2021年广东省江门市高考数学模拟试卷（一模）（解析版）.pdf

2021年广东省江门市高考数学模拟试卷(一模)一、选 择 题(每小题5 分).1 .设全集 U=1,2,3,4,5 ,集合 A =1,2,3 ,B=2,3,4 ,则C u (A P B)=()A.1,4,5 B.2,3 C.5 D.1 2 .欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位八三角函数c o s 0和 s i ne 联系在一起，得到公式e 枪=c o s 8+i s i n0,这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得d =()A.0 B.1 C.-1 D.i3 .从一批零件中抽取8 0个,测量其直径(单位：m m),将所得数据分为9组：5.3 1,5.3 3),5.3 3,5.3 5),，5.4 5,5.4 7),5.4 7,5.4 9,并整理得到频率分布直方图,则在被抽取的零件中，直径不小于5.4 3 所的个数为()骊本4 .如图，平面四边形A B C Q 的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为慨，直线BC的斜率为5 .中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用8 5 的水泡制，再等到茶水温度降至6 0时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 而测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温B.ymax+n(m 0,0 a 0 a 1)D.y=w lo g(,x+n(nj 0,a0,a W l)6 .已知点。为 A B C的外心，A B的边长为2,则 瓦 同=()A.-1 B.1 C.2 D.47 .如图，在长方体4 8 C Q-AIBICQI中，AB=AD=1,AAi=2.M为棱上的一点，当4 M+M C取得最小值时，B i M的 长 为()小 DiA.M B.捉 C.2y D.2 7 68 .正实数a,6,c满足a+2 F=2,+3=3,c+l o g4 c=4,则实数a,6,c之间的大小关系为()A.bacB.ahcC.acbD.hc0,b 0）的左、右焦点，过 B作倾斜角a NIT为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点 尸，且|P M =|M R|,下列判断正确的是（）A.E的渐近线方程为y=扬B.MF2=C.E的离心率等于2+正1 2.已知函数/（）=ex-c o s x,x G R,7 TD.ZF iPF i=6下列判断正确的是（）A.f（x）在（-2 m -旦T T）单调递增B./（尤）在（-T t,0）有 2个极值点JTC./（X）在（-2 m -）仅 有 1 个极小值D.当-4T TWXW-2 n 时，f（x）W 1三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.写出一个最大值为4,最小值为-2的周期函数/（X）=1 4.已知展开式(2 工-1)”=()+的 工+4 2%2+加(E N*)中，所有项的二项式系数之和为6 4,贝 1 小+。2+%=.(用数字作答).1 5 .若数列 满足递推公式4+2=如+1+。(W N*),且 4 1=4 2,4 2 0 2 0 =2 0 2 1,则+恁+。2019=.1 6 .已知一圆锥纸盒母线长为6,其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为。的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则。的 最 大 值 为.四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.TT1 7 .已知函数/(x)=s in r+s in (x+-).(1)求/(x)的最小正周期；(2)在A A B C 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若/(C)=,s in B=2 s in A,且 AB C 的面积为2,求边c 的值.a-41 8 .已知数列 斯 满足a”+i=一匚 T(W N*),且 m=4.an-3(1)证明：数列-是等差数列；an 2(2)记瓦=(2-&)(2-丽|),4 为 瓦 的前项和,求T“.1 9 .如图，四边形4 B C Q 为菱形，四边形B D E 尸为平行四边形，FA=FC,A B=2,Z D A B=6 0 .(1)求证：ACLBF-,(2)若 F B=F D,且二面角E-AF-2为 1 35 ,求多面体A 8 C D E F 的体积.2 0.2 0 2 0 年新高考数学首次引入了多选题，让数学基础和数学能力在不同层次的考生都有了发挥的空间，同时更加精确地发挥数学科考试的选拔功能.