2021届湖北省高考数学联考试卷(5月份)附答案解析.pdf

2021届湖北省高考数学联考试卷（5月份）一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1 .已知合=0,b,B=（x E|x 23%0,若n 8 H 0,则等于（）A.1 B.2 C.3 D.1或22.已知盛流n礴=球值端则施（滨 整=（）A.0 B.1 C.-1 D.避03 .已知双曲线 0的两条渐近线方程为 0 ,那么此双曲线的虚轴长为（）A.0 B.0 C.0 D.04 .若从4、B、C、。四个字母中任选个字母，再从1,2,3,4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”，则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（）B.J C.-D.18 6 4 35 .当生物死亡后，它机体内原有的碳1 4含量y随时间t（单位：年）的变化规律可用函数y =（部 大致刻画，即大约经过5 7 3 0年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳1 4含量仅为死亡时的20.3%,由此可推断该生物的死亡时间大约为（）（参考数据：l o g 20.203 a 2.3）A.25 00年前 B.1 1 6 00年前 C.1 3 200年前 D.28 200年前6 .如图，在正方体力B C D-&8道1/中，当。与平面4 C D】所成的角为a,2-f1B i。与 B C 所成的角为 0,则c o s（a-/?）=（）X 3C.史2D.在27.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为/（幻，则/（k +1）与f（k）的关系是（）A.f（k+1）=f（k）+k+l B.f（k +1）=/（/c）+k-lC./(f c +1)=/(f c)+kD.f(k+1)=/(f c)+k+28 .已知圆C 的圆心为y =：/的焦点，且与直线4 x +3 y +2=0相切，则圆C 的方程为()A.(x -l)2+y2=|B.x2+(y-I)2=|C.(%1)2+y 2=1D.%2+(y -l)2=1二、多选题(本大题共4小题，共 20.0分)9 .新中国成立以来，我国共进行了7 次人口普查，这7 次人口普查的城乡人口数据如图所示.根据该图数据判断，下列选项中正确的是()万人100 00090 00080 00070 00060 0005000040 00030 00020 00010 0000城镇人口 一 乡 村人口-城镇人口比重63.891953 1964 1982 1990 2000 2010 2020%706050403020100A.乡村人口数均高于城镇人口数B.城镇人口数达到最高峰是第7 次C.城镇人口比重的极差是5 0.6 3%D.和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7 次1 0.己知必 0且：，则下列不等式一定成立的有()A.a 2 D.2a+a 贝 与 x 轴的交点的横坐标X i =x0-(f,(_x0)*0),称X i 是r的一次近似值；过点。1，/(无 力)作曲线y =/(x)的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为小，称小是的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中X n+l=X n (/(与)。0)，称方+1是r的n +1次近似值，这种求方程f(x)=0近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程，=2的近似解，贝 i j()A.若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为I fB.若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为前r/（勺）f（%l）f（*2）f（4 3）J 4 -0（g）f t（X i）f,g）（均）n 丫 =Y f 3 ）I fg）f（%2）|f（4 3）D 4-0 f，M f，M f,（M）p（x3）12.已知一圆锥的高P 0=2,底面圆的半径为4,M为母线P B的中点，过点M截圆锥，如图所示，若四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，则下列四个命题中错误的是（）圆的面积为4兀；椭圆的长轴长为同；双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角的正切值为抛物线中焦点到准线的距离为拶.A.B.C.D.三、单 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13.点P（x,y）在圆C：一富:一 霞逑R =蒯上运动，点4（一2,2）,8（2,2）是平面上两点，则麴 ，丽的最大值-14 .