2021届全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)附答案解析.pdf

2021届全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.己知集合a=y|y=2一 l,x e R,j?=x e Z|x2+2x-3 0,则命题p的否定是()A.p：Vx G /?,%2 0 B.p：而()/?,%o 0C.飞；v%e/?,%2 0 D.-p：3x0 e/?,%o 0,b 0)的右顶点为A,以A 为圆心，b 为半径作圆4,圆4 与双曲线C 的一条渐近线交于M,N两点，若N M M 4 =3 0。，则C 的离心率为()A.3 B.V 3 C.2 D.V 29 .设点。是边长为2的正三角形A B C 内部一点，且满足万？+历+元=祗 则A O B C 的面积为()A.逅 B.3 C.1 D.；3 2 310.直线2斜率为：，倾斜角为a,将/绕它与x轴的交点逆时针方向旋转a后所得直线的斜率为k,则将k 值执行如图所示程序后，输出S 值为()C.在3D.V 3x y 111.设变量无，y满 足 +,则目标函数z =2x+4 y最大值为（）y 2A.13 B.12 C.11 D.1012.抛物线y2=位 的焦点为凡M为抛物线上的动点，又已知点N(-1,0),则器的取值范围是()A.1,2A/2 B.V 2,V 3 C.V 2,2 D.1,V 2二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13 .已知/(%)是偶函数，且/(%)在 0,+8)上是增函数，如果f(x+a)2”的概率；(II)根据有关规定，成绩小于16秒为达标.如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？附：K2=_n(a d_bc)2_.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P g K)0.0500.0100.001K3.8416.62510.8281 9 .如图，斯 是 半 圆 的 直 径，。是半圆螃上除痛、越外的一个动点，酶1.平面感窗,国证明：平 面 油 癖 1,平 面 四 麴；回试探究当毁在什么位置时三棱锥烈-邮忠;的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值.2 0 .设&,尸 2 分别是椭圆E：4=M a b 0)的左、右焦点，过点&的直线交椭圆E 于4 8 两点，|4 R|=3 田笃|,且 网 =4,A B F 2 的周长为1 6 求 1 伤1；(2)若直线4 B 的斜率为1,求椭圆E 的方程.2 1 .已知函数/(x)=yjpx-p-lnx(p 0).(I)若函数/(x)在定义域内为增函数，求实数P 的取值范围；(H)当n e N*时，试判断 匕 立 詈 与 21n(n +1)的大小关系，并证明你的结论；(H I)当nN 2且n e N*时，证明：S i l2AZ nn-22.极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点。处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同.已知曲线的极坐标方程为p =2c o s O +2s讥0,直线，的 参 数 方 程 为 为 参 数).(I )将直线，的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(n)设曲线c上到直线I的距离为d的点的个数为/(d),求/(d)的解析式.23.(1)求不等式氏一3|-2比-1|2-1的解集；（口）已知 a,b e/?*,a+b=l,求证：（a +仙+2日参考答案及解析1.答案：B解 析:解：.集合4=y|y=2”-E R=y|y 2 一1,B=xe Zx2+2x-3 0=x G Z|-3 x 1=-2,-1,0),A ry B -1,0.故选：B.先分别求出集合4 与B,由此能求出An B.本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.答案：B解析：本题考查复数的模长和两条直线之间的位置关系，属于基础题.由点尸(2,4)向直线收+丫 +5=0引垂线，垂足为Q(4,3),这两条直线的斜率之积等于-1,根据两个斜率之积求出a 的值，写出复数的表示形式，求出模长.