抛物线及其标准方程教学设计中学教育教学研究中学教育教学研究.pdf

课题：2.3.1抛物线及其标准方程（第一课时）教学设计 揭阳市惠来第一中学 方葵旋 一教材分析 1教材所处的地位、内容和作用 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。本章圆锥曲线分为椭圆、双曲 线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本节内容主要是抛 物线的定义及抛物线四种形式的标准方程，是在初中学了二次函数、同时又 是继椭圆、双曲线之后的又一解析几何的重点内容，它有着广泛的应用，能 使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线 的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，也是以后学习微积分的基 础。因此本节内容起到一个承上启下的作用。一定要引起学生足够的重视。2本节课的主要教学内容：（1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。抛物线定义是本节课的一个重点。利用信息技术首先创设一个问题情景：与一个定点的距离分别从小于、大于以至等于它到定直线的距离的动点的轨迹（图形）。让学生观察，培养探索精神。教给学生一个发现数学奥秘的方法做实验。（2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。通过合作交流，探究不同的建系方案，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性，进一步感受坐标法的思想。（3）、掌握抛物线四种形式的标准方程，理解焦参数p的几何意义；能根据条件求出抛物线的标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程；根据以上教学内容及要求，拟定教学目标及教学重、难点如下：3教学目标（）、知识目标：理解并掌握抛物线的定义及其标准方程；会求抛物线的 标准方程。（）、能力目标：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等 一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的 能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 （）、情感目标：进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时树立学好数学的自信心，培养坚强的意志和锲而不舍的精神。4教学重点和难点（1）、教学重点：抛物线的定义及其标准方程。（2）、教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）二、教法与学法 新课程大力倡导积极主动、勇于探索的学习方式，为的是使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展学生的创新意识。在本节课中，将通过适当的问题情景，在“实验”、“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动中，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题。课堂上真正以学生发展为本，鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与；鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途经，使他们经历知识形成的过程。最大限度地让学生在活动中学习，在主动中发展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中创新，并达成教与学的互促互动、相得益彰的良性循环的最优局面。拟采用的教学方法：启导探究式 三、教学设计（一）设置情景，引发探究 1、课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知 F是平面 锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性上一个定点，l是平面上不过点 F 的一条定直线，点 M到定点 F 的距离和到定直线l的距离的比是一个常数 e，改变这两个距离大小的关系（即常数 e 的大小），观察动点 M 的轨迹。2、学生观察：两个距离大小的变化；并追踪：动点 M得到的轨迹形状。然后记下实验追踪结果。3、学生交流：当 oe1 时动点 M得到的轨迹是椭圆；当 e1 时是双 曲线。4、引发探究：进而引发探究欲望：当 e=1 时，它又是什么曲线呢？设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能 激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。上述教学设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等（即1e）时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题。（二）观察归纳，形成定义 1观察：当 e=1 时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过 独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。2、归纳：抛物线的定义 要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性x y N F 0 定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。强调定义的中心句和关键词（让学生自己找出）。并与椭圆、双曲线的定义进行比较。3反思：在抛物线定义中，要注意定点 F 不在定直线l上。若定点 F在定直线 l上，则动点的轨迹又是什么图形呢？（此时退化为过 F点且与直线 l 垂直的一条直线）。4欣赏：让同学们说一说生活中有哪些图形是抛物线。然后教师用幻灯片播放一些典型的抛物线型标志性建筑，如中国的赵州桥，世界第一大拱桥卢浦大桥、北京奥运会主场馆的拱顶、夜色下喷水池喷出的彩色水流等，让学生欣赏审美，陶冶情操，激发兴趣。设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。（三）合作交流，导出方程 1、类比：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生认真捉摸坐标系的位置特点，感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好（力求使其方程形式最简单）。也可以帮助学生回顾初中二次函数图象的平移变化，从而感悟到要得到抛物线的最简方程，必须 使图象过坐标原点（可使常数项为零）；使图象的对称轴为 x 轴(或 y 轴)（可使方程中不含 y(或 x)的一次项）。