对于三次函数/(%)=Q/+b/+c%+d(a H 0),定义：设，(%)是函数y =f(%)的导数y =(。)的导数，若方程/(x)=0有实数解%,则称点(x&二)为函数丫=/(为 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，请回答问题：,、1 3 1.5 ,x+n y 一、右函数g(X)=T X -T X*+3X+m+-(j ri n ER),J N 2x-le ,1、,2、,3、，4 、,2010.贝 l 1 g (-)+g (-)+g (-)+g (-)+g (-)=,2011*2011*2011,2011*2011-15 .设双曲线捻-，=1 缶 0方0)的右焦点为，右准线，与两条渐近线交于P、Q 两点，如果P Q F 是直角三角形，则双曲线的离心率e=.16 .在一个水平放置的底面半径为百c m 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R e m 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R e m,则/?=c m.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7 .2 0,已知数列%满 足,a i=l,a2=2,an+i=n6N*.(1 5 分)(1)令 垢=即+1-即，证明：%是等比数列;(2)求 an 的通项公式.1 8 .在 A B C 中，求证：a =b c o sC +c c o sB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.1 9 .如图，正方形A B C D 和矩形A O E F 所在的平面相互垂直，动点P 在线段E F(包含端点E,F)上，M,N 分别为AB,B C 的中点，AB=2 DE=2.(1)若点P 为线段E F 中点，求异面直线P N 与M D所成角的余弦值；(2)设平面P D M 与平面4 B C 0所成的锐角为0,求c o s。的最大值并求出此时点P 的位置.2 0.已知抛物线必=2 px(p 0),F为焦点，直线/过产与抛物线交于4Q i，yi),BQ2,丫 2)两点，过4B分别作准线的垂线，垂足为M,N求证：(1)71,V2=一 2；(2)4 0,N三点共线.2 1.高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了 100名学生作为样本进行情况调研，得到表：组别选考科目频数第1组历史、地理、政治20第2组物理、化学、生物17第3组生物、历史、地理14第4组化学、生物、地理12第5组物理、化学、地理10第6组物理、生物、地理9第7组化学、历史、地理7第8组物理、历史、地理5第9组化学、生物、政治4第10组生物、地理、政治2合 计:100(I)从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；(II)从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X,求X 的分布列和期望；(DI)如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由.2 2.已知函数/(x)=x2+alnx.(I)若a=1,求f(x)在(1,/(I)处的切线方程;()求函数/Q)在 1,e 上的最小值.参考答案及解析1.答案：D解析：解：合=x G Z|2-3x0=1,2 ,集合4=0,若4。8则 匕=1或6=2,故选：解不出集合B,进而据Z C B 力0,可得b.本题查的知点是合交集及其运，难度不大属于基础题.2.答案：A解析：试题分析：因为酮 蟾 碱=确 碱 渣，所 以 京 砸 产，代入函数解析式得=豳 1 色段幽冷=,故答案选A.心$ft%*考点：1.函数概念；2.特殊角的三角函数值.3.答案：A解析：试题分析：由双曲线方程可知S其 渐 近 线 方 程 为 回，所 以 叵，解 得 国。所以此双曲 线 方 程 为 国，所 以 国，所以虚轴长为S。故 4 正确。考点：双曲线渐近线。4.答案：D解析：解：所 有“代码”有24组，分别为：412,213,X14,423,424,434,B12,B13,B14,B23,B24,834,C12,C13,C14,C23,C24,C34,)12,0 1 3,。14,023,D 2 4,。34,其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有8组，故该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为：D8 1P=-=24 3故选：D.利用列举法求出所有“代码”有24组，其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有8组，由此能求出该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.答案：C解析：解：设该生物的死亡时间为t,则有(西 i=20.3%则 看=ZO5I(0.203)=-lo g20.203 2.3,所以t=5730 x 2.3=13179 13200.