某校为了解学生对引入多选题的看法，从高三年级1 0 0 0 名学生(其中物理类6 0 0 人，历史类40 0 人)中采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到一个不完整的2 X 2 列联表.(1)请将下面的2义2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为赞同引入多选题与选科有关？说明你的理由：物理类 历史类 总计赞同引入多选题 25不赞同引入多选题 30总计(2)多选题的评分标准是：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有错选的得0 分，有漏选的得2 分.在一次考试中，命题人对甲、乙两道多选题分别设置了 2 个 和 3 个正确选项，假设某位考生在作答这两道题时相互独立，且做甲题时得2 分的概率为三，得 5 分的概率为；做乙题时得2 分 的 概 率 为 得 5 分的概率 为 士；设这位考生在作答这两道多选题时的得分和为x,求 x 的分布列及数学期望.12参考公式：殍=受-3领三郭)-.其中na+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2公)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.832 1.如图，抛物线C：y2=8x与动圆M：(x-8)(r 0)相交于A,B,C,。四个不同点.(1)求 r 的取值范围；(2)求四边ABCQ面积S 的最大值及相应r 的值,2 2.已知函数/(x)=ev-iwc2+Cm-2)x-m(/T?ER),f (x)为f (x)的导函数.(1)当机=1 时，求/(x)的极值；(2)当x 2 0 时，/(x)2 0 恒成立，求机的取值范围.参考答案一、选 择 题(共 8 小题).1.设全集 U=1,2,3,4,5,集合A =1,2,3,B=2,3,4),则C u (A A B)=()A.1,4,5 B.2,3 C.5 D.1 解：集合 U=1,2,3,4,5,A =1,2,3,B=2,3,4)所以 4n B=1,2,3 C 2,3,4 =2,3；C u (AQB)=1,4,5；故选：A.2 .欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位八三角函数c o s 0和 s i n。联系在一起，得到公式融=c o s 6+i s i n0,这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可 得 =()A.0 B.I C.-1 D.i解：公式融=c o s O+i s i ne,这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得d n=c o s n+i s i nn=-1.故选：C.3 .从一批零件中抽取80 个,测量其直径(单位:m m),将所得数据分为9 组：5.3 1,5.3 3),5.3 3,5.3 5),|5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于5.43?的个数为()骊本解：由频率分布直方图可知，直径不小于5.43 访 频 率 为(6.2 5+5+5)X0.0 2=0.3 2 5,故在被抽取的零件中，直径不小于5A3mm的个数为0.325X80=26个.故选：C.4.如图，平面四边形ABC。的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为擀，直 线 的 斜 率 为9 1解：由题意得 tan/B A C=,tan/B C 4=,3 22 1所以则 tanZ ABC=-tan(fiAC+ZBCA)=-乙=.1 v 2故选：c.5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1”测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 y 随时间x 变化的规律（）A.y=nvc2+n(zn0)B.y=max-st-n(/w0,0 0,a 1)D.y=mogax+n(m 09 0,aW l)解：由题意知茶水温度y随时间x的增大而减小，在0,+8）上是单调减函数,所以4 c o中的函数都不满足题意，只有选项B满足题意.故选：B.6.已知点。为 A BC的外心，4 8的边长为2,则75.而=（）A.-1 B.1 C.2 D.4解：.点。为 A 8C的外心，A B的边长为2,如图：设A B的中点为。，连接。，则 A O-A B（A D+DO）*A B=A D-A B+DO-A B=y A B0 22,故选：C.7.如图，在长方体A BC。-481 Go i中，A B=A D=l,A 4i=2.M为 棱 上 的 一 点，当4 M+M C取得最小值时，Bi M的 长 为（）A.B.捉 C.2 nCi绕力。逆时针转90 展开，与侧面4OC1 A 1共面，如图所示,连结4 C,当4,M,C共线时，4 M+M C取得最小值，由 A Q=C Q=1,A 4=2,得 M 为。