2021届高考考前 数学冲刺卷（一）.pdf

（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（一）注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第 I 卷（选择题）一、单项选择题：本 题 共8小题，每 小 题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =卜 叫-2%3 ,5=XGZ|X-1|0,S9=Sl 6,当S“=0时，则=（）A.1 3 B.1 2 C.2 4 D.2 55 .如图所示，边长为2的正 A B C,以B C的中点。为圆心，8 c为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则 福.丽 的取值范围为（）1oBA.2,3 6 B.4,3 6 C.2,4 D.2,56.设E是双曲线一x2 二v2=13。0）的一个焦点，过产作双曲线的一条渐近线的垂线,a b与两条渐近线分别交于P,。两 点.若 再=2匝，则双曲线的离心率为（）A.72 B.0 C.2 D.57.如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形A8C的边AB、B C、C4上，且PQ=2JJ,Q R =2,/P Q R =g 则A8长度的最大值为（）1073876亍8.已知定义在R上的函数/（x）满足x y）=/（x）/（y）,且当无0时，/（x）0,则关于x的不等式/（，加）+2771）/（加2%）+2力（其中0机血）的解集为()A.2C.x 一 x m2B.xx一 m2D.x|x 或x O,|夕|/（5）B.若/（%）=加有两个不相等的实根X I、x2,则 中2 D.若2,=3、x,y均为正数，则2 x 3 y第n卷（非选择题）三、填空题：本 大 题 共4小题，每 小 题5分.21 3 .已知（X-7）的二项展开式中，所有二项式系数的和等于6 4,则该展开式中常数项的x值等于.1 4 .与直线3 x-4 y +5 =0关于y =x+l对 称 的 直 线 的 方 程 为.1 5 .已知甲、乙两人的投篮命中率都为（0 1）,丙的投篮命中率为1-P，如果他们三人每人投篮一次，则 至 少 一 人 命 中 的 概 率 的 最 小 值 为.1 6 .己知抛物线：/=4x的焦点尸，过点尸作直线/交抛物线于A ,B两 点,则1 1-1-=网 网16 9_ _ _ _ _.1的最大值为_ _ _ _ _ _.网4四、解答题：本 大 题 共6个大题，共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知函数/(x)=2 c o s 2 x-2 6 s i n x c o s x-l,xG 0,n .(1)求函数/(x)的递增区间；(2)在/X ABC中，内角8满足/(3)=-2,且B C =4,丽./=8,求A 4B C的周长.18.(12 分)已知 S”是数列 4,的前”项和，a +-3a“+2 a“_ =1 ,q =1,a2-4 .(1)证 明:数 列 m4+1是等比数列；(2)求S“.19.(12分)某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市5所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为10 0 分，考试成绩大于等于9 0分的为优秀.考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了 2 0 0 人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为6 4.假设该市机关、企事业单位工作人员有2 0万人，考试成绩J 服从正态分布N(82,6 4).(1)估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？(2)该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10,l l,L ,9 9),若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5 G,否则获赠手机流量1 G.假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G?参考数据：若则尸(bg0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若(x)有两个极值点光|,，且玉 ，求证：./(%)b 0)过A(-2,0),3(0,1)两点.（1）求椭圆”的离心率：（2）设椭圆M的右顶点为C,点尸在椭圆M上（尸不与椭圆M的顶点重合），直线A 8与直线C P交于点。，直线8尸交x轴于点S,求证：直线S Q过定点.81.【答案】B【解析】因为|x-l|3=2 x 1故选 C.7.【答案】C27r TT【解析】设NRQC=8,则NQRC=0,NPQB=6,3 24尸。普 一（/。,在中，由正弦定理一 耍 一=金-,得 一军一sin/刎 sinC 4吟-。）2.71sin 3QC=si n(-同理3Q=4sin(2+6)，3 3 6AB=BC=QC+BQ=sin(-0)+4 sin(-+&)3 3 645/3.2兀 八 2兀.八、”.兀 z 兀.小-(sin cos 0-cos sin 夕)+4(smcos 6+cos sin 6)3 3 3 6 6=4cose+s in。=6cos6+2sin 0)=-sin(0 +(p),10H 2其中sin8=1,cos6=不，且/为锐角,所以当。