解：由点P(2,4)向直线ax+y+5=0引垂线，垂足为Q(4,3),这两条直线的斜率之积等于-1,又直线PQ的斜率为笈=-4 2 z1 2 x(-Q)=Ta=-2,z=-2+43z=V22+42=2底故选B.3.答案：D解析：本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.由全称量词命题的否定是存在量词命题可得结果.解：由全称量词命题的否定是存在量词命题可得，命题p：Vxe/?,/之 0的否定是：-p.3x0 G R,x2 a3,成等比数列，利用等比数列的性质得到。逆4=a 2a 3；但当的。4=a 2a 3时，举反例说明a2,a3,a 不一定成等比数列，进而得到“。逆4=。2a 3”是aa i-a2,a3,a 4成等比数列”必要非充分条件.解：先证必要性：若的,a2,a3,a 4成等比数列，*,=。2。3；1,Q 4=2,=1，。3=2，)两/J 2Q 1Q 4=。2a 3，但1,-1,-2,2不成等比数列，则 54=a 2a 3”是“%，。2,。3,。4,成等比数列”必要非充分条件.故选B.5.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，着重考查函数奇偶性与单调性的定义及判断，属于基础题.由于f(x)为R 上的奇函数，故/(0)=0,从而可求得a,再结合其单调性即可得到答案.解：.(X)=a-岛 是 R 上的奇函数，./(0)=a -1 =0,3a =-；2又y =2、+l 为R 上的增函数，二y =为R 上的减函数，y =-生；为R 上的增函数，/(%)=|-2 为R 上的增函数.故选A.6.答案：A解析：解：,点E、/分别在A B、A D ,而力B、4 D 是平面A B D 内的直线,瓦PDE C 平面A B D,H C平面ABD,可得直线E H u 平面A B D,点F、G 分别在B C、C D 上，而B C、C D 是平面B C D 内的直线,.F 6平面B C D,“e 平面B C D,可得直线F G u 平面B C D,因此，直线E H 与F G 的公共点在平面A B D 与平面B C D 的交线上,平面4B D n 平面B C D =B D,.点P 6直线B D,故选：A.根据题意，可得直线E H、F G 分别是平面4B。、平面B C D 内的直线，因此E H、F G 的交点必定在平面48。和平面B C D 的交线上.而平面4 8 D 交平面B C D 于BD,由此即可得到点P 在直线8 D 上本题给出空间四边形，判断直线E H、F G 的交点与已知直线B D 的位置关系，着重考查了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识，属于基础题.7.答案：B解析：试题分析：设忸蚪=胤幡索|=蒜，则 艳 嬲 卜 誓 在2 L 4 中，由余弦定理得:懊 对=小幅庐-猥魂SEW=谓普媪.-确,II耍y考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义；余弦定理；基本不等式。点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的焦半径的性质，解题的关键是正确运用抛物线的定义,合理转化，综合性强。8.答案：C解析：解：双曲线C：盘一，=1(0/0)的右顶点为4(40),以4 为圆心，b 为半径做圆4,圆4 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若NMNA=30。，可得4到渐近线b%+ay=0的距离为：bsin3 0 0 -可得：品=2即 冷可得离心率为：e=；=2.故选：C.利用己知条件，转化求解4到渐近线的距离，推出a,c的关系，然后求解双曲线的离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力.9.答案：A解析：解：依题意，.市+而+元=6，所以。为正三角形ABC的中心，所以三角形OBC的面积为正三角形面积的!.所 以 以 即=枭2 2=今故选：A.依题意，。为正三角形4BC的中心，所以三角形OBC的面积为正三角形面积的最本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，三角形的面积公式，属简单题.10.答 案:A解析：解：.直 线，的斜率是:，倾斜角为a,tana=2 将 绕它与x轴的交点逆时针方向旋转a后所得直线的斜率为k,.执行程序框图，可得时，不满足条件k 0,s=k=l故选：A.