2021届高考数学强基计划模拟题16附答案解析.pdf

2021届高考数学强基计划模拟题16一、单空题(本大题共8小题，共4 0.0分)1 .在平面内，R t A A B C中，BA 1 CA,=AC2+A B2,空间中，在四面体V-B C D中，VB,VC,UD两两互相垂直，且侧面的3个三角形面积分别记为工，5 2,S 3，底面A B C D的面积记为S,类 比 平 面 可 得 到 空 间 四 面 体 的 一 个 结 论 是.2 .将正整数排成如图，则在表中第4 5行第83个数是.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 163 .观察下列等式:(1 +X+X2)1=1+X+X2,(1 +x +x2)2=1 +2久 +3x2+2x3+x4,(1 +x +x2)3=1 +3%+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,(1 +x +x2)4=1 +4 x +1 0 x2+1 6x3+1 9x4+1 6xs+1 0 x6+4 x7+x8,.由以上等式推测：对于n e N*,若(1 +x +/)=劭+a/+F a 2 nx之 则=4 .观察如图所示的三角形数阵，据规律可得该数阵第6行第3个数为,1第7行 各 个 数 之 和 为.1 23 5 74 8 16 329 11 13 15 175 .表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第/列的数为%.则表中的数5 2共出现 次.234567357911134710131619591317212561116212631 71319253137 .6.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过C城市；乙说：我没有去过4城市；丙说：我们三人去过同一城市.由 此 可 以 判 断 乙 去 过 的 城 市 是.7.观察下列数表，1 2 3 4 7 8 9 103 5 7 15 17 198 12 32 3620 68如此继续下去，则 此 表 最 后 一 行 的 数 为.（用数字作答）8.大家知道：在平面几何中，三角形的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心，并且重心分中线之比为2：1（从顶点到中点）.据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心.类比上述命题，请写出四面体重心的一条性质：.二、解 答 题（本大题共3小题，共36.0分）9.列三角形数表1.第一行2 2-第二行3 4 3-第三行4 7 7 4-第四行5 11 14 11 5假设第n行的第二个数为a/n 2,n e N*)(1)依次写出第六行的所有数字；(2)归纳出a“+i与斯的关系式并求出即的通项公式;(3)设0n8n=1,求证：(2+b3 T-i-bn 2.1 0.(本小题满分10分)选修4 1：几何证明选讲如图，是。的直径，弦BD、C4的延长线相交于点E,F为84延长线上一点，且S Z)5 5 =丽求证:乐i即:(2)/丽/网=蜉11.下 面(4)(B)(C)(D)为四个平面图形：(1)数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整:交点数边数区域数4525812515(2)观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E、F、G,试猜想E、F、G之间的数量关系(不要求证明).(5)(0)(D)参考答案及解析1 .答案：S：B CD=S如B C+S/VCD+S如DB =+,2 3解析：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得SB CD=S&BC+S如CD+IVDB S2=+S2+-故答案 为:SB CD=SVBC+S如CD+SVDB=5 2 =s +S/+S/.斜边的平方等于两个直角边的平方和，边对应面.可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和.本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理.2 .答案:2 0 1 9解析：解：根据题意，由因为每行的最后一个数分别为1,4,9,1 6，所以由此归纳出第n行的最后一个数为足，则第4 4 行的最后数为4 4 2 =1 9 3 6,则第4 5 行第1 个数为1 9 3 7,故第4 5 行第8 3 个数为2 0 1 9；故答案为：2 0 1 9根据题意，分析可得每一行最后一个数的规律得到第n行的最后一个数为小,即可得第4 4 行的最后数，据此分析可得答案.本题考查归纳推理的应用，关键是分析各行的变化规律，属于基础题.3 答 案.ri*（n+i）J 口 2解析：解：由已知中的式了，我们观察后分析:等式右边展开式中的第三项分别为：1,3,6,1 0,即：1,1 +2.1 +2 +3,1 +2 +3 +4,.根据已知可以推断:第7 1(z 1 E N*)个等式中为:九*（九+1）1 +2 +3 +4 +九=-故答案为：至 等本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1,3,6,1 0,，归纳后即可推断出的等式.归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.4.答案：256 175解析：解：根据题意，三角形数阵，第n行有n 个数，奇数行为公差为2的等差数列，偶数行为公比为2的等比数列，故第6行的6个数为64、128、256、512、1024、2 0 1 8,故该数阵第6行第3个数为256；第7行共7个数，第一个数为1 9,是公差为2的等差数列，故第7行各个数之和为19 x 7+竽 x 2=175；故答案为:256,175.根据题意，分析三角形数阵的规律，得到第6行和第7行的数字规律，据此分析可得答案.本题考查归纳推理的应用，注意分析三角形数阵的规律，属于基础题.5.答案：4解析：解：。所表示第n行第n列的数，由题意知第n行是首项为n+1,公差为n的等差数列，:，ann=（n+1）+（n 1）x n=n2+1.第i行第/列的数记为4,.那么每一组i与1的解就是表中一个数.