i 的中点，在长方体A B C D-AIBIGDI中，因为54 J _平面A O D 1 4,又4 Mu平面A。山,则 B A _ L 4M,4 M=&,故B 1 M=J B A 2+A H 2=+（&）2=故选：A.8.正 实 数 Zb c 满足。+2一=2,6+3=3,c+log4c=4,则实数m b,c 之间的大小关系为（）A.b a c B,a b c C.a c b D,b c a解：C+log4C=4=k）g4c=4-c,即 c 为函数y=log4r与 y=4-x 的图象交点的横坐标;b+3=3=l+3方=4-b,即b为函数y=l+3x与 y=4-x 的图象交点的横坐标；a+2a=2=2 J =4-a,2a即 a 为函数y=2+劣 与 y=4-x 的图象交点的横坐标;在 同 坐标系中画出图象，可得bVaVc.故选：A.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出3 2一个球，下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为！6B.2个球中恰有1个红球的概率为C.至少有1个红球的概率为1D.2个球不都是红球的概率为方解：设从甲袋中摸出一个红球为事件A,从乙袋中摸出一个红球为事件B,则2个球都是红球的概率为P(A B)=5x=，故A正确，2 3 62个球中恰有1个红球的概率为P (A )+PX+,故8正确，3 2 3 2 2至少有1个红球的概率为1-P (标)=1 故C正确，2个球不都是红球的概率为P=1 -P (A B)故。不正确.6 6故选：AB C.1 0.已知函数/(x)=(s i a r+c o s x)|s i i u:-C O S A*|,下列说法正确的是()A./(x)是周期函数B./(%)在区间-兀夕，兀夕 上是增函数L-KC.若I f (用)1+1/(X 2)1=2,贝l J x i+及=5 一(依Z)D.函数g (x)=于 3+1在区间 0,2汨上有且仅有1个零点解：/(x )(s i n x+c o s x )|s i n x -c o s x|=cos 2 x-s.in 2xV,sin 2 x-co s 2Vx,sinxCcosxsin x c o s xcos2x,sinx 0,b 0）的左、右焦点，过 F i 作倾斜角I/为二丁的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点 P,且|P M|=|M Q|,下列判断正确的是（）A.E的渐近线方程为尸土B.MF2 =PF C.E的离心率等于2+D.N F P F 2=6解：如右图，由|PM=|MFI|,可得M 为 P F 1 的中点，又。为尸 凡 的中点，可得 OM 尸 B,Z P F 2F 1 =9 0,NPFIF2=60。,/尸=3 0 ,|姐|=/吗，故 B正确，正确；设尸匹|=2c,则|尸 m=%=4 c,|P F2|=2c t a n 6 0=2 c,cosbO则 2a=|P F i|-PF2=(4-2/3)c,可得 e2c(4-2正)cV6+4/3,则双曲线的渐近线方程为y=-x即为y =土 找 两 金.a故C正确，A错误.1 2.已知函数f(x)=e -c o s x,x G R,下列判断正确的是()A.f(x)在(-2n,-单调递增B./在(-n,0)有2个极值点TTC./在(-如，-)仅 有1个极小值D.当-2T T 时，f(x)W1解：函数/(x)=ex-c o s x,则/(x)=ex+srvc,对于A,当x e (-2 m-)时，/(x)0,所以f(x)单调递增，故4正确;对于8,函数/(x)=e +s i nx的零点，即为方程/(x)=0的根，作出函数)，=-s i nx与函数y=d的大致图象，如图所示：由图象可知，当(-n,0)时，函数了=-s i nx与 函 数 有 两 个 交 点,则方程，C O =0有两个实根，所以/()在(-n,0)有2个极值点，故B正确;对 于 C,由图象可得，函数），=-s i nx 与函数y=e 0,/（x）单调递增，J T在（迎，-）上，/（X）,当 x=-3T T 时，/（x）=-3+1 1,故 错误.故选：AB.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3 .写出一个最大值为4,最小值为-2的周期函数/（x）=3 s i nx+l.解：先考虑常见的周期函数y=s h u,然后根据最大值为4,最小值为2,结合正弦函数的有界性，所以符合条件的一个函数/（x）=3 s i nx+l（答案不唯一）.故答案为：/（x）=3 s i t u+l（答案不唯一）.1 4 .已知展开式（2 x-1）n=ao+aX+a2X2+-+anxn（nGN*）中，所有项的二项式系数之和为6 4,则。|+。2+。“=0.（用数字作答）.解：展开式（2 x -1）=ao+ax+a+anxn（/?GN*）中，所有项的二项式系数之和为2 =6 4,令尤=0,可得。0=1,再令 X=1 ,可得 1+。1+。2+。6=1 ,，ai+a2+4 =4|+。2+。