由已知利用二倍角的正切函数公式求得旋转后的直线的斜率，执行程序框图，可得k=泄，不满足条件 1解析：解：作出变量x,y满 足 +对应的平面区域如图t y 2由 z =2 x +4 y 得 y=-|x +,平移直线y=-|x +j,由图象可知当直线y=-|x +;经过点4 时,直线y=-：丫 +：的截距最大，此时z 最大，由二二广，解得“沙此时 z =2 x|+4 x j =3 +1 0 =1 3,故选：A.作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.12.答案：D解析：解：设过点N的直线方程为y=k(x+1),代入川=钛可得+(2k2-4)x +k2=0,.由4=(2k2-4)2-4 k 4 =0,可得k =1,此时直线的倾斜角为4 5。.过M作准线的垂线，垂足为4,则|M F|=|M 4|,.|MN|_|MN|MF 一 MA 直线的倾斜角为4 5。或1 3 5。时，鬻 取 得 最大值或，倾斜角为0。时，瞿!取得最小值1，,器 的取值范围是故选：D.设过点N的直线方程为y=k(x+1),代入y2 =4%,过M作准线的垂线，垂足为4,则|M F|=MA,考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0。，即可得出结论.本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键.1 3 .答案：-2,-1 解析：解：是偶函数，f（x+a）/（一 2）可化为/（氏 +a|）f（2）,又y（x）在 o,+8）上是增函数，|x +a|2 在 0,3 上恒成立，即一 2 -a S x S 2 -a 在 0,3 上恒成立，仁3/,此直三棱柱外接球的表面积为S =4TTR2=2 4 7 r.故答案为：247T.由题意画出图形，证明A B L B C,利用补形法可得直三棱柱外接球的球心，求出半径，代入球的表面积公式得答案.本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是中档题.16.答案：2x y-5=0解析：化己知圆为一般式，得到圆心C(l,2),半径r=5,利用垂径定理结合题意，即可求出直线2的方程.本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础.解：圆方程可化为(久1产+(y-2产=25,圆心C(l,2),半径r=5,2-1 1 当直线/被圆C截得的弦长最短时，直线I的方程为y-1=2。-3),B P 2 x-y-5 =0.故答案为：2 x-y-5 =0.17.答案：(1)证明：v Sn+1=4an,*,S冷4(2九 _ (?1 N 2),两式相减得：an+1=4an-4an_x,即0n+T 2an=2(%20n_ 力，n 2,又当n=1 时，有S2=4。1，%=4,a?=12,a2 2ax=4,数 列：册+1-2即 是首项为4,公比为2的等比数列，.出+1-2 即=4 乂2吩1=2+1,两边除以加+1得：景|一 聚=1,又 2,.数列 卷 是首项为2,公差为1的等差数列，|=2+n-l=n+l,斯=(n+1)2n；(2)解：若选：bn=an+1 an=(n+2)-2n+1 (n+1)-2n=(n+3)-2n.Tn=4 X 21+5 x 22+6 X 23+(n+3)-2n,又2=4 x 22+5 x 23+-+(n+2)-2n+(n+3)-2n+1,两式相减得：-=8 +22+23+271-(n+3)2n+1=8+2 1】-2n一)_(n +3).2n+l,12整理得：7；=(n+2)X 2n+1-4.若选：.,an,(n+l)x2n i i bn=log2 =log2-=log2(n+1)-log2n+n,-Tn=(log22-log2l)+(log23-log22)+log2(n+1)-log2n+(1+2+n)=log2(n+1)+2.若选：V=0n+2=4-71+1一4即 _ 4(2_J),an+ian an+ian an an+i =4(2 _ 2+*_ 2+.+2 )=4(；a)=4而 彘 石7 =1 _ 痴 晟 布.解析：(1)先由题设推导出：an+1-2an=2(an-2an_t),n 2,然后求得。2-2的，即可证明结论，并得到：an+1-2 an=4 x 2w-1=2M+1,进 而 有 氟 一 翁=1,从而说明数列 蔚是首项为2,公差为1的等差数列，求得其通项公式，即可求得即；(2)若选：先由(1)求得%,再利用错位相减法求得其前n项和.若选：先由(1)求得勾，再利用裂项相消法及分组求和法求得其前n项和.若选：先由(1)求得匕，再利用裂项相消法求得其前n项和.