2021届高考数学模拟卷（一）.pdf

2021届高考数学模拟预热卷(新高考)(一)注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若集合 A =y|y =2,x eR,B =y|y =R ,贝!1()A.AGB B.AOB C.A =B D.ACB=02.已知纯虚数z满足。-2i)z =2+H,其 中 i为虚数单位,则实数a等于()A.-1 B.1 C.-2 D.23.5 名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革一一庆祝改革开放4 0 周年大型展览”，参观结束后5名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有()A.3 6 种 B.4 8 种 C.7 2 种 D.1 20 种4 .如图，从山顶4望地面上C,O 两点，测得它们的俯角分别为4 5。和3 0。，已知8=1 0 0 米，点 C位于 B D上,则山高49 等于()A.1 0 0 米 B.5 0 G 米 C.5 0 及 米 D.5 0(6+1)米5 .设 有 两 组 数 据“，w，L,%与 x，%,L,其，它们的平均数分别是嚷和亍，则新的一组数据2X|3 x+1,22 F 2+山，-%务 的平均数是()。A.2x-3y B.2x-3y+l C.4 x-9y D.4x-9y+6.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为。，经 过 r天后体积V 与天 数 r 的关系式为丫=爪 。若新丸经过5 0 天后，体积变为已“，则 一 个 新 丸 体 积 变 为 需 经927过的时间为0A.1 25 天 B.1 0 0 天 C.7 5 天 D,5 0 天7 .在 ZXA B C 中,角 A,8,C 所对的边分别为 a,b,c,S.b2+c2+b c.若 s i n s i n C u s i n?A ,则 A B C 的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形8.已知定义在 L e 上的函数f(x)满足/(%)=/(-)，且当x w 1,1 时，/(x)=x l n x+1,若方程ex e/(x)-g x-a =O有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(,1-B.(-,1-3e e 3e 2e_1 1 _1 oC.(1-e 2,1 D.(1-e 2,1-e 2e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.2 29.设0为坐标原点，”，鸟是双曲线鼻 一 方=1(0力 0)的焦点.若在双曲线上存在点P,满足N FPF=6 0 ,|O P|=汨a,则()A.双曲线的方程可以是。-9 =1 B.双曲线的渐近线方程是&x y =0C.双曲线的离心率为8 D.V P G的 面 积 为 6/1 0.等差数列 对 的 前n项和为5“，已知$0=0,臬=2 5,则()A.=B.的 前“项和中S、最小qc.nS 的最小值为-4 9 D.氾的最大值为0n1 1.已知函数X)=-l o g2 X,下列说法正确的是0A.函数/Qxi)为偶函数B.若/(a)=|f 伍)|,其中 a Q,b Q,a#b,则 a b =lC.函数/(-X2+2 x)在(1,3)上单调递增D.若则+1 2.信 息 燧 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念，设 随 机 变 量X所 有 可 能 的 取 值 为1,2,L，且P(X=i)=P i 0,/(=产，定义 X 的信息嫡”(X)=-f p J o g 2 p,()f=l J=1A.若 =1,则”(X)=0B.若 =2,则(X)随着p,的增大而增大C.若p,=4(i=l,2,L)，则”(X)随 着n的增大而增大nD.若 =如,随 机 变 量y所有可能的取值为1,2 L m，且尸(y =j)=Pj+P2”,+“/=l，2，.m),则H(X)H(Y)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3 .抛物线V=4x 上到其焦点的距离为1 的点的个数为.1 4 .已知数列 “和也,其中为=2,e N,么 的项是互不相等的正整数，若对于任意 e N ，b,的第0,项等于 )的第b 项，则懊蚀也%)=_吆(4/4”)1 5 .已知三棱锥尸-71 B C 的所有棱长都相等，现沿处,尸 8,尸 C三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2 指，则三棱锥P-ABC的 内 切 球 的 体 积 为.1 6 .