故选：C.设该生物的死亡时间为3根据题意列出关于t的 方 程 募=2 0 3%,利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案.本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了指数方程的求解、指数与对数的互化等，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型进行研究，属于基础题.6.答案：B解析：解：根据正方体4BCD 4B1GD1中，根据三垂线定理：由于：BtD 1 ADt,BXD 1 DXC,故，平面ACDi，所以成的角为a=今当。与BC所成的角为S，设正方体的棱长为1,所以当。=遍，DC、=五故cos/?=专，故si叩=手，cos(a 一夕)=cos(/?)=sin/i=与故 选:B.直接利用线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用求出结果.本题考查的知识要点：线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.7.答案：C解析：解：当 =忆+1时，任取其中1条直线，记为I,则除沙卜的其他k条直线的交点的个数为/(),因为已知任何两条直线不平行，所以直线1必与平面内其他k条直线都相交(有/个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的/(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是/(k)+k=f(k+1).故选C.考虑当n =k +l时，任取其中1条直线，记为1,由于直线/与前面n条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k个交点，从而得出结果.所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它与演绎推理的思维进程不同.归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程.8.答案：D解析：解：y =：/的焦点为(0,1),所以圆c为+(y -1)2 =2,r _|4X2.+21=1,所以2 +(7 1)2 =1,故选：D.求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C的方程.本题考查圆C的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键.9.答案：BCD解析：解：2 0 2 0年城镇人口高于乡村人口，故A错误，城镇人口达到最高峰是2 0 2 0年，即第7次，故B正确，城镇人口比重的极差为6 3.8 9%-1 3.2 6 =50.6 3%,故C正确，和前一次相比，城镇人口比重增量最大的2 0 2 0年，即第7次，故。正确.故选：BCD.利用条形图和折线图中的数据信息，以及变化趋势，即可依次求解.本题考查了条形图和折线图的应用，需要学生具备数形结合能力，属于基础题.1 0 .答 案:ACD解析：本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，属于中档题.根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可.解：对 于 儿v ab 0,!，b a,即a v b,故A正确;对于B：v ab 0,a b 炉，o a b 时，Q2 0,a 0ba-+-2 1 =2,故 C正确；b a 7 b Q对于D：a b,.a-b0,2a-2b 0,.-.2a+a-2b-b=(2a-2 +(a-b)0,b 0),则(1,0),即a =l,把点(2,2 百)代入可得4 一奈=1,解得b =2,.=2,设双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角为2。，则tan20=笠=一 右 故中命题不正确；对于，建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为f=2px,把点(通,4)代入可得42=2p x 倔解得p=管，代入可得4?=2p x V5，解得p=?，抛物线中焦点到准线的距离P 为 管，故中命题不正确.故选：CD.一次圆的面积判断;求出椭圆长轴长判断;求出双曲线的渐近线的夹角的正切函数值，判断；利用抛物线的性质判断.本题考查命题的真假的判断，椭圆，双曲线以及抛物线的简单性质的应用，是中档题.13.答案：7+2解析：试题分析：点P(x,y)在圆C：扁&出./-发 翦 一 驾 般=物上运动，可知为案产机庚_ 窝；_ 4 般1n=领，则 圆 心 为 根 据 半 径 为 1,那么设圆参数方程为 软 -3,-H-g晒 蜜锻二 二 ，点4(一2,2),8(-2,-2)是平面上两点,可知向量融,蕾=.=2 1 am.蒯豳i*兽域&瑛泰鳏i,曷良典1 蹴T期=fs解侬存翼|*卷输雄*畿解婕1-砥=7普 福 吟 窿，#鬟遥蒯.