因为第一行数组成的数列4/0 =1 2）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以 4“=2+0 l）x l=/+l,所以第7列 数 组 成 的 数 列=1 2）是以j+1为首项，公差为/的等差数列，所 以 旬=j +1+（_ 1）X j =ij+1.令 4炉=ij+1=52,即“=51=1 x 51=17 x 3=3 x 17=51 x 1,故表中52共出现4次.故答案为：4.表示第n行第n列的数，由题意知第n行是首项为n+1,公差为n的等差数列，由此能求出即4；利用观察法及定义可知第1行数组成的数列4/0 =1,2,）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第/列数组成的数列&/(i =1 2)是以1 +1 为首项，公差为/的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果.此题考查行列模型的等差数列的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的性质.6 .答案：B解析：本题主要考查简单的合情推理，属于基础题.解题时，要抓住关键，逐步推断.可先由乙推出，乙可能去过B 城市或C城市，而由甲推出只能是B,C 中的一个，再由丙即可推出结论.解：由乙说：我没去过4 城市，则乙可能去过B 城市或C城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过C城市，则乙只能是去过B,C两城市中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市是B.故答案为B.7 .答案：2 8 1 6解析：解：由图表可知，第n行的第一个数等于第n-l 行的第一个与第二个数之和，且第n行为公差为2 一 1 的等差数列，设第n行的第一个数为即，则斯+1 =2an 4-2rlt,则(1 5 =4 0 +2 3 =4 8,a6=9 6 +24=1 1 2 a7=2 2 4+25=2 5 6,a8=5 1 2 +26=5 7 6,a9=1 1 5 2 4-27=1 2 8 0,aw=2 5 6 0 +28=2 8 1 6,即此表最后一行的数为2 8 1 6,故答案为：2 8 1 6.由数列的递推关系及归纳推理得：第n行的第一个数等于第n-1行的第一个与第二个数之和，且第兀行为公差为2 所1 的等差数列，设第r i 行的第一个数为斯，则斯+1 =2an+2 T,则a 。=2 5 60 +28=2 8 1 6,得解.本题考查了数列的递推关系及归纳推理，属中档题.8 .答案:3：1解析：解：如图所示，AE,B P 为四面体的中轴线，P,E 分别为A CD,八 8 C D 的重心，/；连结皿因为 4 P：PF=2：1,B E：EF=2,1,所以4 P：PF=B E：EF,PE/AB,所以A G：GE=BG-.GP=AB-.PE=3：1.故答案为：3：1.本题考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍的结论是二维线段长与线段长的关系，类比后的结论应该为三维的边与边的比例关系.本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.9.答案：（I）解：第六行的所有6个数字分别是6,1 6,2 5,2 5,1 6,6；（口）解：依题意an+i =即+n（n 2 2）,a2=2,an=a2+（3 a2）+（a4-a3）4-F （an an_ i）=2 +2 +3+（n-l）=2 +心 产1 2 1.1*C Ln n-7 1 +1;n 2 2（皿）证明：;即 垢=1,.=/9/&=2（一，1 b2+b3+-+bn=2 （1 -1 +|-1 +-+-；）=2（1 -；）2.解析：（/）根据三角形数表，两侧数为从1 开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来.（）依 据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有即+i =册+?1（M 22）,再由累加法求解.（/）由即 垢=1，解得数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论.本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，考查裂项法的运用，属于中档题.10.答案：证明：(1)连接力D,贝代4 8 是。的直径，4ADB=90。,AD BF在 A/lOB 和 AEFB 中，B D B E =BA-BF-=,RA RR又乙DBA=ZEBF,s ADB4 EFB,贝此EFB=/LADB=90,EF 1 FB；(2)在4CB 中，ADB=/.ADE=90又4EFB=90。E、F,4、。四点共圆，4 DFB=Z.AEB,又 是。的直径，则4ACB=90。，.D F B +乙 DBC=Z.AEB+乙 DBC=90.解析：本题考查三角形的相似，考查四点共圆，掌握三角形相似的判定方法是关键.BD BF(1)利用8。BE=BA B凡 可 得 封=，从而可知A O B sE F B,可得NEFB=/4 D B,利用DA tia4B是。的直径，即可得到结论;(2)先证明E、F、力、。四点共圆，从而可得功FB=U E B,利用4B是。的直径，可证结论成立.I I .答案：解：(1)交点数边数区域数452(B)584(G8125(D)10156(2)观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E,F,G,猜想E,F,G 之间的等量关系E +G F =1.解析：(1)本题给出平面图形的交点数、边数、区域数，只要用数出结果填入表格即可.(2)观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E,F,G,即可猜想E,F,G 之间的等量关系.本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出几个平面图形的交点数、边数、区域数写猜想E,F,G 之间的等量关系，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙.