2021年北京市海淀区高考数学模拟试卷（一）.pdf

2 0 2 1 年北京市海淀区高考数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4 =x|x+lW 0，B=x x a,A U B =R,则实数a的值可以为（）A.2 B.l C.0 -2【答案】D【考点】并集及其运算=根据A U B=R即可得出a W f 从而得出a的值可以为-2.【解答】A=x x a ,且A U B =R，Q -1Q的值可以为一2.2,下列函数中，在区间（0,+8）上不是单调函数的是（）B.y=/C.y=X+4D.y=x-1|【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】此题哲无解析【解答】此题暂无解答S43,已知等差数列%的前n项和为S n，若$3=。3，且。3羊，则=（）名A.l B.3 C.3 D.3【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.不 等 式 X 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是（）0X 1C.0 x 1D.x 0,A,B,C是这两个函数图象的交点，且不共线.当 3 =1时，ABC面 积 的 最 小 值 为；若存在4 A8C是等腰直角三角形，则3的最小值为.【答案】2W【考点】余弦函数的图象正弦函数的图象三角函数值的符号【解析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积.利用等腰直角三角形的性质的应用求出3的最小值.【解答】解：当3 =1时，/(x)=V2sinx,g(x)=V2cosx,令 f(x)=g(x)，得&sinx=V2cosx,则 tanx=1,x=-+kn,fc 6 Z.4取 花，1)，畔T)，O此时 ABC的面积最小，Smin=：x 2兀 x 2=2m试卷第6页，总17页若存在4 ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则把=2 x(V 2 x +V 2 x)=4,co 2 2得3的最小值为全故答案为：2兀;泉三、解答题：本大题共6 小题，共 85 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.在 。1=3,a4=S2,。3 =匕2，。1=匕 2-2，。2=5 2-3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的;I存在，求；I的最小值；若;I不存在，说明理由.设数列 an 为等差数列，S是数列 勾 的前n项和，且 _ _ _ _ _ _,坛=8,bn2bn_d n 2,n e/v*).记cn=a n l g 2 1 1,7；为数列%的前7t项和，是否存在实数;I,使得对任意的ne N*都有7；+8时煮 台。3所以T n 4此时;i的最小值为7.若选，则。3=)1=4,as=b3 b1=3-2=6,因为数列 册 为等差数列，设等差数列 斯 的公差为d所以2 d =05-03=4，即d =l,所以 为i=4+(n 3)=九 +1=1 _ 1 J _ 1步,n a log b n(n+l)n n+1故 n o aT C 1 5 1 11,1n 2 2 2 n n+4 n+7,芙7 1 T +8 口 寸1n+1*5所以7；1此时;l 的最小值为1.若选，则&7=。2-2 =6,a2=s2-4=3,因为数列 a“为等差数列，设等差数列 斯 的公差为d,所以d=2 -。7 =1，所以 an=2 +(7 i 4)x 1=7 1+1,二 6 _ 1 二 1 1故.a n log49 bn n(n+8)n n+5彗n +8时 n+2 n+1所以7n 2 此时/l 的最小值为1.【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答如图，在四棱锥P-4 B C 0 中，底面A B C D 为菱形，乙4BC=60,PB=PC,E 为线段B C 的中点，F 为线段P 4上的一点.试卷第8页，总 页(1)证明：平面P4E J平面BCP.(2)若P4=4B =?P B,二面角4 一 BD=尸的余弦值为：，求PD与平面BDF所成角的正弦值.【答案】在四棱锥P-4B C D 中，底面4BC0为菱形，乙4BC=60。