=曰一8 时，4 4 =上 答，故选C.8.【答案】A【解析】任取王(),即/(%)一/(%)0,所以函数“X)单调递减.由/(6 2)+2加)/(+2 x)可得 了(6 2)一 2x)/(加2%)-2加)，B|J f (mx1 2xj f(W x-2/n),所以-2 x v“x 2m，即 mx2-(A n2+2卜+2/n v 0,即(/nr-2乂x-z)0,2又因为所以一 加，m此时原不等式解集为，无，故选A.m二、多项选择题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分选对的得2 分，有 选 错 的 得 0 分.9.【答案】BCD【解析】由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的(0.0025+0.01)x20=0.25,故免收停车费的顾客约占总数的25%,故选项A错误，选项B 正确；由频率分布直方图可知，a=0.05-0.015-0.01x2-0.0025=0.0125,则顾客的平均停车时间约为(10 x0.0025+30 x0.01+50 x0.0125+70 x0.015+90 x0.01)x20=58m in,故选项C 正确；停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的(0.015+0.01)x20=0.5,故停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%,故选项D正确，故选BCD.II10.【答案】A CD2 7 t i t 27r 27r【解析】由图可知，A =2,T =4 x(-)=,所以0=3.9 18 3 T2 兀 Z7C 71又由 g()=2可得 3x +=2 E +,keZ,9 9 2得 =-?+2E(Z e Z),且 帆|2 5,所以 0 指，则有/（2）/（5）,A正确;13对于B：若/(力=加 有两个不相等的实根占、马，则 中2/,故B不正确；证明如下：函数无)=2,定义域为(O,+8),则/(耳=匕 学，X X当/(x)0时，0 Xe；当/(x)e,所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，则”x)m a x =：且无 e时，有 x)0,所以若/(x)=机有两个不相等的实根再、马,有不 妨 设 西 X 2，有。尤要证X 1 X 2e 2,只需证x,幺，且 马 幺 e，一 玉 一 X又/(玉)=/(9)，所以只需证/(%)/-令尸(无)=/(x)(0 x e),则有产(x)=/，(x)+/j|e=(ii n x)(e _ _,、x j x I x e)当0 x 0,所以有尸 。，即尸(x)在(0,e)上单调递增，/2 /2 且 尸 二。，所以 E(x)()恒成立，即,P/(x2)e2.对于C：由B可知，/(x)在(O,e)上单调递增，则有/(2)/(e),即 华 小,2 e则有l n 2 2 1,解得x =log,m =I n 2,.I n m=10g3m=_2x-3 y=2 I n mI n 23 1 n/nI n 314由B可知，/(x)在(O,e)上单调递增，则有/(2)/，即0彳-，In 2 In 3所以2x 3 y 0,故D正确，故选AD.第n卷(非选择题)三、填空题：本 大 题 共4小题，每 小 题5分.13.【答案】60【解析】因为所有二项式系数的和等于64,所以2=6 4,所以=6,(2 V所以展开式的通项为=晨(一令6-3 r=0,得r=2,所以该展开式中常数项的值等于C；(2)2=60,故答案为60.14.【答案】4x 3y+2=0【解析】联立3x-4y+5=0y=x+l，解得x=ly=2所以直线3x-4.y+5=0与直线y=x+l的交点为(1,2),在直线3x-4j+5=0上取点(0,-),4设点(。)关 于 直 线 尸x+1的对称点为3向,则.5b 4=-ltz 05b+一I 2 21a=4,b=l,解得所以点(。4关于直线y=N的对称点为由两点式可得与直线3x 4y+5=0关于y=x+1对称的直线的方程为六=三1-415即 4x 3y+2=0,故答案为4x 3y+2=0.2315.【答案】=27【解析】设事件A为“三人每人投篮一次，至少一人命中“，则P（Z）=p（l-p）2,.P（A）=l-p（l-p）2,设/（0）=1_夕（1一2）2，OP1,则 r（p）=-（i-p）2+2p（i-p）=-（3p i）（p i）,当 0 c p；时，/（p）0；当（0,/（）在（，g上单调递减，在 上 单 调 递 增,./(儿=呜)=1 /232723即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为一，2723故答案为 2716.【答案】1,4【解析】由题意知，抛物线2=4x的焦点坐标为（1,0）,设 8（孙 必），AB:x=/ny+l,联立直线与抛物线方程可得力+=，孙+1+吵+l=m（y+%）=4加之+2,xx1 2-4 4 由抛物线的限制可得|AF|=%+1,忸 同=义+1,1 1 _ 1 1 _ 玉+/+2 _ 玉+2故 BF X j+1 x2+1(Xj+l)(x2+1)x1x2 4-Xj+x2+1(*)1 1 1由（*）可 得 府=1一 同,16故1 61M-怛尸句6一1 6I叫-忸目2 =1 6-(8 8画+画+,当且仅当Q9画=忸尸|n 怛川=2时取等号,故、所41 6飞78 8忸 歼=4卷 忸尸的最大值为4.即答案为1,4.四、解答题：本 大 题 共6个大题，共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.【答案】（I）兀5兀3,6；(2)1 2.