2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（丙）.pdf

2021年“超级全能生”高考数学联考试卷(文科)(丙)(1月份)1.设复数z 的共轨复数为W,i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为(3,4),则5=|z|()A.-i B.-i C.-+-i D.-+-i5 5 5 5 5 5 5 52.已知全集为 R,集合A=x|-2 x 3 ,B=x|log2(x+3)2 ,则4 n(CR8)=()A.x|l%2 B.xl x 3 C.x|l x 2 D.x|l x 33.PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5月均值在359/爪3以下空气质量为一级，在3 5759/爪3之间空气质量为二级，在7549/血3以上空气质量为超标.某地区2020年 1月至12月的 叫5月均值(单位：g/m 3)的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是()A.该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月B.该地区一年中PM2.5月均值2 月到7 月的方差比8 月 到 11月的方差大C.该地区上半年中PM2.5月均值的平均数约为61.83D.该地区从2 月份到7 月份PM2.5值持续增加4.已知tana=学 则sin(|jr-2a)的值为()A.-B.-C.2 V 3-7 D.-7 2 25.已知数列&1 的前项和为%,且5+1 25“=1(71/7*),%=1,则57=()A.255B.63C.128D.1276.已知a=InTr,b=log7re,c=lo g p 则下列不等关系正确的是ab a+b b+cac b+c beac be b+cb+c ab 0）的最小正周期为兀，则以下说法错误的是（）6A.将函数f（x）的图象向左平移捻个单位长度后，得到的函数g（x）的图象关于原点对称B.函数/在区间 0*上为减函数C.由g（x）=cos2x的图象向右平移裔个单位长度可以得到/的图象D.点/,0）是函数/（x）图象的一个对称中心9.从 4 名男同学和3 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出2 名同学中恰好 有 1 男 1女同学的概率是（）A.-B.-C.-D.-7 7 7 710.如图，二面角 a-I-。为 60 o,A e a,B C,D,E e l,乙 BCD=45。,AAED=30,AE=2&BC,平面A B O,则直线AB与0 所成的角为（）11.某几何体的三视图如图所示（网格纸的小正方形的边长是2）,则该多面体的外接球体积为（）A.24V3T T B.16V3T T C.12房第2页，共19页12.在平面直角坐标系中，有定点M(-1,1),F(1,O),动 点 尸 满 足 两=|丽历记动点P 的轨迹为C,过尸(1,0)且斜率为2的直线与C交于A,B两点，若西？丽=0,则A/1BM面积S 的值为()A.V5 B.C.D.-2 4 213.已知单位向量优方满足|苍+2 石|=2,则 五 不 的 值 为.y 114.已知。是坐标原点，点P(l,-2),若点Q(x,y)为平面区域 +y N 0 上的一个,x-y-2 0动点，则 而 丽 的 最 大 值 为.15.已知/(x)是定义在R 上的偶函数，当x e(-8,0 时,/(x)=2X+1,设/i(x)=sinzcx,若函数g(x)=f(x)-h(x),则g(x)在区间-2020,2019 上 的 零 点 个 数 为.16.在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别是。，从 c,且满足a?+炉=,2 +油.若b=4,且4 ABC为锐角三角形，则4 ABC面 积 的 取 值 范 围 为.17.设正项数列 即 的 前 项 和 为%(n e N*),且满足a”+1是 4,S+4的等比中项.求 5 的通项公式；(II)设bn=g_3).M+L 3)求%的前项和1 8.为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入,某乡政府统计了景区农家乐在2012-2018年中任选5 年接待游客人数y(单位：万人)的数据如表：年份20122013201520172018年份代号X23578接待游客人数 y33.546.58根据数据说明变量X,y 是正相关还是负相关；(H)求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；(I I I)分析2 0 1 2 年至2 0 1 8 年该景区农家乐接待游客人数y 的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐2 0 2 0 年接待游客人数约为多少万人(精确到小数点后2 位数).附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为b =*飞尸F)，a=y-b x,r-器式所产),一般地，当，的绝对值大于0.7 5 时认为两个变量之间有很强的线性关系.1 9.如图，直三棱柱4 B C-4 B 1 C 1 中，平面A B C 是边长为2的等边三角形，BBr=4,E为棱4 1 c l的 中 点,尸 为 棱 的 中 点,B C Q B i C =0.证明：4平面E F O；(H)求三棱锥当一4CG的体积.第4页，共19页2 0 .在平面直角坐标系中，已知点4(-2,t-荷)，B(-2,t+诉)，若点P同时满足：P 4 B 的面积为S i，以 P为圆心的圆过点F(2,0),且圆P的面积为S 2,若S=店.