6 =0,故答案为：0.1 5.若数列%满足递推公式为+2=+1+%（WN*）,且 1=2,02 02 0=2 02 1,则 1+4 3+4 5+Q 2 01 9=2 02 1 .解：。+2 =。+1+%（nGN*）,且 4 2 02 0=2 02 1,a+3+5+,+。2 01 9=2+3+5+2 01 9=。4+5+。2 01 9=4/2 01 8+2 01 9=42020=2 02 1 ,故答案为：2 02 1.1 6 .已知一圆锥纸盒母线长为6,其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为。的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则的最大值为2 .解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长。最大时，正方体外接球为圆锥内切球，设圆心为P,半径为 轴截面上球与圆锥母线切点为Q,SOLAB,S O 平分A B,由S A 8 为正三角形，SA=SB=AB=6,O A =O B=3,因为P B 为N S A B的角平分线，所以N P 8A=3 0,P O=O 8t an3 0=r，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R=a，又正方体外接球为圆锥内切球，所 以 愿 a=2 r=2 j，故。=2,所以的最大值为2.故答案为：2.四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.TT1 7 .已知函数/(x)=s i nx+s i n(x+-).3(1)求/(X)的最小正周期；(2)在A A B C 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(C)=,s i nB=2 s i nA,且 A B C 的面积为2,求边c 的值.解：(1)f(x)=s i nx+s i n(x+-)=s i r t r+s i r u+c o s x3 2 2=(s i nx+-c o s x)=/s i n(A+-),2 2 6最小正周期T=T=2T T.(2)V/(C)=,A V s s i n(C+-)=,即 s i n(C+-)=1,6 6兀Vce(0,n),:.c=,3由正弦定理知，r 丁=/丁，sinA sinBV s i nB=2 s i n 4,:b=2a,:X N B C 的面积为 2y 浦s i n C,：.ab=S,ci-一 (eN*),且 0=4.an-3(1)证明：数列-是等差数列；an-2(2)记 儿=(2-an)(2-z+i),4为 d 的前”项和，求耳.a-4【解答】(1)证明：.a“+i=r(C N*),且 ai=4,1.-I-an+l-2 an-2-2 an-2an 3又 二 一=_=2a2 4-2 21；数歹U 一7 是首项为，公差为-1 的等差数歹!han 2 21 1 Q(2)解：由(1)可得：7=4-(-1)=42 2=(2 n-3)k-l)=2(熹-袅T”=2(-1 -1+1 +-)=2 (-1-)=3 3 5 2n-3 2n-l 2n-l l-2n19 .如图，四边形A B C。为菱形，四边形B D E F 为平行四边形，F A=F C,AB=2,Z D A B=6 0.(1)求证：A C L B F；(2)若F B=F D,且二面角E-A F-B为135,求多面体A8CDEF的体积.【解答】证明：(1)设AC与 交 于。点，连接尸。,.四边形A3CZ)为菱形，。为AC的中点，：FA=FC,：.ACOF,又 O F C B D=O,BDEF,而 BFu平面 8QEF,J.AC1.BF；解：(2)连接。凡 ：FB=FD,：.OFLBD,y.ACOF,H A C n B D=O,：.(?F ABCD,以。为坐标原点，分别以OA,OB,OF所在直线为无，y,z轴建立空间直角坐标系,；AB=2,NZMB=60。，；.A(,0,0),B(0,1,0),。(0,-1,0),设F(0,0,a)(a 0),再设平面AEP的法向量为n=(x,y,)，AE=a)，则n AE=-JXi-2y+az i=0 _一 一 ，取 为=，得二=(a,0,6)，n*AF=-v3x1+az j=0设平面 ABF 的法向量为m=(x2，丫2 z2,AB=(-A/3 0),m则 一m.知=_ 聪*2+了2=0,AF=-V3x2+az2=0取X 2=a,则%=(a,愿a,百)，I in*n I a+3 八|cos l=罟*7 F i-S=|cosl35|=耳,Iml-In I V3+aJ,V3+4a 2即 2tz4+32-9=0,解得 a=(a 0),2由(1)知，A C l ffi B D E F,。为 AC的中点,:.VABCDEF=VA-BDE计 V c-BDEF=2 VA-BDEF-二 S四边形BDEF=|B D|X|0F|=2 X-=/g VA BCDEF=2 X”四边形 BDEFX I A O l=2x|x x=2&./.