2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一）解析.pdf

绝密启用前2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(一)注意事项：L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.己知全集U,则下列关系正确的是()B.七A=8C.ACB=0D.答案：D由题意得如图所示的Venn图，即可判断.解：由题意得如图所示的Venn图，可知A=4口5 =0均不成立,成立.故 选:D.思路点睛：针对抽象集合的问题，往往从集合的图示法入手，具有直观性，方便判断集合间的关系.2.若z+上=0 (i为虚数单位)，则z的 模 为()35叵25答案：D根据复数除法的运算法则求解出z,结合复数模长的计算公式求解出|z|.1 +i(l+i)(l+2i)-l+3i 1 3.解.z=-=-=-=-1l-2i(l-2i)(l+2i)5 5 5故选：D.3 .高压1 0 Z V输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数：输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚.其意义为“对于高压1 0 的架空铝线，若输电线路的输距为X Am,电流为 A,导线截面为Z m/,则电压损失百分数。=2%.”据此可知，对于一条长度为1 0 k“，高压为1 0 Z V的输电线路，若当导线截面为5 0加2,电流为3 0 A时的电压损失百分数为U.G%,当导线截面为4（）,加2,电流为3 5 A时的电压损失百分数为5 ，则 会=（）答案：C根据高压输电线路电压损失估算口诀公式，直接代入数据，计算结果.解：本 题 考 查 高 压 输 电 线 路 电 压 损 失 估 算 口 诀 的 应 用，由 题 知，18U2 21 35,故选：C.4 .教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生的发展.为满足新课程的三维目标要求，某校开设A类选修课4门，3类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有（）A.2 4 种B.4 8 种C.3 2 种 D.6 4 种答案：B由题意分两种情况，利用分类加法计数原理即可求解.解：分两种情况：第一种，选 择1门A类选修课和2门8类选修课，有C；C；=2 4种选法;第二种，选择2门A选修课和1门B类选修课，有C：C；=2 4种选法，故共有4 8种选法.故选：B5.己知首项为2的等比数列”“的前项和为S，若生+缘=0，则$2 0 2 0 +$2 0 2 1 =（）A.0B.1C.2D.3答案：C根据已知条件先求解出等比数列的公比，然后根据等比数列的前项和公式求解出$2 0 2 0 +2 0 2 1 的结果.解：设 等 比 数 列 4的 公 比 为 夕（q/0）.因 为q=2,%+4=0，所以2/(1 +/)=0,解得g =_ i.所以邑侬+S2 2 x l-(-l)2 0 2 0 2 x l-(-l)2 0 2 11+1 +1+1=2-故选：C.关键点点睛：解答本题的关键是根据等比数列的通项公式将已知条件改写为首项和公比的形式，由此确定出等比数列公比从而完成前项和的计算.6.在 三 棱 锥P-ABC中，平 面Q 4 3，AP L AB，。是3c的 中 点.若ZA PB =4 5 ,Z A P C=6 0，则直线PO与平面A B C所成角的正弦值为（）A#R G3 2rV io n V is5 5答案：C根据线面角的定义找到直线PD与平面A B C所成角的平面角，法一：应用几何法，根据线面垂直的性质、勾股定理求对应边，在直角三角形中求线面角的正弦值；法二：应用向量法，构建空间直角坐标系，并确定线面角两边所在直线的方向向量坐标，进而求其余弦值，由同角三角函数关系求正弦值.解：在三棱锥尸-ABC中，平面A 4 3,APu面R L B，/.BCL AP,又A P L A B,ABc BC=B,94,平面A8C，即N P D 4即直线PO与平面A B C所成角.法一：设PA=a,由 NAP3=45。，NAPC=6 0 ,得 AB=Q4=a,.ACi，BC=府方应又力是8。的中点，则如乌.在 RtAAB。中，AD=V6 a2又易知Q4_LAT，在RIVR4D中,吟扇豆f wv I2 J 2法二：过点A在平面A 3C内作A X/8 C.易知直线A尸，AB，Ax两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z.不妨设 B4=l，则 4 5 =1,AC=8,6 C =夜，8 0 =等，有 A(0,0,0),*0,0,1),方=(立1,0加 十 日 T则、2.sin（丽丽卜 平.故选：c.关键点点睛：根据定义找到线面角的平面角，几何法：线面垂直的性质、勾股定理求边,在直角三角形中求其正弦值；向量法：构建空间直角坐标系，确定线面角两边的方向向量坐标并求余弦值，写出其正弦值.7.