2021年广东省广州市中考数学试卷含解析.pdf

2021年广东省广州市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共10题，每 小 题 3 分，满 分 30分）1.（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（）A.0 B.-0.5 C.-/2 D.-22.（3 分）如图，在数轴上，点 4 B 分别表示a、b,且 a+b=0,若 8 8=6,则点4 表示的数为（）-1-A-B xA.-3 B.03.（3 分）方 程 工=2 的解为（）x-3 xA.x=-6 B.x=-24.（3 分）下列运算正确的是（）A.|-（-2）|=-2C.（求校）2=济便5.（3 分）下列命题中，为真命题的是（C.3 D.-6C.x=2 D.x=6B.3+X/3=3A/3D.(a-2)2=a2-4（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)6.（3 分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这4 名学生中随机抽取2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（）A.2 B.工 C.1 D.工3 2 3 67.（3 分）一根钢管放在1/形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm,若NACB=60,则劣弧4 8 的长是（）第1页（共28页）CA.8jtcmB.1QncmC.32ncmD.192ncm8.（3 分）抛物线y=ax2+加;+c经 过 点（-1,0）（3,0）,且与y 轴交于点（0,-5）,则当x=2 时，y 的值为（）A.-5 B.-3 C,-1 D.59.（3 分）如图，在 RtZvlBC中，ZC=90,4C=6,B C=8,将ABC绕点4 逆时针旋转得到，使 点 C 落在A 8边上，连结,则 s in/B C的值为（）10.（3 分）在平面直角坐标系X。），中，矩形O4BC的点A 在函数丫=工（x 0）的图象上,X点 C 在函数y=-4（x=1,则 AO的长为第2页（共28页）14.（3 分）一元二次方程大-叙+机=0 有两个相等的实数根，点A（小，月）、B 1 2,北）是反比例函数=典上的两个点，若 占 义2 或“=x15.（3 分）如图，在AABC中，AC=BC,28=38,点。是边AB上一点，点 B 关于直线 CZ）的对称点为B,当 B OAC时，则/B C Q 的度数为16.（3 分）如图，正方形45CD的边长为4,点 E 是边BC上一点，且 B E=3,以点A 为圆心，3 为半径的圆分别交AB、A D于点F、G,D F与A E交于点H.并与 4 交于点K,连 结H G、C H.给 出 下 列 四 个 结 论.其 中 正 确 的 结 论 有（填写所有正确结论的序号）.（1）H 是 FK的中点（2）”GZ桂HEC S/H G：S”/c=9：16、7（4）D K=5三、解 答 题（本大题共9 小题，满 分 72分）第3页（共28页）17.（4 分）解方程组Y=X-4.（x+y=618.（4 分）如图，点E、F 在线段 BC 上，AB/C D,N A=N D,B E=C F,证明：AE=D F.19.（6 分）己知A=（典-旦）.迪 巴n m m.-n（1）化 简 A；（2）若 m+n-2 5/3=0.求 A 的值.20.（6 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统 计 得 到 该 2 0 名 学 生 参 加 志 愿 者 活 动 的 次 数 如 下：3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数 1 23456人数 1 2a 6 万 2（1）表格中的。=,b=；（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为,中位数为；（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4 次的人数.21.（8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，己累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6 万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？22.（10分）如图，在四边形A8CO中，NA8C=90,点 E 是 AC的中点，且4C=AO.（1）尺规作图：作NCAO的平分线A F,交CD于 点F,连 结EF、B F（保留作图痕迹，不写作法）；第4页（共28页）(2)在(1)所作的图中，若/5 4。=4 5 ,且N C 4 O=2/8 A C,证明：BE F为等边三角形.2 3.(1 0分)如图，在平面直角坐标系x O y中，直线/：y=,x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P(x,y)为直线/在第二象限的点.(1)求4、B两点的坐标；(2)设勿。的面积为S,求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)作P A O的外接圆0C,延 长P C交OC于 点Q,当 P O Q的面积最小时，求G)C2 4.(1 2 分)已知抛物线 y=2 -(T Z+1)x+2m+3.(1)当机=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；(2)该抛物线的顶点随着 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点E(-1,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段E F只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.2 5.