已知长方体木块A B C E J-A g C Q 中A B=B C =2c m,AA,=8 c m,从该木块中挖去一个圆锥，使得圆锥的顶点为正方形A4Gq的中心，底面圆为正方形A B C D 的内切圆，则剩余部分的表面积为四、解答题：本题共6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .(1 0 分)已 知 A BC 的 内 角 ARC的 对 边 分 别 为 a,6,c，设 近(c o s 8 +c o s A)=a c,且s i n 2 A =s i n A -(1)求 A 及a;若 6 一c =2,求 3c边上的高.1 8 .(1 2 分)设 a,是公比不为1 的等比数列，q为 的 等 差 中 项.(1)求 4 的公比；(2)若q =1,求数列 a“的 前 项和.1 9 .(1 2 分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取1 00个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表：直径/mm5 7 5 8 6 06 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 7 07 2合计件数113561 9 3 3 1 8 4421211 00经计算,样本的平均值 =6 4,标准差b =2.2,以频率作为概率的估计值.(1)为评估设备M 的性能,从样本中任意抽取一个零件，记其直径为X,并根据以下规则进行评估(P 表示相应事件的频率)：P(M-c r X 0.6 8 2 7 ;P(U-2(T X 0.9 5 4 5 ;P(u-3(y X 0.9 9 7 3 .若同时满足上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满足其中两个不等式,则设备M的性能等级为乙;若仅满足其中一个不等式,则设备M 的性能等级为丙;若全部不满足,则设备M 的性能等级为T.试判断设备M的性能等级.(2)将 直 径 小 于 或 等 于 或 直 径 大 于 +2 b 的零件认为是次品.(i)从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件,计算其中次品个数Y的数学期望；(i i)从样本中任意抽取2个零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z)2 0.(1 2 分)己知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半轻为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积设=是底面半径，且 Z A O 8 =9 0,M为线段45的中点，如图，求异面直线PM与所成的角的大小2 1.(1 2 分)已知函数f(x)=lo g,(x+l),函数y =g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出g(x)的解析式：若。l,x w 0,l)时，总有/(x)+g(x)2,成立，求实数m 的取值范围.2 2.(1 2 分)已知椭圆C：+/=1 3 6 0)的离心率为手，点 尸(乎 争 在 C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设。为坐标原点，(0,-3,试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q,M,N (其中M,N的纵2坐标不相等)，满 足 丽+丽=3诙，且 直 线 与 直 线 HN倾斜角互补？若存在,求出直线的方程，若不存在，说明理由.答案以及解析一、单项选择题L答案：A解析：集合 A =y|y =2,x R =3 y 0,8 =y|y =R=3 ”o,.Aq 8.2.答案：B解析：因为(1 _ 2 i)z =2+a i,所以z =刍 辿=(2+词(1 +2i)=2-的+(4+a)i 又z是纯虚数所以l-2 i(l-2 i)(l+2 i)52 2 a =0,4+a w0,所以 a =l .故选 B.3 .答案：C解析：除甲、乙二人外，其他3 名同学排成一排,不同的排法有A；=6 (种)，这 3名同学排好后，留下4个空位,排甲、乙,不同的排法有A：=1 2 (种)，所以不同的排法有6 x 1 2 =7 2 (种).4 .答案：D解 析：在 A C O 中，C D =1 00 米AC 0/),Z D=3 0。,Z D A C =Z A C B-Z D =45-3 0 =1 5,/.=-sin N O sin Z.D AC.月。