【解析】(1)/(x)=l+c o s 2 x-5/3s i n 2 x-l=2 s i n f 2 x +j,T T 5 兀 71 9 7 1 71令2航一上4 2 x+-W 2 E +，k e Z,得防t一一Y x k n,keZ,22636因为x e O,兀,令人=1,得一,3 6兀5兀由 留 no,7r=3 6 3 3 66兀5兀7i 5TI所以，当x e ；，二 二 0寸，/（x）单调递增，即/（冷 的递增区间为3 6 3 65兀7 1 5元3 6(2)因为f(8)=2 s i n(2 8 +=2,所以+=-165 7 r 3 7t又因为0 8 _ _ _ _ 2 +2 _ 1 6又 因 为 福 尼=A c o s A =。)=8,所以从+C，2=3 2,2bc联立得。=c =4,17所以ZXABC的周长为12.18.【答案】（1）证明见解析；（2）S“=2+2 一 匚2 4.2【解析】证 明:因 为。田一34+26“=1,所以4 =2（4 -,*）+1,即?：；=2.。“一 an-+1因 为=1，生=4,所以生。1+1=4,故数列 an+i-an+1是首项为4，公比为2的等比数列.（2）解：由 知%+4 +1 =2.因为4 =（。-1）+（4-1 一凡-2）+（。2 _ 6）+4=（2?+2+2）_（-1）+1,所以,=2向 _”2,所以S,=02+23+-+2向）_（1 +2+-+）_2=4（：_：）_（?1）_2，故 5“=2+2 一 七 色 4.219.【答案】（1）3.2万人；（2）32.48（万 G）.【解析】（1）由题意，随机抽取了 200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64,即=82,b=8,所以考试成绩优秀者得分4 2 9 0,即2 +。，又由 P（-cr J /./+a）（1-0.68）=0.16,所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达20 x0.16=3.2万人.（2）设每位抽奖者获赠的手机流量为X G,则X的值为1,2,5,6,10.可得P（X=l）=（l 0.16）xV =熹；P（X=2）=0.16xf-1=1 1；，7 10 1000 UoJ 1000018p(X=5)=(l-0.16)x=-；P(X=6)=0.16xx x2=-)1 0 1000 v 10 10 10000p(X=10)=0.16x16-10000,所以随机变量X的分布列为:X125610P7561000129610000841000288100001610000.756 c 1296 84 z 288 16、所以E(X)=lx-F2X-i-5x-F6X-FIOX-=1.624(G).1000 10000 1000 10000 10000因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为20 x1.624=32.48（万G）.20.【答案】(1)证明见解析；(2)3【解析】(1)直角梯形A8CD中，AD/BC,A B 1A D，AD=5,BC=2AB=4,AC=VAB2+BC=/不+2?=2-75，CD-yj(ADBC)+AB A/5，AD2+CD2=20+5=25=AD2，A CD1AC.又；R4，平面 A 8 a),，CD,又ACnE4=A,.8,平面P4C,又Cu平面PCD,.平面尸ACJ_平面PC。.(2)为 PC 的中点，AM L PC,PA=AC=2y5，以射线AB,AD,AP分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则 4(0,0,0),3(2,0,0),C(2,4,0),尸(0,0,2 6),“(1,2,司，0(0,5,0),19得 病=(1,2网，通=(2,0,0),设平面AMB的法向量为n=(x,y,z),n-AB=0 12x=0则_.，即 r，n-AM=0 x+2y+j5z=0令 y=-布,则 x=0,z=2，=,-7 ,2),由(1)知CD_L平面PAC，则平面ACM的 法 向 量 加=(2,1,0),cos/”D C-n D C 一 6 1/|n|-|D C|375 3所以二面角B-A M-C的余弦值为一.321.【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.2ax2 +3ax+a+1记g(x)=2G?+3ax+a+l,A=cr-8a 当/0,即0 0,即当a 8时，8(幻=0有两个实根石=_3心_ _8 ,3a+yl a 8aX)9-4a、3注意到 g(0)=a+10,g(1)=6a+1 ()且对称轴 x=-j e(-1,0),故玉，x2 e(-l,0),所以当一1九%2时，g(x)0,尸(x)0,/(x)单调递增;当王 龙 龙2时，g(x)0，fM 0,_/(元)单调递减.综上所述，当0aK 8时，/(x)在(一 1,e)单调递增；20当a 8时，/（x）在（_ 3 _一 标 士和（-3“+扬-8 a，+上单调递增,4。4。在-3 a-y1 a2-Sa,-3 a +J-2-吗 上 单 调 递 减.4 a 4。（2）./*）有两个极值点,%，且X 工2，.，为 了*）的极大值点，3由（1）知，一1M一又8皿.=2玉2工+1加加+1）+药+2+西)+2 =1吟 +1)-+2,乙 人 I 1设*(，)=l n”+l)-石 门+2|-l r 0,3.0”）单调递增，（P（t）（P=-2 I n 2 4-,即/(M)+4 y o i-y02 y o -尤o +2即 x =x。-4）-4/为+8 y o -4 丫 +/4%（1-%）1-%又因为点尸在椭圆M上，所以Xo2=4 4y02,所以直线Q S的方程为x=2 2)。(-1)+2 ,If所以直线Q S过定点(2,1).2223