(1 2分)如 图，在菱形A BC。中，ZD AB=60 ,A B=2,点E为边A B上一个动点，第5页(共28页)延 长 8 A 到 点F,使A F=A E,且C F、DE相交于点G.备用图(1)当点E运动到AB 中点时，证明：四边形Q F E C 是平行四边形；(2)当 CG=2时，求 4E的长；(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求 点 G运动路径的长度.第6页(共28页)2021年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共10题，每小题3 分，满分30 分）1.（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（）A.0 B.-0.5 C.V 2 D.-2【分析】根据整数的概念可以解答本题.【解答】解：A、0 是整数，但 0 既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；以-0.5 是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；C、-历是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；。、-2 是负整数，故此选项符合题意.故 选：D.【点评】本题主要考查了实数的分类.明确大于0 的整数是正整数，小 于 0 的整数是负整数是解题的关键.2.（3 分）如图，在数轴上，点 A、8 分别表示a、b,且 +b=0,若 A B=6,则点4 表示的数为（）-1-1-A B xA.-3 B.0 C.3 D.-6【分析】根据相反数的性质，由a+b=0,A B=6得 a0,b=-a,故A8=b+（-）=6.进而推断出a=-3.【解答】解：z+b=o,=-b,即 与b 互为相反数.又 A8=6,:b-4=6.：.2h=6.：.b=3.a=-3,即 点 4 表示的数为-3.故选：A.【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键.第7页（共28页）3.(3分)方程-1 _=2的解为()x-3 XA.x=-6 B.x=-2 C.x=2 D.x=6【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论.【解答】解：去分母，得x=2r-6,；.x=6.经检验，x=6是原方程的解.故 选：D.【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键.4.(3分)下列运算正确的是()A.|-(-2)|=-2 B.3+73=3A/3C.(。2。3)2=4b6 D.(。-2)2 =次 一4【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幕的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可.【解答】解：4、I-(-2)1=2,原计算错误，故本选项不符合题意；B、3与6不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C、(a2b3)2=6,原计算正确，故本选项符合题意；D、(a-2)2=a2-4a+4,原计算错误，故本选项不符合题意.故选：C.【点评】本题考查绝对值、二次根式、愿的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键.5.(3分)下列命题中，为真命题的是()(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；第8页(共28页)（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意;（4）有一个角是直角的平行西边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为（1）（4）,故选：B.【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大.6.（3 分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这4 名学生中随机抽取2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（）A.2 B.A C.-1 D.-13 2 3 6【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2 名女学生的结果有6 种，再由概率公式求解即可.【解答】解：画树状图如图：开始女 女 女 男/T /N ZN/N女 女 男 女 女 男 女 女 男 女 女 女共 有 12种等可能的结果，恰好抽到2 名女学生的结果有6 种，.恰好抽到2 名女学生的概率为且=工，12 2故选：B.【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.7.（3 分）一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm,若N A C B=60,则劣弧A 8 的长是（）第9页（共28页）A.QuernB.1 6n c v nC.3 2 T tc,”D.192ncm【分析】首先利用相切的定义得到/OA C=N OB C=90 ,然后根据N A C B=60 求得/A 0 8=1 2 0。，从而利用弧长公式求得答案即可.【解答】解：由题意得：C 4 和 CB分别与。