窿结合三角函数的性质可知最大值为7+2加 i，故答案为7+2 J 痴。考点：本试题考查了向量的数量积的运算。点评：解决该试题的关键是对于向量的坐标表示，然后结合数量积的公式来进行运算，属于基础题。14.答案：2010解析：试题分析：根据题意，由于g(X)=亲 一 9+3 x +m+上(m,nCR),那么可知J N IZ 2 x-lg (z XX)=一3 tJ;,一一1 淄.H_ 5;*.-tut 1-=T前 一 3-需然知“恪警 一 一S t,1t-1-s 强 族？号 既 畋f e.-a其 一 通微=I斓-1嫄*场-2:碱港=忘y .期=城球#喊礴S 窑 1 1 豫 园:一 工7 I I *11诙飞磁=一一靠年皂诙飞耳:=渤N二盘牒礴=明跖=二,地，御对称中心(上川m(x)的对称中心为仁漏故利用函数的对称性可知，只要变量和为1,则函数值和为2,因此可知所求的g (1 )+g (-2 -)+g (高3 )+g (-4-)+g (2 0部1 0)的 值 为 1 0 0 5 个2,即答案为2 0 1 0.2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1考点：函数与导数点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力,求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题15.答案：/2解析：解：依题意可知右准线方程I：x =?,渐近线方程y =?x,则有PC 9,?),F(c,0)由题意|MF|=|MP|,即|c =g整理得了=当因为c 2 。2 =廿，将其代入上式得a =b所以e=他 卒=迎a y/a2故答案为迎.本题中由双曲线的对称性可得|PM|=|MQ|,又由A P Q 尸是直角三角形得到|MF|=|MP|,通过这个等量关系可以得到a =6,即2=1,代入求离心率的公式，得到e =a.C本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是熟练掌握双曲线中渐近线、准线、焦距等基本知识.16.答案：|解析：求出球的体积等于水面高度恰好上升Rc/n 的体积，即可求出R 的值，本题是基础题，考查球的体积,圆柱的体积的求法，考查计算能力.解：在一个水平放置的底面半径为我c m 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R e m 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Re m,所 以,y/?3=T T(V 3)2-R,所以R=|(c m)；故答案为I.1 7.答案：(1)证明：由已知有瓦=。2-%=1，当n 2 时，所以%是以1 为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)知为=a-l-a =(T)T，当n 2 时，Qn=%+(a2-%)+(a3 _ a2)+(册-n-l)当n=l时，=3 3 2所以。”=|-|(-/T(N*).解析：本题考查会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式.以及会利用等比数列的前n 项和的公式化简求值.(1)先令n =1 求出瓦，然后当n 2 时，求出即+1 的通项代入到当中化简可得%是以1 为首项，-;为公比的等比数列得证；(2)由(1)找出6n的通项公式，当7 1 2 2 时，利用t i n =+(。2%)+(CI3 。2)+(%1 -即-1)代入并利用等比数列的前n 项和的公式求出即可得到斯的通项，然后n=l检验也符合，所以n e/V,即都成立18.答案：证明：由正弦定理，-=-=-=2 r,(r为 ABC的外接圆的半径),sinA sinB sinC /则Q =2rsi?Vl,b=2rsinB,c=2rsinC,则 Q=2rsinA=2rsin(B+C)=2r(sinBcosC+cosBsinC)=2rsinBcosC 4-2rsinCcosB=bcosC 4-ccosB；b=2rsinB=2rsin(A+C)=2r(sinAcosC+cosAsinC)=2rsinAcosC+2rsinCcosA=acosC+ccosAxc=2rsinC=2rsin(A+8)=2r(sinAcosB+cosAsinB)=2rsinAcosB+2rsinBcosA=acosB+bcosA.即有等式成立.解析：由正弦定理，可得，Q =2rsin4,b=2rsinB,c=2rsinCf再由诱导公式和两角和的正弦公式，即可证得.本题考查正弦定理及运用，考查诱导公式和两角和的正弦公式的运用，考查推理能力，属于基础题.19.答案：解：.正方形/8C 0和矩形4DEF所在的平面相互垂直，面ABC。C面ADEF=4 8,且所以4尸，AB,4。互相垂直，故以4为原点建立空间直角坐标系,4(000),8(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,1),E(0,2,l),M(1AO),N(2,l,0),(1)点P为线段EF中点，即可得P(O,1,1),PN=(2,0,-1)MD=(-1,2,0)./777；A/N、PN-MD-2 2cos=p-p=.PN-MD V5 xV5 5所以，异面直线PN与MO所成角的余弦值为|.