多面体A B C D E F的体积为2&.20.2020年新高考数学首次引入了多选题，让数学基础和数学能力在不同层次的考生都有了发挥的空间，同时更加精确地发挥数学科考试的选拔功能.某校为了解学生对引入多选题的看法，从高三年级1000名学生(其中物理类600人，历史类400人)中采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到一个不完整的2 X 2 列联表.(1)请将下面的2 X 2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为赞同引入多选题与选科有关？说明你的理由：物理类 历史类 总计赞同引入多选题 25不赞同引入多选题 30总计(2)多选题的评分标准是：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有错选的得0 分，有漏选的得2 分.在一次考试中，命题人对甲、乙两道多选题分别设置了 2 个 和 3 个正确选项，假设某位考生在作答这两道题时相互独立，且做甲题时得2 分的概率为导，得 5 分的概率为；做乙题时得2 分的概率为?，得 5 分的概3 6 4率 为 卡；设这位考生在作答这两道多选题时的得分和为X,求 X 的分布列及数学期望.参考公式：心=-二 目c.)-,其中na+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(烂 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001ko 0.4 5 5 0.7 08 1.3 2 3 2.07 2 2.7 06 3.8 4 5.02 4 6.6 3 5 7.8 7 9 10.8 3解：(1)由题意知，物理类与历史类的人数之比为6 00：4 00=3：2,所以分层抽样抽取的100名学生中，物理类的人数为1 0 0 x 3=6 0 名，历史类人数为4 05名，补充完整的2X2列联表如下,物理类历史类总计赞同引入多选题3 02 55 5不赞同引入多选题3 0154 5总计6 04 0100所以 嗜蟹5/产,故没有9 0%的把握认为赞同引入多选题与选科有关.(2)X的所有可能取值为0,2,4,5,7,10,P(X=0)=(1-9 -1 )X (1-29-1)=1 X1-3 6 4 12 6 6136P(X=5)P(X=7)P(X=2)6 4 3 61772U 1,ly1,16 12 6 6 242乂 l+ly3 133 12 6 4 72P(X=4)=2-X 3 =1,3 4 2(X=10)=X612 72P所以X的分布列为X0245710P1361772512413721721数学期望E(X)=0X +2X+4X-5 X -7 X +10X=-=36 72 2 24 72 72 72.4912,2 1.如图，抛物线C：V=8x与动圆M：(%-8)2+/=(r 0)相交于A,B,C,。四个不同点.(1)求 r 的取值范围；(2)求四边ABC。面积S 的最大值及相应，的值,解：(1)联立抛物线V=8 x 与圆M：(x-8)2+炉=/o o),可得N-8X+64-产=0,由题意可得4=6 4-4 (6 4-/)0,且 4 8-户 0,4正，所以 4 j O 8；(2)设 N -8x+64-3=0 的两个根为加，X2f且OVXIVQ,可得 XI+12=8,XX2=M-r2,由抛物线和圆都关于x 轴对称，可设A(xi,x),D(xi,-2&百)，C(X2,-2&,B(X2,2&,则 S=I(|A)|+|BC|)(%2-xi)=*(4 V2+4 2 )*(皿-xi)=2 V 2 7X1+X2+2VX IX2-7(X1+X2)2-4X1X2=8d 鼠6 4-，716-(64-，)可令 t=Y 64_2e 0,8),设 f =屋=64(4+/)(16-t2),即/(Z)=-64 3+4/2 _ 1 6/_ 6 4),f (r)=-64(3/2+8z-16)=-32(/+4)(3 r-4),当 0 f f(x)为/(x)的导函数.(1)当 m=l时，求，(x)的极值;(2)当x20 时，/(x)20 恒成立，求机的取值范围.解：(1)m=1 时，/(%)-x2-x-1,故，(x)=0，-2x-1,设 g (x)=f(x),则 gr(x)=ex-2,于是，在(-8,历2)上，g (x)0,g(x)单调递增，且 g (M2)=0,故 g(%)有极小值g (加2)=1-2/n 2,且 g (x)没有极大值，也即/(无)有极小值/(仇2)=1-2 历2,没有极大值；(2)f(x)20,即 2%2 n z (x2-x+l),ex-2 x又12-x+i o,故 mw j-(x O),X-x+1.3.ex-2 x (m u/,/(x T)e x-2)+2(x+l)设力(x)=-(x N O),则/?(x)=-2 ，x -x+l (x2-x+l)设(p (x)(x -2)+2 (x+1),则 0,p (x)单调递增，故(p (x)2(p (0)=0,故 x 0,1)时，h(x)0,故 力(x)在 0,1)递减，在(1,+8)递增，故 h(x)2 (1)=e-2,故?的取值范围是（-8,e-2 .