分别相切于点A和 点B,：.OA1.C A,OB A.C B,.N OA C=N O8C=90 ,：N A C B=60 ,A ZA（9B=1 2 0 ,.1-2-0-兀-X-2-4-=1 6n （cm、）,180故选：B.【点评】考查了弧长公式和切线的性质，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答，属于基础题.8.（3分）抛物线y=a x 2+/zr+c 经 过 点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,则当x=2时，y的值为（）A.-5 B.-3 C.-1 D.5【分析】根据抛物线于x周两交点，及 于 y 轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y=-5.【解答】解：如图.,抛物线y=N+b x+c 经 过 点（-1,0）、（3,0）,且与y 轴交于点（0,-5）,二可画出上图,抛物线对称轴x-1+3=1,2第10页（共28页）,点（0,-5）的对称点是（2,-5）,第11页（共28页）.当x=2 时，y 的值为-5.故选：A.【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键.9.（3 分）如图，在 RtZVIBC中，NC=90,AC=6,8 c=8,将ABC绕点A 逆时针旋转得到AAB C ,使 点 C 落在AB边上，连结B 8,则 sin/BB C的值为（）【分析】在 RtAABC中，利用勾股定理可求4 8,由旋转的性质可得AC=4C=6,BC=8。=8,NC=NACB=90,在RtZxBBC中，由勾股定理可求8B的长，即可求解.【解答】解：VZC=90,AC=6,BC=8,/18=2+8,2=出 6+64=10.将AABC绕 点 A 逆时针旋转得到AB C,；.AC=AC=6,8 c=BC=8,NC=NACB=90,：.BC=4,BB=个0 2+B C，=V16+64=W 5,：.snZBB C_BCZ _ 4-V 545 5故选：c.【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键.10.（3 分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A 在函数丫=工（x 0）的图象上,X点C在函数y=-4 （x 0),贝 ll C(-,2m),A D OD OA 1 m m由O E=O-(-2)=2 得到m-(-X)=2,解分式方程即可求得A的坐标.m m 2 m【解答】解：如图，作 AO_Lx轴 于 D,CE_Lx轴 于 E,四边形048。是矩形，：.ZAOC=90,A ZAOD+ZCOE=90,a：ZAOD+ZOAD=90,：.ZCOE=ZO AD1：/C E O=/O D A,:.COES/OAD,SACQE,匹)2,Q E _ C E 二OC A OD OA A D OD OA；SAC O E=X-4|=2,X 1-.OE C E _ 0 C _ 2*A D -0 D _ 0 A 1：.0E=2AD,CE=20D,设 A(/小)(zn0),m2C(-,21n)fm2 2：.O E=0-(-)=,m m7,点B 的横坐标为-向,.r 7、_22 m整理得 2?2+7L4=0,:/%=之，改=-4(舍去)，A(,2),2故选：A.第13页（共28页）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数&的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键.二、填 空 题（本大题共6 小题，每 小 题 3 分，满 分 18分）11.（3 分）代数式正在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 x46.【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数.【解答】解：代数式J R在实数范围内有意义时，x-6N 0,解 得 x26,.X应满足的条件是x 2 6.故答案为：x26.【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.12.（3 分）方程x2-4x=0的实数解是 X=0,乂 2=4.【分析】方程利用因式分解法求出解即可.【解答】解：方 程 农-4丫=0,分解因式得：x（%-4）=0,可得x=0 或 x-4=0,解得：虫=0,-2=4.故答案为：.=0,X2=4.【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.13.（3 分）如图，在RtZ4BC中，ZC=90,ZA=30,线段AB的垂直平分线分别交AC、4 8 于点。、E,连接8 D.若 C=1,则 4。的长为 2.第14页（共28页）【分析】由线段垂直平分线的性质可得A D=B D,利 用 含 3 0 角的直角三角形的性质可求 解 BO的长，进而求解.【解答】解：。七垂直平分48,：.AD=BDf：.NA=NABO,V ZA=30,A ZABD=30,A ZBDC=ZA+ZABD=300+30=60,V Z C=90 ,：.ZCBD=30,VCD=1,：.BD=2CD=2f：.AD=2.故答案为 2.【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，含3 0 角的直角三角形的性质，求得AQ=8。是解题的关键.14.（3 分）一 元 二 次 方 程-4x+m=0有两个相等的实数根，点A（可，）、B（起，北）是反比例函数尸典上的两个点，若%2 _ 龙（填“”或“”或“=”）X【分析】由一元二次方程根的情况，求得机的值，确定反比例函数）=典图象经过的象X限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论.【解答】解：一元二次方程x2-4x+,=0 有两个相等的实数根，=16-4m=0,解 得 机=4,第15页（共28页）第16页（共28页）.