2021年华侨、港澳、台联考高考数学试卷真题+答案解析.pdf

2021年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）设集合 A=x|-l x 4,S=x|2 x 5,贝 ijAU3=（）A.x|-1 x4 B.x-x5C.x2x4D.x|2x 0)的焦点为尸，过尸倾斜角为45。的直线与C交于4,B两点，且|A B|=8,贝 i j p=.14.(5分)函 数/(x)=-4*的定义域是.15.(5分)曲 线 尸2*3-6/-肉+7在点(-2,3)处 的 切 线 方 程 是.16.(5 分)已知函数 f(x)=公？+Zx+csinx-2,且/(-2)=8,则/(2)=.17.(5分)三 棱 锥P-A SC中，R4J_底面A BC,且A4=3,AB=CB=2,AC=2叵,则侧面PBC的面积 是 .2 218.(5分)双曲线-)-=1的左、右焦点分别为耳，鸟，点尸在直线x-y 10=0上，则+的9 16最小值为.三、解答题：本题共4 小题，每小题15分，共 60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.(15分)记小4比?的内角4,B,C 的对边分别为。，万，c.己知”=2几，5=3,sin2(8+C)+V5sin2A=0,求 c 及cos 8.2 0.(1 5分)记 数列 q的前项和为S”.已知 证 明：口+1 是等比数列；(2)求S“.3S“+2+4,且4=4.2 1.(1 5 分)已知函数/(x)=%2-6 x+4/nx+?.(1)求/(x)的单调区间；(2)当X W(1,4W)时，f(x)0 ,求2 的取值范围.2 22 2.(1 5 分)设 椭 圆 G$+与=l(a /?0)与 y轴正半轴的交点为5,右 焦 点 为 尸.已 知 3,尸在a-bQC:x2+y2-2 x-2 y=0.(1)求 G的方程；(2)若直线/过点C,交G于 ，N两点，且 C为线段MN的中点，求|M N|.2021年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设集合 A =x l x 4,8 =x 2 x 5 ,则 4 U8=()A.x|-1 x 4 B.x|-1 x 5 C.x 2 x 4 D.x 2 x 5【解析】v A =x|-l x 4,B =x|2 x 5 ,A L JB =x|-l x 5 ,故选：B.【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2.（5分）z =|j 的共输复数2 =（）【解 析】;B.5 52-i(2-z)2 3 4.J z=-2 +/(2 +z)(2-Z)5 54 3.5 5,/.z=-.故选：A .5 5A.3+35 5D.3 上5 5【点评】本题主要考查共物复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.3.（5 分）函数y=1o g2（l-r）的单调递减区间是（）A.（Y O,0）B.（0,+o o）C.（-1,0）D.（0,1）【解析】设，=1 一 ,则y=l o g2，由yul o g2/为增函数，即函数y=l o g2（l-f）的单调递减区间是函数f =l 一%2,（-1 X 1）,的减区间，又函数f =（-1 X 1）,的减区间为（0,1）,即函数y=l o g2（l-f）的单调递减区间是（0,1）,故选：。.【点评】本题考查了复合函数的单调性，重点考查了对数函数的单调性，属基础题.4.（5 分）等差数列 q 中，若=1，则 “的 前 15项和为（）A.1 B.8 C.15 D.30 解析等差数列 中,：a2-a5+8+%4=（%+4 +%）-Q+4I）=3C&-2%=1,.=1,则 ,的 前 15项和为I ；+/）=5 4-5,故选：C.【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前八项和公式，属于基础题.5.（5 分）已知ta n x =2,则 空 虹 0=（）2sin x-co sx5 3 1A.3 B.-C.-D.-3 5 3【中析】、由k,t a n x =仁2,付汨 8 S x w 0八,2-s-i-n-x-+-c-o-s-x =-2-t-a-n-x-+-l =-2-x-2-+-1 =一5 故.选、生 ：Bo.2sin x-co sx 2ta n x-l 2x 2-1 3【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.6.(5分)已知向量 =(8 s6,sin。),b=(3,-4),则M。的最大值是(）A.7 B.5 C.4 D.1 .4-1T 向量M =(co sa sin。)，b=(3,-4),则4。=3co s6-4sin e =5co s(e +3)，其中 ta n e =.,.5co s(e +。),，5,.,.展6 的最大值是 5.故选：B .