2、合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程 请学生将自己的感悟画在纸板上。学锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价。选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立。如推导焦点 F 在 x 轴正半轴上的抛物线标准方程。设焦点 F 在 x 轴的正半轴上，焦点 F 到准线 L 的垂线段 FN 的垂直平分线为 y 轴，设|FN|=p。请学生口头叙述焦点 F 的坐标和准线 L 的方程。师生共同推导出抛物线方程：y2=2px（p0）指出这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示焦 点 F,02p在 x 轴正半 轴上，顶点在原点的抛物线,其准线为2px 3、反思：建系方案的合理性。在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系。这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。4、探究：抛物线的标准方程的其它形式 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格 图形 标准方程 焦点位置 焦点坐标 准线方程 y2=2px（p0）x 轴正半轴上(p/2,0)x=-p/2 y2=-2px(p0)x 轴负半轴上(-p/2,0)x=p/2 x2=2py(p0)y 轴正半轴上(0,p/2)y=-p/2 锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性 5、观察、归纳，寻找异同：相同点 不同点 1.顶点在原点；2.对称轴在坐标轴；3.顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为2p。p的几何意义是焦点到准线的距离。4.焦点的非零坐标是一次项系数的14。1.一次项变量为 x（y），则对称轴为 x（y）轴；2.焦点在 x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在 x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下），一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。6、再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系？设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。（四）练习反馈，巩固提高 x2=-2py（p0）y 轴负半轴上(0,-p/2)y=p/2 锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性1、会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程 例 1 已知抛物线的标准方程是26yx,求它的焦点坐标和准线方程（教材例1 之（1）。变式：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：0522 xy；082 yx；24xy；24axy。感悟：你能说明二次函数20yaxa的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程？2、能根据条件求出抛物线的标准方程 例 2 已知抛物线的焦点是 F02，求它的标准方程（教材例 1 之（2）。变式：已知抛物线的焦点 F 到准线 L 的距离为 4。根据下列条件求此抛物线的标准方程。（1）、若焦点 F 在 y 轴正半轴上；（2）、若焦点 F 在 y 轴上；（3）、若焦点 F 在 x 轴上；（4）、若焦点 F 在坐标轴上。（5）、焦点在直线01243 yx上。（均由学生口答）感悟：求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。关键是 定轴向求 p 值写方程。（若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。）在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。（五）、自我总结，提炼升华 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：1、抛物线的定义（其本质属性）；锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性2、抛物线的标准方程（注意四种形式的异同）；3、求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法。关键是：定轴向求 p 值写方程。设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。（六）、布置作业，留下回味 1、书面作业：P69 A 组 1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）补充：求经过点 p（4，-2）的抛物线的标准方程。（选做）2、课后探究：（1）p的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。你能说出焦参数p对抛物线的开口大小有什么影响吗？（2）同 学 们 在 初 中 学 习 过 二 次 函 数，为 什 么 二 次 函 数20yaxbxc a的图象是抛物线？设计意图：为体现以学生发展为本的理念，使不同学生在数学上获得不同的发展，本作业依一定梯度进行设计，并抛出两个课后探究性问题，既是对本节课有关内容的延伸、拓展，回应了本节课内容，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感。同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现了个性化的学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效地促进不同层次学生的发展。锥曲线是解析几何中的一个重要内容本章圆锥曲线分为椭圆双曲线和抛物线三个部分三部分在圆锥曲线中的地位相同本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程是在初中学了二次函数同时又是继椭圆双曲线之后的又物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础也是以后学习微积分的基础因此本节内容起到一个承上启下的作用一定要引起学生足够的重视本节课的主要教学内容通过实验结合几何画板课件观察发和认识抛物线抛物线定义是距离的动点的轨迹图形让学生观察培养探索精神教给学生一个发数学奥秘的方法做实验坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点通过合作交流探究不同的建系方案对比所得方程的异同使学生认识到恰当建立坐标系的重要性