本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算、错位相减法、分组求和法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题.18.答案：6；30；8；20；32；18解析：解：(I)成绩在 13,14)的人数有：50 x 0.04=2人，设为a,b.成绩在 17,18 的人数有：50 x0.06=3人,设为A,B,C.m,n C 13,14)时有就一种情况.m,n 17,18 时有48,AC,BC三种情况.m,n分别在 13,14)和 17,18 时有aB,aC,bA,bB,bC六种情况.基本事件总数为1 0,事件由6个基本事件组成.所以P(|m-n|2)=4=|(1 3 分).(6分)ABCaa Aa Ba Cbb Ab Bb C(H)依据题意得相关的2 x 2列列联表联表如下:.(9分)性别是否达标男女合计达标a=246=630不达标c=8d=1220合计3218n=5050 x(24x12-6x8)232x18x30 x20K2=x 8.333 6.625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”故可以根据男女生性别划分达标的标准（12分）（/）成绩在13,14）的人数有2人，设为a,b.成绩在17,18的人数有3人，设为4,B,C：基本事件总数为1 0,事 件“|m-n|2”由6个基本事件组成.根据古典概型公式可求出所求.（口）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，即可求得.本题主要考查了独立性检验的应用、频率分布直方图，以及古典概型的概率问题、用样本的数字特征估计总体的数字特征等有关知识，属于中档题.19.答案：回蠲是直径，所 以 第 1,肆，因 为 侬 1平面 越 破，侬1_鹦，所以噩_|_ 平面承期因 为 侬 目 醒，又 因 为 侬=解，所 以 酬 金 遐，所 以 西 1,平面ACD,因 为 豳 匚 平 面 盘 瞬:，所以平面14豳1,平 面 燃 分团当线为半圆弧中点时三棱锥公矗的体积取得最大值，最大值为一署解析：试题分析：团因为,血鹭是直径，所 以 辐 1,葡 1，因 为 侬，平面 盘 窗，密 工 般,因为出 松=露，所 以.幅，平 面 獭 哀因为侬春搬省，又 因 为 虑=蹈，所以四边形懿统是平行四边形，所 以 筋 君 遮，所 以 骼 1,平面，因为疆国匚平面盘解，所以平面油醒1,平面，辎团依题意，庭缴=金鳏盗铀M l花 恩=4 然一=1,4由团知/点离=%-感瓶=由湍您4需勰着盛密=Z.:落点亡1溜始龈:密医,落 屋 做 初，工微属 密羿普剧优:*=热 液 本 厚=g,等 号 当 且 仅 当 葡=解=为 J S 时成立，所以当线为半圆弧中点时三棱锥烈-，遒田的体积取得最大值，最大值为三(备注：此时，施=历募帚=学，,黑 礴=:成的或激嚣=兽 垂，设三棱锥鲜/四蠹的高i A为诙，则%率盘璃-总网则忘品=-f S：=多一)-M，工 卷考点：线面垂直的判定与性质及椎体体积点评：第一问要证明两面垂直只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一面，即转化为证明线面垂直；第二问首先采用等体积法将所求椎体的体积转化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值20.答案：解：(1)由|力0|=3|&8|,|48|=4,得：|4n|=3,|F 1 B|=1,因为力B F 2的周长为1 6，所以由椭圆定义可得4a =1 6,IA&I+=2a =8,故M F 2I=2a-|2居|=8-3=5,(2)由(1)可设椭圆方程为江+=1,&(c,0),其中c=V 1 6 炉,设直线48的方程为y =%+c,即 =y c,代入椭圆方程得：b2(y-c)2 4-1 6 y2=1 6 b2,整理得：(b2+1 6)y2 2b2cy b4=0,=4b 4c2+4b 4(Z 2+1 6)=1 28b 3_ 2b2c+8同2 _ 2b2c-8同2%=2 s 2+16)y2=2(+1 6)由 HF/=知 力=-3y2，得2b2c+8 b2V2=-3(2b 2c-8b2V 2),又由于c=716 82解得c=2V 2,b2=8所以椭圆的方程为至+些=1.16 8解析：利用|力0|=3|B F/,且|48|=4,求出：|4F 1|=3,|F$|=1,根据 AB F?