已知A,3是抛物线V=8x上两点，当 线 段 的 中 点 到 轴的距离为3时，的最大值为OA.5B.572C.10D.10正答案：C如 图，画 出 点A,B,M到 准 线 的 距 离，利 用 抛 物 线 的 定 义 可 知I阴I+忸同=IA q+忸q=2|网，求|明的最大值.解：设抛物线V=8x的焦点为产，准线为/,线段A 3的 中 点 为 如 图，分别过点A,B,M作准线/的垂线，垂足分别为C,D,N,连接AF,BF.因为线段4B的中点到轴的距离为3,抛 物 线 丁=也 的 准 线/：x=-2,所以|M N|=5.因为|AB闫AF|+|M|=|A q+忸。|=2|MN|=1 0,当且仅当A,B,E三点共线时取等号，所以M L关键点点睛：本题的关键是理解抛物线的定义，并能应用三点共线解决最值问题.8.在边长为3的正方形AB C D中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AO于E，R两点，点P是）上一点，则 万.加 的取值范围为（）A.|1 3/2,2 B.C.-2,1-D.3 /2,l V 2 J答案：A建立平面直角坐标系，设点尸（c o s 0,s in e）（0（-c o s e,3-s in。）=-c o s 9-（3-c o s e）-s in e（3-s in，）=l-3 s in 9-3 c o s。=i-3&s in（e+P.又oe4二，则生we+色4型，I 4 j 2 4 4 4所以Ws i n（6+:0,0 9 5）的部分图像如图所示，则下列关于函数/（X）的导函数/（力 的说法正确的是（）A.r（x）的最小正周期为与 B.r（x）的图像关于直线=,对 称（TT）7T 4 JTC./的图像关于点,0中心对称 D.7 （X）在 上 单 调 递 减答案：AB D先根据函数图像求解出了（X）的最小正周期，然后求解出的值，再根据/=0结合。的范围求解出9的值，则 尸（x）的可求，然后逐项判断/“（X）的周期、对称轴、对称中心、单调递减区间.解：由函数/（x）=s i n（0 x ）|O,O 9 0）,若求函数g（x）的单调递增区间，则令兀+2%1血+。2兀+2%1,A:eZ；若求函数g（x）的单调递减区间，则令2依 的+。0,b 0,a 2+b2 a/?=i，则下列不等式恒成立的是（）A.-+y 2 B.a+b 2 C.a2+b2 2 D.a3+b3 2a b答案：AD利用基本不等式/+/72 2 2 a，可得W l,又 +:士 义 可 判 断A正确；利用基本a b yjab不等式 ab .（甘）,化简+/一皿=1得（。+4 2 -1=3ab 解得（0 +4 0,b 0,利用基本不等式+/22 力，可得 +1 N 2 ,解1 1 2 2得又一+工2-（当且仅当。=匕=1时，等号成立），而。工1,所以万之2 ,a b lab yjah所以+?2 2,故A正确；a h对 于B,由a 0,b 0,利用基本不等式a b（+），化简+从 一 次=1得4（。+冲2 _1=3二 色;”）-（当且仅当。=6 =1时，等号成立），解得（a+3,4 4,即a+8 W 2,故B错误；2,2对 于C,由。0,b 0,利 用 基 本 不 等 式 幺 土 匕 化 简 +。2必=1得2a2+b2-=a b-+b（当且仅当a =6 =l时，等号成立），解得故2c 错误;对于 D,=(a +h)(a ab+Z?),又cr+b*ab=1，即 a，+/=a +Z?，由B选项知a+/?W 2,所 以/+。3 2，故 D正确；故 选:A D易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1 2.已知函数/(x)=*(e 是自然对数的底数)，g(x)=f 的图像在(0,1 6 上有两个交点，则实数。的值可能是()答 案:A B由函数 x)=*,g(x)=Y 的图像在(0,1 6 上有两个交点,转化为方程(。=今 在(0,1 6 上有两个不等实根，设力(力=平，XG(0,16,利用导数求得函数的单调性，画出函数的图象，结合图象和选项，即可求解.解：由函数/(力=*,g(x)=f 的图像在(0,1 6 上有两个交点可转化为方程e =V 在(0,1 6 上有两个不等的实数根，即方程a r =2 I n x在(0,1 6 上有两个不等实根，即方程9日在(0 6 上有两个不等实根.2 x设 (x)=,，x e(O,1 6 ,则 (耳=?1 ,当0 x0,(力单调递增；当e x 4 1 6 时，/(x)-T L+2k7V,ke Z,3co2k7rJT)T T T T解得+br 69|=5,所以|AD|=|OD|=|c q =5,所以|0同=|。|=|,所以|CE|=|0q_|0E|=,在 RtzAC 中,在 用 八40中,|AC|=7|A+|C=-A C-sin 600-x -a -a .3 3 3 2 2：PF_L底面ABC,.正四面体R4BC的外接球、内切球球心均为。,OP-OA=R，OF=r.OF=P F-O P,且在RtVAFO中有 A/2 +Q F2=0A2W+修 J,I3 J I3 J：.R =-a,r=-a-a=-a,3 3 4 1276.r _12 a_ 1 百3 r-C l4故答案为：3四、解答题1 7.在 ABC中，a,b,。分别是角A,B,C的对边，已知而=(3。一。