【点评】本题考查向量的数量积的求法，辅助角公式的应用，是基础题.7.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=lg(x-1)+lg(x+1)B.y=|sin x +co sx|C.y=x 3 D.y=(x +2)2+(2x-l)2【华 析】对于A,y=/g(x -l)+/g(x +l)的定义域为(l,o),不关于原点对称，故 A不正确；对于5,y=/(x)=|sin x +co sx|的定义域为R ,但/(-x)x/(x),故 3 不正确；对于C,y=/(x)=x 3的定义域为R,y(_x)=_/(x),/(X)为奇函数，故C 不正确；对于。，y=/(x)=(x +2)2+(2x -1)2=5x2+5,满足/(-x)=/(x),故 y=/(x)为偶函数，故。正确.故选：D.【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.8.(5分)已 知 点。在圆(犬+1)2+/=2 上，则 P到直线x+y 5=0 距离的最小值为()A.7 2B.呼C.2夜 D.3 0【评析】(x +1)2+，=2 的圆心C(-1,0)到直线X +y 5=0 的距离等于 =3夜,故圆（x+l）2 +y2=2 上的动点尸到直线x+y-5 =0 的距离的最小值为3 0-应=2&.故选：C.【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求出圆心C(-l,0)到直线x+y-5 =0 的距离是解题的关键.9.(5分)已 知 则 以 下 四 个 数 中 最 大 的 是()A.l o gf c B.l o g?2a C.l o g3Z)3a D.l o g464【锻析】令。=4,b=2,则 l o g”a =l o g,4=2,l o gl z,2a=l o g48 =-=-,l g4 21g2 2l o g3A3a =l o g612=1 +l o g62 1 +l o g67 6=1 +=|,l o g4；,4a =l o g816=l +l o g82=l +1=p故最大的是10gz i a,故选：A .【点评】本题考查对数的运算法则，举实例法的应用，属于中档题.10.(5分)3 位男同学与3 位女同学随机排成一行，其中两端都不是女同学的概率为()【猛析】3 位男同学与3位女同学随机排成一行,排法总数N =4，其中两端都不是女同学的排法种数为A；A：,A2 A4 1则其中两端都不是女同学的概率为2 二一 工二上.故选：C.K 5【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11.（5 分）设a,尸是两个平面，直线/与垂直的一个充分条件是（）A./?且B./_ L且C./u/?且D./_ L且a/I 1 A,当/力且a_ L4时，则/_ 1 _ 0 或/。或/u 0）的焦点为F ,过 F倾斜角为4 5。的直线与C交于A,3两点，且|A 0=8,则 D=2【答析】由抛物线的方程可得焦点尸（0）,由题意可得直线AB的方程为：=尤-g 设 A（x，y）,B（”2），联立，丁=2px 2p,整理可得：x2-3 px+=0 ,可得：x+x2=3 p 9y=x -42由抛物线的性质可得|A B|=X+受+p=3 p+p=4 p=8 ,解得：p=2,故答案为：2.【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.14.(5 分)函 数/(x)=的定义域是【解析】.函数/*)=，2川-4、，2x+1-4.O,A(2V)2-2-2,0,:.02X2,.苍,1,二.函数/(x)=j2+-4 的定义域是(TO,1 ,故答案为：(r o j.【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础题.15.(5分)曲 线、=2。-6彳218%+7在点(-2,3)处 的 切 线 方 程 是 _30力7+6 3 =0 _.【Q析】函数y=2/-6 f-1 8 x +7的导数为y =6?-1 2 x-1 8 ,可得曲线在点(-2,3)处的切线的斜率为6 x 4(24)18=3 0,则曲线 y=2/-6/-18x+7 在点(-2,3)处的切线方程为 y 3=3O(x+2),即为 30 x y+63=0.故答案为：3 0 x-y+63=0.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，体现了数学运算的核心素养，属于基础题.16.(5 分)已知函数/(X)=渥+bx+csinx-2,且/(-2)=8,则/(2)=_-12_.【解析】因为(x)=ax+bx+csinx-2 ,所以 f(-x)+/(x)=-ax3-/?x-csinx-2 +ax3+bx+csinx-2=-4,因为/(一2)=8,所以f(2)=T 2.故答案为：一12.