）注意：分组与插空综合.例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmmmnmnmnAAA/1，当 n m+1 m,即 m21n时有意义.隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,xxxx显然124321xxxx，故（4321,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),(4321yyyy，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C.注 意：若 为 非 负 数 解 的x个 数，即 用naaa,.,21中ia等 于1ix，有AaaaAxxxxnn1.11.21321，进而转化为求 a 的正整数解的个数为1nnAC.定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，x1x2x3x4做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多学习必备 欢迎下载 并且都排在某 r 个指定位置则有rkrnrrAA.例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11mnA；不在某一位置上：11mnmnAA或11111mnmmnAAA（一类是不取出特殊元素 a，有mnA1，一类是取特殊元素 a，有从 m-1个位置取一个位置，然后再从 n-1个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题.i.从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合），规定某 r 个元素都包含在内。先 C 后 A 策略，排列kkrkrnrrACC；组合rkrnrrCC.ii.从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列kkkrnAC；组合krnC.iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列kkskrnsrACC；组合skrnsrCC.II.排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rrAA/（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以kkA.例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为1575/224448210ACCC.若分成六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/AACCCCCC 非均匀编号分组:n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmAA 例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210ACCC种.若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210ACCC种 做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多学习必备 欢迎下载 均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmrrAAA/.例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC 非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1mnCA 21mm-nCkm)m.m(m-n1-k21C 例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为25205538210CCC若从 10 人中选出 6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为126003729110CCC.五、二项式定理.1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数：依次为组合数;,210nnrnnnnCCCCC 每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I.当 n 是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；II.当 n 是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大.系数和：1314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC 附：一般来说babyaxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当11ba或时，一般采用解不等式组11111(,kkkkkkkkkkTAAAAAAAAA为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.如何来求ncba)(展开式中含rqpcba的系数呢？其中,Nrqp且nrqp把做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多学习必备 欢迎下载 nncbacba)()(视为二项式，先找出含有rC的项rrnrnCbaC)(，另一方面在rnba)(中含有qb的项为qpqrnqqrnqrnbaCbaC，故在ncba)(中含rqpcba的项为rqpqrnrncbaCC.其系数为rrqpnpnqrnrnCCCpqrnqrnqrnrnrnCC!)!(!)!()!(!.2.近似计算的处理方法.当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式naan1)1(，因为这时展开式的后面部分nnnnnaCaCaC3322很小，可以忽略不计。类似地，有naan1)1(但使用这两个公式时应注意 a 的条件，以及对计算精确度的要求.做一件事完成它可以有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有十十十种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法书下层放有本不同的语文书从中任取一本有多少种不同的取法从中任取数学书与语文书各一本有多少的取法解从书架上任取一本书有两类办法第一类办法是从上层取数学书可以从本书中任取一本有种方法第二类办法是从下层取语文从书架上任取数学书与语文书各一本可以分成两个步骤完成第一步取一本数学书有种方法第二步取一本语文书有种方法根据乘法原理得到不同的取法的种数是答从书架上取数学书与语文书各一本有种不同的方法例由数字可以组成多