_ C D sinD _1 00uin3 00 50-sr nZ D C-sin 1 5 -5近1 5 在 A A BC 中，N A C 8 =4 5。,N A 8 C =9 0。,A C =米，sin 1 5AB=AACCs i n 445U。=-5-0-s-i-n-4 5-=50_(/V 3/r+1tsin 1 5 5.答案：B解 析：设 马=2 x.-3 L ,则-1 /_ 、2/.x 3 /_ x l +l+L+l z (Z +Z +L +z“)=-(x +x+L +x“)(凶+必+匕-=2x 3y+1 nn n n6 .答案：C解析：由题意知a0,当/=50时，有3 a =49叫9呜=,巴得小希所以f =7 5.故选C7 .答 案:C解析：在 AAB C中,*/b2+c2=a2+b e,cos A =2b cb e2b c2*.*A e(0,7c),A=工.3sin B-sin C=sin2 A,be=a2,代入 b+c2=a2+be,(。一 c)2=0,解得 b=c.ABC的形状是等边三角形.8.答案：D因 为/(%)=/(-),且 当X时，/(x)=/(-)=-l n x +l解 析,时，/(x)=x ln x +l,所 以 当 (l,eej;ln x 4-l,x e,1则/(、)=0lnx+l,xG (l,e.x当 X G,1e时，f x)=1+In x 2 0,则/(x)在(1,e 上单调递减.因为方程/(x)-1 x-=0 有三个不同的交点，作出函数/(x)的大致图象,如图所示.当直线y=和/(x)的图象相切时，结合图象,设1-1 1 切点为(玉),%),由7(入 0)=1+山/5，可 得%=6 2,y0=l-x e 2,代入方程y=X+a,可得a=l-e三；当 直 线 y=J_ x+。过 点(1,1 一3时，a=l,由 图 可 知 实 数 a 的取值范围是2 e e 2e二、多项选择题9.答 案:BCUUU UUU UUU解析：如图，Q O 为耳死的中点，.尸 6+尸鸟=2尸。,即ziiuii uuir x2 miu必+啊=(2P 0),Riuuirp I uinr I|UuiTi in.u+|Pg+2 P川q.cos6()o=4|P 0|2.又 Q O P|=&,iiiuii|2 IUUIT|2 I uirar.uuir.川+|乙|俨 闾=2 8/.又由双曲线的定义得归用-|P 用=2。,（归用一归段）2=4/.即耳+|尸 周?_ 2|巧 归 用=4/.由-得|尸甲 疗 用=8a2,；.|p+|PFj=20a2.在V f；P g 中，由余弦定理得。二眄3:.S a2=20a2-4c2 f 即/=3/.又 Qc?=2+匕2,.）2=2/,即 4 =2,2=亚.a a双曲线的渐近线方程为收X 土 y=o.双曲线的离心率为6,双曲线的方程可以是丁-武=1,2VP/工 的 面 积 5 =m 际 疗 周 s in ；PE=g x 8 a 2 x g =2 6/故 BC正确.10.答案：BC解析：设数列 叫 的 公 差 为d，则解得2 =-(2 n-l l),5=-,A错 1 5q+1 05 2 5,d ,3 3误；5“=g(2 -1 0)=g(-5)2,B 正 确；nSn=-4 2 ,设函数/(x)=-x2(x 0),则-弓X,当 x e(0,日 卜j,/(x)0,所以/。濡=/(g)，7(16 0,b 0 0,解得0 x2,所以函数 f x2+2 x)的定义域为(0,2),因此在(1,3)上不具有单调性,故C错误；对于 D,因为 0 v a llw 0,0 h-，所以/(并4)0/(1,故|/(I +a)|-1/(I -a)|=|-l og,(1 +(z)|-1-l og2(1 -a)|=l og2(l +a)+l og 2(1 -a)=l og2(1 -1)-Ypz 腕=一 一 +分照+一 万n n n nJ大，C正 确.对 于 选 项D,若 n=2 m ,P(Y=j)=P j+=L 2,L,m)知，P j og 2 Pi+Pi l og?2）=一（；I g 2；+:，当W l O g 2 P 2）=_（；iO g 2 1 +；iO g 2；），由此可得，当不 正 确.对 于 选 项c ,若 p,=L,则nL卷也趴=,.（X）随着的增大而增n随 机 变 量Y的 可 能 取 值 为1,2,，机，由P（r=1）=p,+p2m-P（Y=2）=p2+p2 m.）；P(y=3)=P3+P2gzLp(Y=m)=p“,+p,eH(X)=-(p.l og,Pi+p2,l og,p2,)+(p2l og2 p2+p2m_ l og2 p q+L+(p,l og2 pm+pl+l l og,H=(P|+P 2 m)l O g 2 M +P 2 nl)+(。2 +小吁 J l g?