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.17.(5分)三棱锥PA 8 c中，R4_L底面A B C,且A4=3,AB=CB=2,AC=2近,则侧面P8C的面积 是_ 氏 一【解析】如图:P.外，底面 ABC,CBu底面 ABC,;.P A L B C,又 AB=CB=2,4c=2 0,AB2+BC2=AC2,可得 8C_LAB,ABOPA=A,ABu 平面 P43,APu 平面 R4B,.1BCJ平面 PBu 平面 245,：.BC rPB,底面 ABC,PAAB,PB=J y +*=旧,在 RtAPBC 中，BC=2,西 PBc=gxBCxPB=g x 2 x W =5.故答案为：岳.【点评】本题主要考查棱锥的侧面面积的计算，是基础题.v218.（5 分）双曲线=1的左、右焦点分别为耳，F,点 P 在直线x-y-1 0 =0 上，则|P/+|P f；|的9 16最小值为_ 5 而 _.【g折】由双曲线土-上 _ =1的方程可得左右焦点耳（-5,0）,F2（5,0）,设 F（m,）为F,关于直线x-y-1 0 =09 16J o=o的对称点，则 I 2 2,可得加=10,n=-5,连接耳尸与直线x-y-1 0 =0 的交点为Q,则-=-1,m 5PFt+PF2.QFt+QF2=QFl+Q FFlF=7（K）+5）2+（-5）2=5 0 ,故答案为：5瓶.【点评】本题考查双曲线的性质及点关于直线的对称点的坐标的求法及线段和最小值的求法，属于中档题.三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.（15分）记 445（7 的内角）,B,C 的对边分别为 a,6,c.已知 a=2#，b=3,sin“B+C）+及 sin 2A=0,求。及 cos B.【解析】：A+B-C=7i,sin2(B+C)+V2 sin 2 A=0,.sin2 A+22 sin Acos A=0,/sin,/.sin A=-2 V2 cos A,.cosAZC ,:.a c,v 5 2/6,.,.c=3,故c=3,cosB=.【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.20.(15分)记数列 q 的前项和为已知5,用=3S,+2+4,Ka,=4.(1)证明：伍”+1 是等比数列；(2)求 5“.【卷析】(1)证明：已知5,用=35“+2+4,则 S“=3S,i+2(l)+4,由一可得：a+|=3a“+2,(.2),又 q=4,则 S 2=4+/=3x4+6,即 =14,5!|a2=3a,+2,即an+l=3a+2,(n w N 1,则+1=3(q+1),又q+l=5,即 a“+l 是以5 为首项,3 为公比的等比数列；(2)解：由(1)可得：a+1=5 x 3-,即%=5X3T-1,则 S“=5(3+3i+.+3,T)_ =5(1 3)_ =5(31)_“1-3 2【点评】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前项和公式，属基础题.21.(15 分)已知函数/(x)=x2-6x+4/nr+？.(1)求/(x)的单调区间；(2)当时，/(x)0,求机的取值范围.【解析】(1)已知函数 f(x)=x2-6 x+4lnx+m,则 f(x)=2x+-6、+=,xo,X X X令 r(x)0,解得：0 c x 2,令 八%)0,解得：1cx 0,即4/2 8+帆 0,即机8 4加 2,即加的取值范围为：(8-4 及2,+b 0)与 y 轴正半轴的交 点 为 3,右焦点为F.已知3,F 在OC:x2+y2-2 x-2 y =0 .(1)求G 的方程；(2)若直线/过点C,交G 于 M,N 两点，且 C 为线段M N的中点，求|MN|.【评析】(1)由题意知，B(0,h),F(c,0),因为8,尸在0c:x2+y2-2x-2y=0 上，所以？一力=0,/一2。=0,因为。wO,c w O,所以匕=c=2,所以a=J及=2正,故椭圆G的方程为工+匕=1 .8 4(2)0 c:寸+/-2-2丫 =0 可化为(x-l)2+(y-lf=2,所以 C(l,l),设N g,%)，=1不_1_，8-+,8=1因为C为线段M N的中点，所 以 当+9=2,%+为=2,将M,N分别代入椭圆方程，有，两式相减得，直线/的斜率攵=之二&=_4(_+/)=_生=_,所以直线/的方程为丁一1 二 一！。一1),8(y,+y2)8x2 2 2即 y=-g(x-3),联立,1 。、),得3天2-6%一7=0,所 以 用+占=2,=J 1 3-1-=18 4所以 I MN|=J1+(-万)2 ,I Xl X2 1=,/(%+)2 -4%工2 =*考【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握点差法，弦长公式，椭圆的方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.