8)，n=(cosB,-cosC),且记_1 _日.(1)求sin 8的值；(2)若b=2,AABC的 面 积 为 如，求AABC的周长.4答案：(1)巫(2)6+33(1)根据题意，利用向量垂直即两向量数量积等于零，利用正弦定理转化等式，进一步求得cosB=J,利用平方关系求得sin 3=2包，得到结果；3 3(2)利用余弦定理和面积公式得到三角形的边所满足的条件，求得a+c=G +l,进而得到其周长.解：(1)m n,/.m-n=(3a-c)cosB-bcosC=0,由正弦定理可得(3sin A-sin C)cos B-sin BcosC=0,即 3 sin A cos 3-sin C cos B-sin B cos C=3 sin A cos B-sin(B+C)=0.,:sin(B+C)=sin A，:.3sin AcosB-sin A=0.丁 sin A w 0,/.cos B=.3T B e(0,乃),/.sin B=A/1-CO S2 B=.(2)根据余弦定理可知=Q2+C2 2Q CCO S8，9 7 2-,8*.4 a+c etc,即 4 =(Q+C)cic.ABC的 面 积 为 如，4 .一1 cic si.n BO=_ 1-ac x-2-y-/2-=_ y/6,.QC=_3-V-3-,2 2 3 4 4o(Q +c)2=4+qQC=4+2/3=(/3+1)2，a+c=V3+1.故AABC的周长为G +3.该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示,正弦定理，三角形中的恒等变换，利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.1 8.已知正项数列 q 的前项和为S“，E=2,an+i（an+1-2）=an（a+2）.（1）求数列%的通项公式；（2）若“,=人2%,求数列 么 的前项和乙.答案：（1 ）ci 2/7；（1）由题设条件化简得（见+1%2）（4,m+。“）=0,得 到%+,=2,结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，勿=-22=.4 ,利 用“乘公比错位相减法”，即可求解.解：（1）因为在正项数列 ,中，J（。用-2）+2）,可 得 吸 1 一片一2（用+。.）=0,即（%+i一 -2）3+1+%）=（）,又因为4+1+。“0,所以。,用一=2,所以数列 4 是公差为2的等差数列.又4=5=2,所 以=2+2（-1）=2”.（2）由（1）知，bn n-22n=rt-4,所以7；=1X4+2X4?+3X43+4”,所以 47；,=1X42+2 X 43+3 X 44+(-1)-4+-4M,所以一 31=4+42+43+41-4-n-4+l(=-n -4n+I(3)43所以7；(3-1b4向 49+9,错位相减法求解数列的前项和的分法:适 用 条 件：若数列 4 为等差数列，数列也 为等比数列，求 解 数 列 也 的前项和S,.（2）注意事项：在写出S,和 q S”的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出s.-qS.；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；作差后，作差部分应用为-1 的等比数列求和.1 9.随着手机游戏的发展，在给社会带来经济利益的同时，也使许多人深陷其中，从而产生一些负面的影响.A,3两所学校为了解学生每天玩游戏的时间，各自抽取了 1 0 0名学生进行调查，得到的数据如表所示：A 学校B 学校日游戏时间（单 位:m i n）30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数1 01 41 62 01 81 39日游戏时间（单位：m i n）30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数371 02 02 52 01 5（1）以样本估计总体，计算A 学校学生日游戏时间的平均数以及3学校学生日游戏时间的中位数.（2）为了调查家长对孩子玩游戏的态度，学校相关领导随机抽取了 2 0 0 名男性家长和2 0 0 名女性家长进行调查，并将所得结果统计如表所示，判断是否有9 9.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关？认为学生可以适度游戏认为学生不该玩游戏男性家长1 3 66 4女性家长1 6 13 9附：N =3盛标)()其中p g%)0.0250.0100.0050.001k5.0246.6357.87910.828答案：(1)A学校学生日游戏时间的平均数为64.7(m in)；B学校学生日游戏时间的中位数为74(m in)；(2)没有.(1)根据频率分布表，利用平均数公式求解；由中位数的定义求解；(2)根据2x2列联表中的数据，利用K2=-M咋姐 求 得 的 值,(a+b)(c+d)(a+c)(O+d)再与临界值表对照下结论.