(P 2 +P2 m-l)+L +(Pm+P m+I )1三2 (P,+P m+J，H(Y)-H(X)=-(pl+p2m)l og2(p,+p2 m)+L+(pm+Pm+l)l og2(pm+P )+P j og 2 P l +Pin,1 Og2 P i,+L+pm l og,p,+p,+1 l og,p,+1=p,l og,+L+p2m-l og,P 2 m.易 知 0 为 1 ,L,0 P 2 m 1,Pl+P2M Py+Pl,Pl+P2n,Pl+P2,nl og,0,L,l og,P l m 0,H(Y)f熙 第R =2g(她 她)15.答案：且兀2解析：三棱锥P-A f i C展开后为一等边三角形，设边长为。，则4指=，_,;“=6上，sin A 三棱锥P-A B C棱长为3a,三棱锥P-A B C的高为2&,设内切球的半径为，则4 x gxmc=；SAMcX2g，2,三棱锥尸-ABC的内切球的体积为，=走几3 2故答案为：兀216.答案：(672+24K)cm2解析：剩余部分的表面积为长方体木块ABCQ-AAG。的表面积减去一个半径为6cm的圆的面积,再加上一个底面半径为6cm,高为8 c的圆锥的侧面积，即672-7tx62+7tx6x 62+82=672+24?t(cm2).四、解答题17.答案：(1)因为用(acosB+bcos A)=ac,根据正弦定理得，不sin Acos B+sin Bcos A=a sin C,7/.sinC=且 asinC,又因为 sinCwO,7a=V?./sin 2A=sin A 2sin Acos A=sin A,因为 sin Aw 0,所以 cos A=L2T Tv Ae(0,7t),.A=.3(2)由 知,a=V?,A=.3由余弦定理得=62+C2-2Z?CCOSA,/.1=b2+c2-be,:.7=(Z?-c)2+be,因为b-c =2,所以7=4+6c,所以历=3.设 BC边上的高为小c 1,.1 Q x/3 3735AAS C=-sin A =-x 3 x =-c _ I z,.1 5一 3 G.,_3/21SABC=2 2 X=4 h=143而即 BC边上的高为一立一.18.答案：设 4 的公比为q,由题设得2q=a2+a3,即2q=qq+q/.所 以/+q-2=0,解得q=1 (舍去),q=-2.故 也 的公比为-2.(2)记 S,为 叫,的 前 项和.由及题设可得，=(-2严.所 以 S“=1+2X(-2)+L+”x(-2严,-2S=-2+2x(-2)2+L+。?-1)x(2)|+MX(-2)n.可得 3S=1+(-2)+(-2)2+L+(-2)-1-nx(-2)B=卓一”.所 以 9 919.答 案：P(-C T CT=)(iP(u-2 a X u +2a)=P(59.6 X 68.4)=0.94 0.9545为因P(-3b v X +3。)=尸(57.4 X 70.6)=0.98 g“(-X+l),所以一y =log(x+1),所以 y =-logu(-x+l),而 P(x,y)是函数y =g(x)图象上的点，所以 y =g(x)=-loga(-x+l)=log,-x 当 x e 0,l)时，1 +X/(x)+g(x)=loga(x+l)+log-=logn-.-x-x下面求当x w。1)时f(x)+g(x)的最小值.令=1,则 X =-1.1-x t+1因为x e 0,l),即043 1 ,所以 log”匕 f logr t 1 =1,1-x所以 f(x)+g(x)N 0,所以x e 0,l)时，/(x)+g(x)的最小值为0.因为当x e 0,l)时，总有/(x)+g(x)2 m成立，所以帆40,即所求m 的取值范围为(YO,0.2 2.答案：(1)由题意知可得 c/3 1 a2-h2=c2,8 1 1，解得a=2，Z =l，-=-7-7=a 2 3 a2 3b2则椭圆C 的方程为/+丫？=4 -(2)由题意,直线M N的斜率存在且不为0,设直线M N方程为y=kx+m设点”口,%)川(*2，%)，V 2=1联立,4+)，得(4 公+l)x?+8加a +4-4=0,y=kx+m所 以 王+=箝，石 W-4y+y2=k(%+x2)+2m=4k2+2m1 +4 左 2 因 为 两+两=3而，一,一 16km 4?、班以 0 1+4&2 1 +4 公)，-6krn)2因为。在 椭 圆 上 所 以 l+4 k-+(号)*4化简得1 6 4=1 +4 公,满足(),又因为直线HM与直线N倾斜角互补,所以&研+“川=0,1 1所 以V,上 H 工+y2二 H 2=0,占 X 所以kx_,_+_m_+_-2kx2+m +-+_ _1 =0,所以 2kxix2+(m+-)(%,+)=0,4k(m+2)所以Ek一o，因为攵工0,所以m=一2,代入1 6 =1 +4 公得 3币，k=土-20行 a/y所以存在满足条件的三个点，此时直线皿的方程为丫=堂-2 或 y =-$x-2.