，PB=PC,E为线段BC的中点，AE 1 BC,PE 1 BC,：AEOPE=E,：.BC_L平面PAE,B C u平面B C P,二 平面P4E 1 平面BCP.,1 BC_L平面PAE,BC/AD,：.PA A.AD,PA=AB=PB,：.PA2+AB2=PB2,PAL AB,2-：ABCAD=A,：.PAJL平面4BC0,以4 为原点，AE,AD,4P为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设P4=4B =?P B =痘，4F=t,则8 弓,一当,0),0(0,V2,0),尸(0,0,t),BD=(一孚,苧,0),BF=(一苧,当,t),设平面BOF的法向量%=(x,y,z),T 部 V6.3V2 nn-BD=一三%+y=0n BF=%+-y+z=0取y=l,得盛=(遮,1,?),平面ABD的法向量薪=(0,0,1),二面角4-B D-F 的余弦值为|,|cos|-.t z-I，解得t-,F(0,0,竽)，P(0,0,V2),PD=(0,V2,-V 2),平面BDF的法向量=(V3,1,|),设PD与平面BDF所成角的平面角为0,则PD与平面BOF所成角的正弦值：sin0=驾 2=W =，.|PD|n|2-10【考点】平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】(1)推导出AE1BC,PE 1 B C,从而BC 1平面P A E,由此能求出平面PAE _L 平面BCP.(2)推导出P4_L4D,PA A.A B,从而P4 _L 平面Z B C D,以4 为原点，AE,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出P 0与平面BDF所成角的正弦值.【解答】在四棱锥P-4B C D 中，底面4BCD为菱形，乙ABC=60,PB=PC,E为线段BC的中点，AE 1 BC,PE 1 BC,：A E dP E=E,：.BC J 平面PAE,B C u平面B C P,二 平面PAE 1 平面BCP.,1 BC J平面PAE,BC/AD,：.PA LAD,：PA=AB=PB,：.PA2+AB2P B2,PA LAB,2-：ABCtADA,：.PA LA B C D,以4 为原点，AE,AD,4P为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设PA=HB=曰 PB=VL AF=t,则8(半，一当，0),D(0,V2,0),F(0,0,t),BD=(-手,斗,0),BF=(-孚,孝,t),设平面8DF的法向量曾=(%,y,z),T 部 V6,3V2 An-BD=一万X+y=0n-BF=-x 4 y+Cz=02 2 z取y=l,得3=（b,1，号）,平 面 的 法 向 量 薪=(0,0,1),二面角 1 -B D-F的余弦值为|,试卷第10页，总 17页|cos 解得t=苧,F(0,0,苧)，P(0,0,V2),PD=(0,V2,-V 2),平面8。尸的法向量蔡=(V3,1,|),设P。与平面BDF所成角的平面角为8,-返 r则PD与平面BDF所成角的正弦值：sin。=上 粤=W =，.|PD|n|2-10根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X(单位：米)的频率分布直方图如下.将河流水位在20,22),22,24),24,26),26,28),28,30),30,32),32,34各(1)求未来4年中，至少有2年该河流水位X 6 26,30)的概率(结果用分数表示).(2)已知该河流对沿河4 工厂的影响如下：当X 6 20,26)时，不会造成影响；当X 626,30)时，损失50000元；当30,34时，损失300000元.为减少损失，力 工厂制定了三种应对方案.方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.试问哪种方案更好，请说明理由.【答案】由频率分布直方图可知河流水位X e 26,30)的概率为P(4)=(0.075+0.025)x 8=5,记 在未来5年中，至少有2年河流水位X 26,_ 14f 4、3-8 8 1135 11W)=1-P(A)=5_ 4 5 2)+4 l 5)625,记A工厂的工程费与损失费之和为y,(单位：元)若采用方案一，贝 g的分布列为：(1)Y050000300000P0.785.20.02E（y）=6 x 0.78+5000 x 0.3+30000 x 0.2=16000.若 采 用 方 案二，贝什的分布列为Y8000308000P4.980.021(7)=8000 X 0.98+308000 X 7.02=14000.