解：(1)A学校学生日游戏时间的平均数为3.5 x 0.1+45 x 0.14+55 x 0.16+65 x 0.2+75 x0.18+85 x 0.13+95 x 0.09=64.7(m in).5()3 7 10 20B学校学生日游戏时间的中位数为70+-x 10=74(min).25(2)由已知可得2x2列联表：认为学生可以适度游戏认为学生不该玩游戏合计男性家长13664200女性家长16139200合计297103400则 片 二 峥(於6净 一*64)二8/72,Z轴，建立空间直角坐标系8-型，则3（0,0,0）,A0,0,0）,C（0,l,0）,（0,0,2）,呜，g，l），所 以 而小；一1），4=(1,0,-2),4C=(-1,1,0).由(1)知平面P E R的 一 个 法 向 量 为/=(-1,1,0).设平面AE 77的法向量为几二 (x,y,z),则1 1-X 4 即2 2n EF -0,n,EA -0,y-z=Q,x-2z-0,令x =2,得y =0,z =l，则 =(2,0,l).,r U l i n、所以 c o s(,AC)=1 UlUUn -A CjTj IUU A C-27 5 x 7 2所以二面角A 所 一。的正弦值为2 1.已知椭圆C：0+营=1(4 人0)的焦距为2,点6，,|)在椭圆。上.(1)求柳圆。的方程；(2)已知直线/与椭圆。相切于点M，与抛物线丁=一I 6x的准线相交于点N,若点P为平面内一点，且 P M 工P N ,求点尸的坐标.2 2答案：+方=1；(2)(1,0).(1)根据椭圆的方程及性质求得椭圆C的方程；(2)设直线方程并与椭圆联解，求 出M的坐标，以及求出直线与抛物线的准线交点坐标，设点P(S,。，根据加，P N求出点P的坐标.解：本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、抛物线的性质的综合应用.1 9(1)由 题 得+庐=1,a2-b2c2,Q =2,解得。=6,C =l,2 2所以椭圆C的方程为+-=1.4 3(2)根据题意可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为了 =履+加,y=kx-m,联立/产h+T=t消去丁并整理得(3 +4 4 2卜2 +Sknvc+4 m2-1 2 =0.由 A =64 Z 2租2 4(3+4 左 2)(4 加 2 1 2)=0,得=3+4攵 2 ,所以“-4km 4k 3m 3 .(4k 3-T =,%=-7=，即 W ，一3 +4左-m-3 +4左-m I m m因为抛物线丁=-1 6x的准线方程为x=4,所以当 x=4 时，yN=4k+m,所以 N(4,4 A +m).设点P(s/),因为P M，PN ,所 以 两 丽=0，(4 k 3 、所 以-s,-1,(4-s,4 Z +加 一=0 ,(m m J即(s-1)(m s+4 Z 3 m)+4 初2 Z m +3)=0(*),5 1 =0,当 即s=l,1 =0时，方 程()恒成立，/=0,所以点P的坐标为(1,0).椭圆中的基本量满足片=。2,应避免与双曲线中基本量的关系混淆，此条件是隐含条件，也是解题的关键2 2.已知函数/(x)=l n x-xe+以+1.(1)若函数b(x)=/(x)+xe*,判断尸(x)的单调性(用实数。表示);(2)若/(x)W O恒成立，求实数。的取值范围.答案：(1)答案不唯一，具体见解析；(2)(，/.(1)由题知 x)=l n x+t zx+l,求出尸(x),观察尸(力 的特征，以0为分界点，讨论。的取值范围，判断尸(x)的正负，从而可判断函数F(x)的单调性；(2)对已知不等式进行等价转换，并分离参数。得在(0,+。)上恒成立，故构造关于x的新函数g(x)=e、-邛-：，利用导数研究新函数的单调性，结合零点存在性定理，求出新函数的最值，再根据不等式的性质求解解：解(1)由题得 F(x)=l n x+t zx+l,则 F(x)=，+a(x 0).当a 2 0时，F(x)0,此时E(x)是增函数；当”0时，由广(x)=0,W x =0,所以当0 x 0,此时尸(x)单调递增；当x-：时，F(x)0,此时尸(x)单调递减.综上，当a 2 0时，/(x)在(),+。)上单调递增；当a 0时，b(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)若/(x)W 0恒 成 立，即I n x xe+ax+l WO在(0,+纥)上 恒 成 立，则a 0,所以(x)在(0,+8)上是增函数.而 硝)=6 0,/2口 =乌 _1 0在(0,+动 上恒成立,所以/l(x)在(0,+。)上是增函数，所以/=l n 当兀 0,不)时，/z(x)0,则g (x)0,则g (x)0,故g(x)在&,+。)上单调递增，所以g(x L=g(/)=*-学T=LX0 人0 X0 40所以 即 实 数。的取值范围是(一 8.本题考查函数与导数的综合、不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，分类讨 论 思 想，是 难 题.本 题 第 二 问 解 题 的 关 键 在 于 根 据 题 意 分 离 常 数 法 得a e，-皿-2在(),+向上恒成立，进而构造函数g(x)=e1-研究函数的最小值即可.