的周长为1 6,结合椭圆的定义，即可求|4F 2|；(2)若直线4B的斜率为1,设直线4B的方程为丫=x +c,代入椭圆方程，利用|4&|=3|B&|知y i =-3乃，即可求椭圆E的方程.本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.答案：解：(I)p 0,函数/(x)=J p x -P -O x(p 0)定义域为 1,+8).小)=号-亲依题意，2X=p-1在久G(1,+8)恒成立，p 4(：；1)在%G(L+8)恒成立.P N 1,：,P 的取值范围为 1,+8).(II)证明：当兀6 N*时，欲证2 2 1立 尹 2)(n+1)，只 需 证 罕 2 ln(k+l)仇眉(k6N*).由(I)可知：取p=l,则f(x)2 f(l)(x Z 1),而f (1)=0,V%-1(当尢=1时，等号成立).用(守)2代换X,得J(攀)2 _ i ln(?)2(x 0),即粤2ln(x+1)Inx(%0),2ln(fc+1)-lnk(k G N*).在上式中分别取k=l,2,3，n,并将同向不等式相加，得2 心 驾 2(7i+l).当”6N*时，2Zn(n+l).(HI)由(H)可知五二！2 Inx(久=1时，等号成立).而当工？2时：%1 V%1 J当 之 2时，%1 Inx.设g(%)=x 1 Inx,x G(0,2),则g(x)=1-：=g(x)在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，g(x)g(l)=0,即x 1 Inxx G(0,2)时恒成立.故当口 (0,+8)时,%-1 2 Znx(当且仅当x=1时,等号成立).用工代换-1 得：%之ln(l+%)(当且仅当1=0时，等号成立).当kN 2,k e N*时,由(1)得左一1 上 0,二 上 72-.In k fc1当k N 2,N*时，由得k ln(l+k),用工三代换k,得三j ln(l+/；).当kN 2,k N*时，三 ln(l+占).即 )/c -ln(k-l).在上式中分别取k=2,3,4,n,并将同向不等式相加，得 震2+九一仇L故当九 2且九G N*时，2白 l n n-1 4 1 Inlf解析：(I)要使函数/。)在定义域内为增函数，只需(x)N O在定义域恒成立，从而可求出p的值;(11)欲证2 上1”亘 2m(7 1 +1),只需证隼更2ln(k+l)仇k(/c6N*)，分别取k=1,2,3,，n,并将同向不等式相加可得结论；(DI)先 证 言 ln(l+),从 而 可 得/c-ln(k 1),再分别取k=2,3,4,.n,并将同向不等式相加，可得结论.22.答案:解:(I)直线/的参数方程为；:(t为参数)，消去参数,可得普通方程x+y-1=0；曲线的极坐标方程为p =2cos6 4-2sin。,即p2=2pcos9+2Psm6,：,x2 y2-2x-2y=0；(H)x2 4-y2 2x 2y=0,可化为Q -l)2 4-(y l)2=2,圆心C(L1)到直线用勺距离为=乌 圆的半径为近，V2 2圆上的点到直线/距离d的取值范围是o d 2，22,它 d 这 或 d=0 (d)=(2 23,d=当.4,0 d(当解析：(I)将直线，的参数方程消去参数，可得普通方程，将曲线C的极坐标方程，即p2=2pcos0+2 p sin e,即可化为直角坐标方程；(H)圆心C(l,l)到直线I的距离为壬=，圆的半径为遮，圆上的点到直线I距离d的取值范围是0 4V2 2d w 斗，即可求/(d)的解析式.本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.23.答案：(I)解：1 时，+3+2工2 Z 1,，N 2,：-2 4%V 1；1 4 x 4 3 时，-X+3 2x+2 之-1,A%2,A 1%3 时，%3 2x 4-2 -1,A%一1的解集是-2,2.(5分)(II)证明：Q,b E R*,Q+b=l,.a b W (等)2.1 1 1 1(a+/2 +(b+/2=4 +伍2+匕2)+(形+京)=4+(1-2ab)+2 4 +(1-2 x 3 +、)a2b2、(1)2 2当且仅当a=b=机寸不等式取等号.(1 0分)解析：(I)利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可求不等式|x 3|-2|工一1|的解集;(H)利用基本不等式证明ab (审)2 =；,即可证明结论.2 4本题考查不等式的解法、不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题.