若采用方案三：f(7)=20000(元).因为14000 16000 0,2因此 X l n x 8.又 因 为 靖 0,所以/(x)0恒成立.所以f(x)在区间(4,1)上是单调递增函数.(2)证明/(X)6等价于证明/Q)m a x 7,g(e)=e ,所 以 存 在 唯 一 实 数 使 得 g(X o)=O,其中久6 G (1,e).X,尸(X)X(0,%8)Xo(%0,+8)f(x)+5f(%)极大值所以出)为 函 数 的 极 大 值.因为函数“X)在(0,+8)有唯一的极大值.lnx0Qxo所以f(x)m a x=X 4)=68因为 X。=l n x0,lnxg 2x0 Xce0所以/(X)max=/(X 3)=2 =因为X3 e (1,e),所以 f(W m a x=2，6 2.所以f(x)5.【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知集合M UN*,且M中的元素个数71大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a,b,c,d,使得a +b=c +d,则称集合M是 关联的，并称集合 a,b,c,d 是集合M的 关联子集；若集合M不存在 关联子集，则称集合M是 独立的(I )分别判断集合 2,4,6,8,1 0 和集合 1,2,3,5,8 是 关联的 还是 独立的？若是 关联的，写出其所有的关联子集；(H)已知集合Q,a 2,a 3,。4,。5 是 关联的，且任取集合a，%U M,总存在M的关联子集4 使得 七，4.若为 a 2&3 a3,a4,as是等差数列;r j2 -n+9(印)集合M是 独立的，求证：存在x C M,使得 4.【答案】(/)2,4,4,8,1 0 是 关联的，4,2,8 ,6,2,1 0 ,4,8,1 0 ,8,3,5,4 是“独立的(2)记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1=a2f a2,a4,a5f A8=a3,a6,a5,3=a2 a2。4，4 4 =。1，。8,。3,43=。1，。2,a2%所以，M至多有5个关联子集，若力4=。1，。3,。7,。5 为 关联子集”，则=。2,。3,4,劭，不是 关联子集1=。2，同理可得若4=%,。3，%，的 为 关联子集，贝 何3,4不是“关联子集，所以集合M没有同事含有元素勾，的的“关联子集，与已知矛盾.所以4 7 =生1，0 3,0 4,0 5 一定不是“关联子集，同理/4 =。8,。2,。3,。7一定不是 关联子集，所以集合M的关联子集至多为A3,4，若久不是关联子集，则此时集合M 一定不含有元素Q 3,的的“关联子集”，与已知矛盾;若必 不是关联子集，则此时集合M一定不含有元素内,%的“关联子集，与已知矛盾;若为不是“关联子集，则此时集合M一定不含有元素的,劭的“关联子集，与已知矛盾;所以4，公 都是“关联子集，所以有。2 +。5=。4+。4，即。5 一。3 =。3 一。2 ；a6+as=a2+a6,即g。4=。4 一%；1 +C LQ=0,2+。3，即。8 。3 =。2 8；所 以。4=。8 。3=。2 。7，所以。1，。2，。3，是等差数列，(!)不妨设集合时=。7,。2,，即(葭3 5),%E N*,i=7,2,n,a3 V，记T=C|t=Qi+ajf 1 t j n,i,j 6 N*,on(n-2)因为集合M是 独立的 的，所以容易知道7中恰好由c n=2 ,9n J n+4假设结论错误，即不存在X 6M 4 ,n、-n+2 n 2-n+G所以任取x C M,%4*,所以无 S 4,n2-n+G 口2-11+5 r-n+g n6 n所以g+Uj。2-%成立，所以为I-Qn-4 Z 2,n6-n+8 n7-n+g n2-n所以 Qn+an_iW 4+4-5=2,ri?-n n-n+S n2-n+8所以7=t|8W tW 2+4*,所以in=+6,an_2=+4-2,因为3 e7所以。3=3,所以有a“+0；6=1-1+CI3,矛盾；/-n 之 n(rr 7)(a)若6 至7,则TU 4,5.2,而7 中含有C n=2,所以7=3n-nt|4 t 2,t e N*n2-n+3 n5-n+8,-A-4所以%t=4,an-i=4,因为4 e T,所以。1=7,。2=3,2 3n-n n-n因为 2+2 6 T 2-2 an_7+an,n-n+4所以与-2=4 2n+a3an_2+a3,矛盾,所以命题成立.【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答