反比例函数），=典图象在一三象限，在每个象限），随工的增大而减少，X,.“1 2 0,故答案为.【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.15.（3 分）如图，在A4BC中，AC=BC,NB=38,点。是边AB上一点，点 B 关于直线 CD的对称点为，当 8 CAC时，则NBC）的度数为 33.【分析】先根据等腰三角形的性质得到NA=NB=38,再利用平行线的性质得N4D8=ZA=38,接着根据轴对称的性质得到NCOS=N C D B,则可出NCDB的度数，然后利用三角形内角和计算出NBCC的度数.【解答】解：AC=BC,；./4=/8=3 8 ,：B D/AC,：.ZADB=NA=38,:点 B 关于直线CD的对称点为B ,：.ZCDB=Z C D B=-（38+180）=109,2.ZBCD=180-ZB-ZC）fi=180-38-109=33.故答案为33.【点评】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等.也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质.16.（3 分）如图，正方形A8C。的边长为4,点 E 是边8C 上一点，且 B E=3,以点A 为圆心，3 为半径的圆分别交AB.A D于 点 F、G,D F与A E交于点H.并与 4 交于点K,连 结H G、C H.给出下列四个结论.其中正确的结论有 （填写所有第17页（共28页）正确结论的序号).(1)”是F K的中点(2)A W G D A W E C(3)%HG：5夕改=9：16(4)D K=Z-【分析】(1)先证明A B E丝 I M F,得N A F D+N 3 4 E=N A E B+N B 4 E=9 0 ,A H LFK,由垂径定理，得：FH=H K,即 是F K的中点；(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；(3)分别过H分别作H M A.A D于M,H N A.B C于N,由余弦三角函数和勾股定理算出了 HM,H T,再算面积，即得 SHG：$M C=9：16；(4)余弦三角函数和勾股定理算出了F K,即可得。K.【解答】解(1)在A B E与 D 4 F中，A D=A B/D A F=/A B E,A F=B E/XAB E/XD AF(S A S),Z A F D=Z A E B,：.N A F D+N B A E=N A E 8+N B 4 E=9 0 ,J.AHLF K,由垂径定理，得：F H=HK,即”是 尸K的中点，故(1)正确；(2)如图，过”分别 作F W _ L4 )于M,H N L BC于 N,第18页(共28页)A8=4,BE=3,-A=VAB2+BE2=5,ZBAE=ZHAF=NAHM,COS Z BAE=COS Z HAF=COS ZAHM,.A M _ A H _ A B _ 4 A H A F -A E 5，.”=旦 壁，5 2 5；.HN=4-壁=丝，2 5 2 5即 HM丰HN,：MN/CD,：.MD=CN,V/D=VH M2+M D2,H CJH/RM，:.HC 手 HD,.HG）gZHEC是错误的，故（2）不正确;(3)由(2)知，AM=VAH2-H M2=7T,:MN CD,；6 4,M D=H T=g2 5C4AG H M.AAHG _ 2_ _ 9SAHCD-17:.D K=D F-F K=故（4）正确.5【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键.三、解 答 题（本大题共9小题，满 分7 2分）1 7.（4分）解方程组x到=6【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.【解答】解：，十丝，x+y=6 将代入得，x+（x -4）=6,*x=5,将 尤=5代入得，尸1,方程组的解为ly=l【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.1 8.（4 分）如图，点E、尸在线段 B C上，AB/CD,N A=N ,B E=C F,证明：A E=Q F.【分析】欲 证AE=DF,可证 A B E g Q C K 由AB/CD,得NB=NC.又因为/A=/D,B E=C F,所以A B E g/X O C F.【解答】证明：4 B C D,:.NB=N C.在A B E和 O C F中,Z A=Z D,=f+4 分别与x 轴，y 轴相交于A、B 两点，令x=0,则y=4；令 y=0,则x=-8,即 得A,B 的坐标；(2)设 P(x,X+4)，根据三角形面积公式，表示出S 关于x 的函数解析式，根据P在线段AB上得出x 的取值范围；(3)将 SfOQ表示为0 P 2,从而当POQ的面积最小时，此 时 0尸最小，而O P A B时，0P 最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题.【解答】解：(1)I 直线 =*1+4分别与x 轴，y 轴相交于4、8 两点，当 x=0 时，y=4；当 y=0 时，x=-8,4(-8,0),B(0,4)；(2),点P(x,y)为直线/在第二象限的点，工P(工，x+4),S,APO=(志+4)=4X 得/4)=2x+16(-8 x 0)；S=2x+16(-8 x 0 Q最小，则O P最小时，.点P在线段A B上运动，.,.当 O P J _ 4 B 时，O P 最小，5.AOB=|XOAXOB=YX AB xop._ O A X O B 8 X 4 8 7 5V s i nQ s i nZ B A O,.O P O B,而 话，8 5/5 *Z?4P Q 4A/5：.PQ=8,.C半径为4.【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将表示为O P 2是解决问题的关键.2 4.