用放缩法证明与数列和有关的不等式中学教育高考中学教育中学课件.pdf

用放缩法证明与数列和有关的不等式 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力 本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和 一先求和后放缩 例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB 二先放缩再求和 1放缩后成等差数列，再求和 例 2已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS,且22nnnaaS.(1)求证：2214nnnaaS；(2)求证：112122nnnSSSSS 2放缩后成等比数列，再求和 例 3 等比数列an中，112a ，前 n 项的和为 An，且 A7，A9，A8成等差数列 设nnnaab12，数列bn前 n 项的和为 Bn，证明：Bn13 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题解决这类问题常常用到放缩法而求解途径一般有两条一是先求和再放缩二是先放缩再求和一先求和后放缩例正数数列的均为正数的数列求证的前项和为求证且放缩后成等比数列再求和例等比数列中前项的和为且成等差数列设数列前项的和为证明放缩后为差比数列再求和例已知数列满足求证在解题时朝着什么方向进行放缩是解题的关键一般要看证明的结论为等比数列求和结果的类型则把通项放缩为等比数列再求和即可如例要证明的结论为差比数列求和结果的类型则把通项放缩为差比数列再求和即可如例要证明的结论为裂项相消求和结果的类型则把通项放缩为相邻两项或相隔3放缩后为差比数列，再求和 例 4已知数列na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn求证：11213nnnnaa 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式如例要证明的结论2232nn、22)1(nn为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例 3 要证明的结论31)211(31n为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例 4 要证明的结论1213nn为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例 5 要证明的结论221232nnn为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩 如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题解决这类问题常常用到放缩法而求解途径一般有两条一是先求和再放缩二是先放缩再求和一先求和后放缩例正数数列的均为正数的数列求证的前项和为求证且放缩后成等比数列再求和例等比数列中前项的和为且成等差数列设数列前项的和为证明放缩后为差比数列再求和例已知数列满足求证在解题时朝着什么方向进行放缩是解题的关键一般要看证明的结论为等比数列求和结果的类型则把通项放缩为等比数列再求和即可如例要证明的结论为差比数列求和结果的类型则把通项放缩为差比数列再求和即可如例要证明的结论为裂项相消求和结果的类型则把通项放缩为相邻两项或相隔 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题解决这类问题常常用到放缩法而求解途径一般有两条一是先求和再放缩二是先放缩再求和一先求和后放缩例正数数列的均为正数的数列求证的前项和为求证且放缩后成等比数列再求和例等比数列中前项的和为且成等差数列设数列前项的和为证明放缩后为差比数列再求和例已知数列满足求证在解题时朝着什么方向进行放缩是解题的关键一般要看证明的结论为等比数列求和结果的类型则把通项放缩为等比数列再求和即可如例要证明的结论为差比数列求和结果的类型则把通项放缩为差比数列再求和即可如例要证明的结论为裂项相消求和结果的类型则把通项放缩为相邻两项或相隔