求 P的轨迹E的方程；(I I)若过F 的直线/与E交于M,N两点，点Q(2,0),求证：要 烈=黑.s 拉 尸 Q NQ2 1 .已知函数/(%)=X e“+。(/+2%+1),a e R.求第)的单调区间；(H)若a =l,存在非零实数2,n,满足/(m)=f(n)=0,证明：|m-n|7,求。的取值范围；(II)若Q 0,在的条件下，记。的最小正整数为相，且正实数4c+d=m,证明：-+-7-+d+b b+c d+c 8,d满足b+第6页，共19页答案和解析【答 案】1.B 2.D 3.D 4.A 5.D 6.A 7.D8.C 9,B 1 0.C 1 1.D 1 2.B1 3.-41 4.31 5.40 381 6 .(2V 3.8 V 3)1 7 .解：(I)由斯+1 是 4,S n +4的等比中项，可得(l +an)2=4(S n +4),即4S =(即+l)2-1 6,当n =1 时，4al =4s l =(at+1)2 1 6,解得%=5(负的舍去)；当n 2时，4Sn=(c1n+l)2-1 6,则4S _ i=an_r+l)2-1 6,由-可得40n=4sti-4Sn_ i=(an+I)2-1 6-(an_x+I)2+1 6,化为 2(an+C tn-i)(an (n-l)(.an+an-l),由斯 0，可 得 斯-即 _ 1 =2,所以&J 是首项为5,公差为2 的等差数列,可得an=5+2(n -1)=2n +3；/T T X,4 4 1 1 1(1 1 )6n=-=-=-=-(a-3)(an+i -3)2n -2(n 4-1)n(n +1)n n +1所以 r“=i-六=1 -=券1 8 .解：(I)由表中的数据可得，I =2+3+；+7 +8=5 j =3+3.5+；+6.5+8=5,rj|L _ E-i(阳 一x)(y i-y)_ (-3)x(2)+(-2)x(-l.S)+0+2 xl.5 +3x3 _ 21_ n人 一 二1(.一土)2 -9+4+0+4+9-痴 U由于变量y的值随着X的值增加而增加，故 X 与)，之间时正相关；(I I)r =(一 )(%-y)，=1_J自/一蕾一铲21-=-21=与 0.9 59 0.7 5x/26 x/48 1 21.9 故年份与接待游客量相关性很强；(I I I)因为 Q=y-b x =5-|ix 5=|,所以景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程为y +Zo 26、/.cn-卜 21 3 C 25 235 c 八 彳当 =10时，y=x 10 H=x 9.04,26 26 26所以预测2 02 0年该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.19.证明：如图，连接&B,:点E为 棱 的 中 点，点尸为棱必&的中点,EF为&B iC i的中位线，故EF“BC,又BC“B、C i，：.EF“BC,同理OF是A AiBiC的中位线，故OF公C,又,:BCD41c=C,EFVO F=F,故平面A iB C/平面 EFO,又u 平面&BC,平面E F O；(II)解：由等体积法知,/i-4C Q =%-&81cl=9sA4181G-CCi=|x|x 2 x 2 x sin60 x 4=2 0.(I)解：4(2,t V)，B(2,t+V)，A AB=2y/n,过点P作PP垂直直线 =-2于点P,则Si=AB|PP|=y/ir-pp,S2=n-P F2,S=yS2.P P =n P F2,即|PP|=P F,点P到点F的距离等于到直线x=-2的距离，即点P的轨迹E是以尸为焦点，直线x-2为准线的抛物线，故P的轨迹E的方程为必=8元(H)证明：当直线/的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，Sh M F Q=Sh NF Q,MQ|NQ|，也 烈=侬 成 立；SN FQ|N Q|当直线/的斜率存在时，设其方程为y=k(x-2),M Q i，%),/V(x2,y2),联立一2)，得-(4/+8)%+4 k2=o(k 丰 0),；+%2=4 +9，1工2 =4，.J.1 J._ yi ,丫2 _ 软式1-2)(久2+2)+-(4 2-2)(孙+2)_ 2 k(-4)_ Q M Q N -%+2 十孙+2 -(X i+2)(X2+2)-(%i+2)(X2+2)-,=一AQN，即NMQ/7=(N Q F,第8页，共19页过点尸作/C 1QM 于 C FD L QN于D,则|F C|=|F D|,-SMFQ=MQ-FC,SANFQ=NQ-FD,.S&MFQ _|MQ|S4N FQ|NQ 2 1.解：由题意得/(%)=(%+l)(e”+2 a),令 9(%)=(%+l)(ex+2 a),当Q N O 时，g(-l)=O,即当久 (-8,-1)时，gx)=fx)0,故/(%)在(-8,-1)递减，在(-1,+8)递增，当 Q 一 或 时,令g(%)=/(%)=o,则=-1,%2=I n(-2 a),与 外，故f(%)在(-8,-1)递增，在(一1,皿一2 砂)递减，在(l n(-2 a),+8)递增，当。=一 点时，令g(%)=(。)=0，则%i =-1,x2=l n(-2 a),xt=x2 满足g(%)=f (%)N 0,故/(%)在 R 上单调递增，当/a x2 9故f(x)在(8,l n(2 Q)递增，在(皿-2 0),-1)递减，在(-1,+8)递增，综上：当a N O 时,/(%)在(-8,-1)递 减,在(-1,+8)递增，当一卷 n,易知/(0)=1 0,/(-I)=-1 0,由零点存在性定理得一 1 m 0,由零点存在性定理得一 2 n -1,则m-n 2,同理当?n n 时也成立，综上：|m -九|7,即|a -1|+|a 2|4,等 价 为 代；+2-4或 汇整 a 4或 之1”2 4,解得a 所以。的取值范围是(一8,uG，+o o)；(H)证明：由可得m=4,正实数d,h,c满足b+c+d =4,所以(d +b)+(d +c)+(b+c)=8,111 (d +)+0+3+明 (4+壬+不)d +c d+b d +b b+c b+c d +c+b d +c，%+c d+a+c b+c，3 +2 +2 4-2 =9,第10页，共19页所 以77+7T-V-：，d+b b+c d+c 8当且仅当b=C=d=g时等号成立.【解析】1.解：复数Z在复平面内对应的点为(3,4),贝 Ijz=3+4i,二 z=3 43故选：8.利用复数的几何意义、运算法则直接求解.本题考查了复数的运算法则、共钝复数的意义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.解：由logz(x+3)2可得：0%+3 4,1,3%1,二 集合B=x|-3 x 1),CRB=xx 1,又：集合A=(x|-2 x 3,.-.yin(CfiB)=x|l x 3 ,故选：D.利用对数函数的性质解出不等式1。82(%+3)l,b l o g e c =l o g”：=-l o g-=一高，所以a b =1,a +b 2,b+c=0,即b +ca6a+b,错误，正确；又a c =1,b+c=0,be=所以a c b c 0)的最小正周期为詈=兀，a)=2,函数/(x)=s i n(2 x +壬.将函数/(x)的图象向左平移卷个单位长度后，得到的函数g(x)=s i n(2 x +T T)=-s i n 2 x的图象关于原点对称，故A正确；当6 0,勺，2 x +G ,7 r ,故函数/(x)在区间 0,勺上为减函数，故8正确；1 2 6 6 1 2由g(x)=c o s 2%的图象向右平移三个单位长度可以得到y =c o s(2 x-g)的图象，故。错1 2 6误；令久=强 求得f(x)=0,可得点瑞,0)是函数/(x)图象的一个对称中心，故。正确，故选：C.由题意利用函数y =4 s i n(s +s)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.本题主要考查函数旷=皿(3%+8)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.9 .解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n=C 7 =21,选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=C lC j=1 2,则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是=巴=告=：.n 2 1 7故选：B.基本事件总数n=&=2 1,选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=盘 废=12,由此能求出选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率.本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.1 0.解：I ABD,AD.B D u 平面 ABO,I LAD,I 1 BD,又二面角a-1 口为60。，.乙 4OB=60。，设BC=J L 则AE=4,在RtABCD 中，v/.BC D=45,A BD=1,在Rtz/WE中，Z.AED=30,AD=2,在 A4BO 中，由余弦定理知，A B2=A D2+B D2-2AD-BDcos/.ADB=4+l-2 x 2 x1 x-=3,2 AB-V3,.-.AB2+B D2=A D2,即A B 1B D,I 1 平面 ABD,AB u 平面 ABD,1 1 AB,又IC BD=D,/、BD u 平面,AB _L平面0,即直线A B与0所成的角为90,故选：C.由1 1 4 0 1 B D,知乙4DB为二面角a-I-0 的平面角，易得BO和 的 长，再在 ABD中，由余弦定理求得A B的长，从而可证4 B 1 B D,而E J.4 B,然后由线面垂直的判定定理，得解.本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.11.解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；设外接球的半径为：(2R)2=42+42+42解得R=2V3,第14页，共19页所以：K =1 -7 T -（2 V 3）3=3 2 V 3 7 T.故选：D.首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出外接球的半径，最后求球的体积.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体和球的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.1 2 .解:设 P(x,y),因为点尸(1,0),0(0,0),所 以 两=(1 一%-y),P M=(-1 -x,l -y)-O F=(1,0),又 两=I 两 标 I，所以J(l-X)2+y 2 =|-l-x|,所以(1 -X)2 +y 2 =(1 +x)2,整理的y 2 =4x,所以动点P的轨迹方程为y 2 =4 X,轨迹为抛物线，设直线 AB 的方程为y =-1),4(x i，y i),S(x2-y 2)联立方程组整理得卜 2%2 一(2/+4)%+1=0,(y =k(x 1)则与+x2=能 匕=2 =1-所以为+=k(Xi+q)_ 2k=(,yry2=k2(xt-l)(x2-1)=f c2 x i%2-(/+x2)+1 =-4,因为拓？-M B =0,所以Q i +l,yx-1)(x2+1,丫 2 -1)=xix2+xx+x2+1 +为、2 -(%+丫 2)+1 =1 +2+专+1-4-q+1=0,整理得k 2-4k +4=0,解得k =2,所以直线A B的方程为2 x-y-2 =0,点 M 到直线 AB 的距离d =匕=V 5,AB=+x2)2-4X 1x2=5,所以 4 B M 面积S =I|4B|d =等.故选：B.设P(x,y),由 西 =|丽 丽 I，可得点尸的轨迹方程，设直线4 8 的方程为y =k(x 1),与动点P的轨迹方程联立，由根与系数的关系以及加 丽=0,可求得斜率鼠从而可得直线A 8的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求得 48 M 面积S的值.本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，考查根与系数的关系，点到直线的距离,向量数量积的坐标运算以及模的运算，考查计算能力，属于中档题.1 3.解:单位向量优至满足|8+2 另|=2,可得五2 +4五 b +4Z?=4,1 +4a -b 4-4=4则 G-b=4故答案为：-利用向量的模的运算法则以及向量的数量积公式求解即可.本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题.14.解：由约束条件作出可行域如图，联立解得出1,-1),PQ-2),Q(x,y),.令 z=O P -O Q =x 2 y,化为y=|x|,由图可知，当直线y=过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为3.故答案为：3.由约束条件作出可行域，令z=加 丽=x-2y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.15.解：/(%)是定义在 R 上的偶函数，当x G (-8,0 时,/(x)=2x+p/i(x)=sin7rx,在同一坐标系中分别画出y=/(幻与丫=/i(x)的图像如图，在(0,2 019)上,/i(x)=sin/rx有 1009 个周期,故两个函数有1009 x 2 =2 018个交点，第16页，共19页在 一 2 0 2 0,0)上，/i(x)=s i n n r x W 1 0 1 0 个周期,故两个函数有1 0 1 0 x 2 =2 0 2 0 个交点，故共有2 0 2 0 +2 0 1 8 =40 38 个交点，即函数g(x)=/(x)-h(x)在区间-2 0 2 0,2 0 1 9 上的零点个数为40 38,故答案为：40 38.转化为函数y =/(x)与y =八。)的交点个数，结合九0)=s i m r x 的周期性，作函数的图象求解.本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题.1 6.解：因为a?+炉=2 +a b,n J M a2+b2 c2=ab,所以由余弦定理知c o s e =g:J=2 =：，因为C e (O,T T),所以C=；,所以4+8=拳又 AB C 是锐角三角形,所以(0B -23 2解得巳6 2B，所以2 百 50,即可得到答案；(I I)利用公式求出相关系数r,然后比较即可得到答案；(H 1)求出a,即可得到线性回归方程，将x =1 0 代入求解即可.本题考查了线性回归方程的求解和应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点,考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.连接为氏由已知结合三角形的中位线定理证明E F B i G，O F A C,再由平面与平面平行的判定可得平面&BC平面E F O,进 一 步 得 到 平 面E F O；(I I)由等体积法知，VB1.A1cC 1=VC-A1 B1Ct再由棱锥体积公式求解.本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.2 0 .(I)过点尸作P P I A B 于点P ,结合三角形的面积公式、圆的面积公式，可推出P P =|P F|.从而知点P的轨迹E是以尸为焦点，直线x =-2 为准线的抛物线；(I I)分两类讨论：直线/的斜率不存在，由抛物线的对称性可得证；直线/的斜率存在，设其方程为y =fc(x -2),与抛物线方程联立，结合韦达定理，证明时=-kQN,即N M Q F =z J V Q F,再过点尸作F C 1 QM于 C,F D工Q N于D,则|F C|=|?。|,然后由三角形的面积公式，可得证.本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题，轨迹方程的求法，考查分类讨论的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.2 1 .求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；(H)代入a的值，求出f(x)的解析式，求出导数，根据函数的单调性以及零点存在性定第18页，共19页理证明结论成立即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题.22.直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(H)利用一元二次方程根和系数关系式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.23.(I)由特殊角的三角函数值可得|a-l|+|a-2|4,再由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，可得所求解集；(H)由题意可得b+c+d=4,运用基本不等式，即可得证.本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于基中档题.