(12 分)已知抛物线 y=N -(w+1)x+2m+3.(1)当 z=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；(2)该抛物线的顶点随着机 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点E(-1,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段E F只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.【分析】(1)当?=0时，抛物线为 了=超-x+3,将x=2代入得y=5,故 点(2,4)不在抛物线上；2 2(2)抛物线y=避-(m+1)x+2 m+3的顶点为(旦旦，口!_ 咽 迎)，而-+如+旦2 4 4第26页(共28页)=一 二（L3）2+5,即得m=3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为（2,5）；y=2 x+1（3）求出直线EF的解析式为y=2 v+1,由 得直线y=2t+1与抛_ y=x1）x+2 m+3物线 y=N -(w+1)x+2m+3 的交点为：(2,5)和(/n+1,2w+3),因(2,5)在线段EF上，由己知可得（根+1,2/n+3）不在线段EF上，即是或机+1 3,或（2,5）与 5+1,2?+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x 噜=空?顶 点 2 2 顶 点 2 2或 X=1.顶 点【解答】解：（1）当机=0 时，抛物线为y=x2-x+3,将 x=2 代入得 y=4-2+3=5,.点（2,4）不在抛物线上；（2）抛物线），=#-（w+1）x+2m+3 的顶 点 为（空L 4（2 m+3）-，（m+l）,2 4化 简 得（空L,骑+6 m+U）2 4顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，2而-私?+旦 二-工（加一3）2+5,4 4，m=3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2,5）；（3）设直线石尸解析式为丁=丘+4 将 E（-1,-1）、/（3,7）代入得:Ti+b,解得（k=2,7=3 k+b I b=l,.直线EF的解析式为y=2x+1,由y=2 x+l得:一 y=x2-(m+1)x+2 m+3x=2或x=m+ly=5 ,y=2 m+3.直线 y=2x+1 与抛物线 y=x2-（,+1）x+2?+3 的交点为：（2,5）和（m+1,2?+3）,而（2,5）在线段EF l.,若该抛物线与线段EF只有一个交点，贝 lj（w+1,2/H+3）不在线段E尸上，或（2,5）与（7 7 7+1 ,2/71+3）重合，：.m+13 或机+1=2（止 匕 时 2，+3=5）,第27页（共28页）.此时抛物线顶点横坐标X =期 旦 -上 或 X =型 工 3或X =空 1=二旦=1.顶点 2 2 顶点 2 2 顶点 2 2【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标.2 5.(12 分)如 图，在菱形A B C D 中，/D 4 B=6 0 ,AB=2,点 E 为边AB上一个动点，延长B A到点F,使A F=A E,且CF、OE相交于点G.备用图(1)当点E运动到4B中点时，证明：四边形D F E C 是平行四边形；(2)当 CG=2时，求 4E的长；(3)当点E从点A开始向右运动到点8时，求 点 G运动路径的长度.【分析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形,(2)利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，.四边形。尸 E C 是平行四边形.(3)利用图形法，判 断 G点轨迹为一条线段,【解答】解(1)连接。凡C E,如图所示：D CA E B,:E 为 A B中点,：.A E A F AB,2：.EF=AB,.四边形A 8 C D 是菱形，：.EF/AB,在对应点处求解.第28页(共28页)（2）作C H L BH,设 AE=E4=机，如图所示,.四边形ABC。是菱形，J.C D/EF,：./C D G/F EG,.C D E F C G F G，：.F G=2m,在 RtZXCBH 中，NC B H=60 ,B C=2,sin60=里 CH=a，B Ccos600=里 8c=1,B C在 RtZXCF”中，C尸=2+2?,CH=M，F H=3+m,C 产=C Hi+F H2,即（2+2?）2=（弧）2+（3+m）2,整理得：3/n2+2/-8=0,解得：m y=,m2=-2（舍去），（3）因E点沿线段A B直线运动，F 点沿线段BA的延长线直线运动，并 且C D/AB,线 段E D与线段CF的交点G点运动轨迹为线段A G,运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当 E 点运动到B 点时，G 点运动到极限位置，所 以 G 点轨迹为线段AG,如图所示，作GHLAB,第29页（共28页）:四边形 ABC)为菱形，ND4B=60,AB=2,：.CD/BF,BD=2,:A C D GSFBG,.C D =D G(gp B G=2DG,B F B G：BG+DG=BD=2,.,.BG=A,34在 RtZXGHB 中，BG=q,ZDBA=60,GH=-O.,sin60cos60=G H而=B HBG,在 RtAAWG 中,BH=2-,34 4=2-2=2,G H=-,3 3 3AG2=：.AG=(A)2+32 V 7(咨2=里,3 9；.G点路径长度为电Z.3【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解.第30页（共28页）