高中数学必修平面向量知识点总结中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

高中数学必修 4 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用cba,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuu r几何表示法 ABuuu r，a；坐标表示法),(yxyjxia 向量的大小即向量的模（长度），记作|ABuuu r|即向量的大小，记作a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a0a0 由于0r的方向是任意的，且规定0r平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与 0 的区别）单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量0a为单位向量0a1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作ab由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx 2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,ABa BCbuuu ruuu rrr，则a+br=ABBCuuu ruuu r=ACuuu r（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rL，但这时必须“首尾相连”3 向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba求两个向量差的运算，叫做向量的减法 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（）aa；（）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a 6 平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 例 1 给出下列命题：若|ar|br|，则ar=br；若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDCuuu ruuu r是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ar=br，br=cr，则ar=cr，ar=br的充要条件是|ar|=|br|且arbrarbrbrcrarcrABDCuuu ruuu r|ABDCuuu ruuu r/ABDCuuu ruuu r/ABDCuuu ruuu r|ABDCuuu ruuu rABDCuuu ruuu rarbrarbrbrcrbrcrarcrarcrarbrarbrarbrarbrarbrarbrbr0rABBCCDuuu ruuu ruuu rDBACBDuuu ruuu ruuu rOAOCOBCOuuu ruuu ruuu ruuu r()ABBCCDACCDADuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r()0DBBDACACAC uuu ruuu ruuu rruuu ruuu r()()()0OBOAOCCOABOCCOABAB uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rruuu rarbrcrarbrdrarbrcrdrcrdrcrdrarbrarbrarbr0rarbr1010kkk面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i jr r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量ar可表示成axiyjrrr，由于ar与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量ar的坐标，记作ar=(x,y)，其中 x 叫作ar在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1)若 1122,ax ybxyrr，则1212,abxxyy rr(2)若2211,yxByxA，则2121,ABxx yyuuu r(3)若ar=(x,y)，则ar=(x,y)(4)若 1122,ax ybxyrr，则1221/0abx yx yrr(5)若 1122,ax ybxyrr，则1212a bx xyy rr 若abrr，则02121yyxx 3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr abba)()(cbacba ABBCACuuu ruuu ruuu r 向 量 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr)(baba ABBA uuu ruuu r 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向的 减 法 OBOAABuuu ruuu ruuu r 向 量 的 乘 法 a是一个向量,满足:0时,a与a同向;0时,a与a异向;=0 时,a=0),(yxa aa)()(aaa)(baba)(abab 向 量 的 数 量 积 ba是一个数 0a或0b时,ba=0 0a且0b时,bababa,cos|1 21 2a b xxyyrr abba)()()(bababa cbcacba)(22|aa,22|yxa|baba 例 1 已知向量(1,2),(,1),2abxuab rrrrr，2vabrrr，且/uvrr，求实数x的值 解：因为(1,2),(,1),2abxuab rrrrr，2vabrrr 所以(1,2)2(,1)(21,4)uxxr，2(1,2)(,1)(2,3)vxxr 又因为/uvrr 所以3(21)4(2)0 xx，即105x 解得12x 例 2 已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向解：设(,)P x y，则(,),(4,)OPx yAPxyuuu ruuu r 因为P是AC与OB的交点 所以P在直线AC上，也在直线OB上 即得/,/OPOB APACuuu ruuu r uuu ruuu r 由点)6,2(),4,4(),0,4(CBA得，(2,6),(4,4)ACOBuuu ruuu r 得方程组6(4)20440 xyxy 解之得33xy 故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)三平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为，则arbr=arbrcos 叫做ar与br的数量积（或内积）规定00arr 2 向量的投影：brcos=|a barrrR，称为向量br在ar方向上的投影投影的绝对值称为射影 3 数量积的几何意义：arbr等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积 4 向量的模与平方的关系：22|a aaar rrr 5 乘法公式成立：2222abababab rrrrrrrr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr 6 平面向量数量积的运算律：交换律成立：a bb a rrrr 对实数的结合律成立：aba babR rrrrrr 分配律成立：abca cb c rrrrr rr cab rrr 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向特别注意：（1）结合律不成立：ab ca bc rrrrrr；（2）消去律不成立a ba c rrr r不能得到bc rr（3）a brr=0不能得到ar=0r或br=0r 7 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr=1212x xy y 8 向量的夹角：已知两个非零向量ar与br，作OAuuu r=ar,OBuuu r=br,则 AOB=（001800）叫做向量ar与br的夹角 cos=cos,aba babrrrrrr=222221212121yxyxyyxx 当且仅当两个非零向量ar与br同方向时，=00，当且仅当ar与br反方向时=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9 垂直：如果ar与br的夹角为 900则称ar与br垂直，记作arbr 10 两个非零向量垂直的充要条件：ababO02121 yyxx平面向量数量积的性质 例 1 判断下列各命题正确与否：（1）00ar；（2）00arr；（3）若0,aa ba c rrrr r，则bcrr；若a ba c rrr r，则bcrr当且仅当0a rr时成立；（5）()()a bcab c rrrrrr对任意,a b crrr向量都成立；（6）对任意向量ar，有22aarr 解：错；对；错；错；错；对 例 2 已知两单位向量ar与br的夹角为0120，若2,3cab dbar rrrrr，试求cr与用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向dr的夹角 解：由题意，1abrr，且ar与br的夹角为0120，所以，01cos1202a ba b rrrr，2cc c rr rQ(2)(2)abab rrrr22447aa bbrrrr，7cr，同理可得13dr 而c d rr2217(2)(3)7322abbaa bba rrrrrrrr，设为cr与dr的夹角，则1829117137217cos 1829117arccos 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 例 3 已知 4,3a r，1,2b r，,mab rrr2nabrrr，按下列条件求实数的值 （1）mnrr；（2）/mnrr；(3)mnrr 解：4,32,mab rrr 27,8nab rrr（1）mnrr082374952；（2）/mnrr07238421；(3)mnrr 088458723422222 51122 点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向 （七）向量中一些常用的结论：1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.|aba bab rrr rrr，特别地，当 a br r、同向或有 0r|a bab r rrr|ab a b rrr r；当 a br r、反向或有0r|a b ab r rrr|aba b rrr r；当 a br r、不共线|aba bab rrr rrr(这些和实数比较类似).3.在ABC中，若 112233,A x yB x yC x y，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG 。1()3PGPAPBPCuuu ruuu ruuu ruuu rG为ABC的 重 心，特 别 地0PAPBPCP uuu ruuu ruuu rr为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAPuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABACuuu ruuu ruuu ruuu r所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向 用来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如几何表示法坐标表示法向量的大小即向量的模长度记作即向量的大小记作向量不能比较大小但向量的模可以比较大小零向量长度为的向量记为其方向是任意的与任意向量平行零条件注意与的区别单位向量模为个单位长度的向量向量为单位向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移即自由个要素起点可以任意选取现在必须分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合记为大小相等方向相同向