(2)设P(O,t,l),0 t 2,MP=1),设面PMD的法向量为而=(x,y,z),(m-MD=x+2y=0-rm一 c 、,可取m=(2,1,2 t),m MP=x+ty+z=0又面4BCD的法向量为南=(0,0,1),设平面PDM与平面4BCD所 成 的 锐 角 为 则cos。=cos 1:焉缶即+i二 当 。时 券 取 得 最 大 值|.即当P 与尸重合时，c o s。取得最大值|.解析：可得AF,AB,4。互相垂直，以力为原点建立空间直角坐标系,(1)点P 为线段E F 中点时求得丽=(2,0,1)，MD=(-1,2,0).利用c o s =湍 源，即可求解;(2)设P(O,t,l),求出面P M D 的法向量为访=(2,1,2 t),求出面/B C D 的法向量为版=(0,0,1),.2 tcos0=c|o s I =,1 1 45+(2-)2利用t 的范围求解.本题考查了空间线线角、面面角的求解，考查了运算能力，属于中档题.2 0.答案：证明：(1)抛物线y 2 =2 p x(p 0)的焦点产g,0),准线方程为*=*,由题意可得过F 的直线，与抛物线交于两点，则斜率不为0,可设直线，的方程为x =+联立抛物线的方程必=2 p x,消去x,可得y 2 -2pmy-p2=0,可得%y 2 =_P2：(2)由题意可得k o A，/CO N一定存在，且N(-晟,丫 2)，yl=2pxt,koA=-=kN=专，xi yi-由(1)1 丫 2 =-2 2，可得kN=%，:koA=koN，且。为公共点,可得4 0,N 三点共线.解析：(1)求得抛物线的焦点和准线方程，可设直线，的方程为=my+$联立抛物线的方程，消去x,可得y 的二次方程，由韦达定理可得证明；(2)由题意可得Z e%，k N 一定存在，且可(一今刈)，求得直线。力，O N 的斜率，结合(1)的结论和三点共线的条件可得证明.本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查运算能力和推理能力，属于中档题.2 1.答案：解：（I ）设4 =从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则P Q 4）17+12+10+7+4 _ _50_100 10012 故从样本中随机选1名学生，该学生选择了化学的概率为a（H）第8、9、10组共有11人，其中选择政治的有6人，所以X的所有可能取值为0,1,2,P（X =0）=与=,P（X =1）=华=,P（X=2）=绛=,，信 11 ）信 11 k J C 至 11所以X的分布列为X012P263111111数学期望 E(X)=0XV+1X +2XV=.(H I)选择地理的总人数为20+14+12+10+9+7+5 +2=79,所以P（“同时选择生物）=I-：?3779P（“同时选择化学）=上 罟 上=畀p（“同时选择政治）=鬻=H，P（“同时选择物理）=U梦=共，P（“同时选择历史）=2+管7+5=费，因为黄最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大.解析：（I）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（n）x的所有可能取值为o,1,2,再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个x的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（H I）由表可知，选择地理的总人数为79,然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可.本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.22.答案：解：（1）当。=1时，/（x）=2x +,故/（1）=3,又 /=1,f 在(1。)处的切线方程为:y-l =3(x-l),即 3 x-y -2=0；(n)f，(x)=2x+当a 0时，f(x)0,f(x)在l,e 上单调递增，f(x)m in=/(I)=1.若60,/(%)单调递增，/(%)min=f(l)=l若 1 V J _|e,即 2?2 a )4 0,/(%)单调递减，由x%o，e，得(x)N 0，/(%)单调递增.故f O O min=/(Xo)=_：+a lnJ-l=)(ln(一-Kb若e,即a-2e2时，由 e l,e,得尸(x)0,f(x)单调递减，-f(x)m in=/(e)=e2+a.综上所述：当a 2-2时，f(x)的最小值为1；当-2e?a 一 2时，/1(x)的最小值为：(也(-)-1)；当a 0,/(乃在 l,e 上单调递增，利用单调性求得函数的最小值.a 0 时，对a分类讨论，再由单调性求最小值.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题.