伪旁切圆中的共点共线问题建筑铁路工程行业资料原子能技术.pdf

潘成华 田开斌 笔者在研究曼海姆定理时，做了如下定义：对于ABC，如果一个P与其外切圆O相外切，且分别与其两条边相切，则P称为ABC的一个伪旁切圆。笔者在研究伪旁切圆的性质时，曾发现了一系列共点问题及其相关问题，此篇文章即是通过三个定理，将此类问题做一个贯穿和系统整理，敬请方家指教。定理一：如图 1，ABC外接圆为O，内切圆I 分别切三边于 D、E、F，P与O外切于 J，且分别切 AB、AC于 G、H，连接 AD并延长交P于 K，则 AJ=AK，且BAJ=CAD。图 1 证明方法（反演变换）：根据P关于 AP对称知BAJ=CAD，则必然有 AJ=AK。所以下面我们只证明BAJ=CAD。如图 2，我们以点 A为反演中心，以 AE AH为反演幂，则 H、E互为反演点，F、G互为反演点，从而P与I 互为反形。设 B的反演点为 B，C的反演点为 C，则O的反形为直线 BC，直线BC的反形即为A BC的外接圆 Q。因为 BC与P切于点 J，所以 BC与 P（即I）相切于 J，因为I 与 BC相切于 D，所以I（即P）与Q相切于 D，J、D分别为 J、D的反演点。又因为 AB AB=AC AC=AE AH，所以ABC AC B。我们可以看出，原图形是由ABC决定的，其反形是由AB C决定的，且它们的结构方式相同。又ABC AC B，所以原图形的反形与原图形反向相似。于是知CAD=BAJ=BAJ。证毕。另外，由于P与I 相等，所以原图形的反形与原图形反向全等，所以 AB=AC，AC=AB，于是知 AB AC=AB AB=AE AH。图 2 定理二：如图 3，三角形 ABC中，、是伪旁切圆，分别切O于 H、I。分别切 CB、CA于 D、E，分别切 BC、BA于 F、G。C 交 DE于 J、B 交 GF于 K，则 DH、FI、JK三线交于弧 BC的中点 P，且 P为 JK中点。图 3 证明：设弧 BC的中点为 P，我们先证明 JK经过 P，且 P为 JK中点，再证明 DH和 FI经过 P。首先用同一法证明 JK经过点 P。如图 4，连接 JK 交O于，设ABC内心为 R，AR交O于 S，则 S 为劣弧 BC中点。由曼海姆定理知 J、K为ABC旁心，所以 JKAS，即AAS，所以S 为圆 O直径，所以为优弧 BC中点，即与 P重合，即 JK 经过点 P。下面证明 P为 JK中点。作 JXBC于 X，KY BC于 Y，PS交 BC于 Z，则 Z为 BC中点。于是知要证 P为 JK中点，只需证明 Z为 XY中点，即只需证明 XC=BY。而 XC=。同理可得 YB=。所以XC=BY，命题得证。于是知 JK经过 P，且 P为 JK中点。下面再用同一法证明 DH经过点 P。如图 5，延长 DH交O于，则由位似知，OD，即OBC，所以O为弧 BC中点，即与 P重合。所以 DH经过点 P。同理 FI 也经过点 P。命题得证。图 4 图 5 定理三：如图 6，ABC外接圆为O，与O外切于点 D，且分别切 AB、AC于G、H，与O外切于点 E，且分别切 BC、BA于 I、J，与O外切于点 F，且分别切CA、CB于 K、L，则。图 6 证明：如图 7，取 GH中点为 R、IJ 中点为 S，KL中点为 T，则根据曼海姆定理知 R、S、T为ABC的三个旁心。于是知 AR、BS、CT交于一点 Q，且 Q为ABC内心。又因为S、T为ABC的旁心，所以 STAR。又 GH AR，所以 STGH。于是知 （1）（2）（1）（2）得，从而知 （3）同理可知：（4）（5）（3）（4）（5）知 （6）又因为 AR、BS、CT交于一点，根据赛瓦定理知，代入（6）式即得，于是知。图 7 以上介绍的是此类问题的三个定理，基于这三个定理，我们可以得到如下一系列命题。命题一：如图 8，ABC外接圆为O，与O外切于点 D，且分别切 AB、AC于G、H，与O外切于点 E，且分别切 BC、BA于 I、J，与O外切于点 F，且分别切CA、CB于 K、L。求证：AD、BE、CF三线共点。图 8 证明：如图 9，作ABC的内切圆M分别切 BC、CA、AB于 P、Q、R。则由于，根据赛瓦定理逆定理知 AP、BQ、CR共点，设为 S。根据定理一知 AS、AD是BAC的一组等角线，BS、BE是ABC的一组等角线，CS、CF是ACB的一组等角线，从而知 AD、BE、CF三线共点，设为 M，则 M与 S 是一对等角共轭点。图 9 命题二：如图 10，如图三角形 ABC中，、是伪旁切圆，分别切O于 H、I。分别切 CB、CA于 D、E，分别切 BC、BA于 F、G。则 BC、HI、三线共点。图 10 证明：连接H、I 并延长，根据位似知两线交于点 O，延长 DH、FI 交于点 P，根据定理二知 PO BC，又DBC、FBC，根据笛沙格定理知 BC、HI、三线共点。图 11 为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于命题三：如图 12，ABC外接圆为O。与O相切于点 M，且分别切 CB、CA于D、E；与O相切于 N，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切于 P，且分别切AC、AB于 H、I。CM交于 J，BN交于 K，AP交于 L，JB、KC交于 Q、LB、KA交于 R、JA、LC交于 S，证明：AQ、BS、CR交于一点。图 12 证明：如图 13，设 CJ 交 AB于 X，BK交 AC于 Y，AL交 BC于 Z。由于 CM、BN、AP交于一点，所以 （1）根据三角形面积公式知，所以 （2）又根据三角形面积公式知，所以 （3），所以 （4）将（3）、（4）代入（2）知 （5）同理可知：（6）（7）（5）（6）（7）知 （8）由（7）、（8）知，根据赛瓦定理逆定理知 AQ、BS、CR交于一点。图 13 命题四：如图 14，ABC外接圆为O。与O相切，且分别切 CB、CA于 D、E；与O相切，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切，且分别切 AC、AB于H、I。L、M、N分别为 GH、ID、EF中点，求证：NA、MB、LC共点。图 14 证明：根据三角形面积公式知，所以 （1）同理可知 （2）（3）（1）（2）（3）知 （4）为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于根据定理三知，所以，根据赛瓦定理逆定理知 NA、MB、LC三线共点。命题五：如图 15，ABC外接圆为O。与O相切，且分别切 CB、CA于 D、E；与O相切，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切，且分别切 AC、AB于H、I。直线 EF、GH、ID 分别交于点 P、Q、R，求证：PA、RB、QC共点。图 15 证明：根据三角形面积公式知，所以 （1）同理可知 （2）（3）（1）（2）（3）知，又根据定理三知，所以。根据赛瓦定理逆定理知PA、RB、QC三线共点。命题六：如图 16，ABC外接圆为O。与O相切，且分别切 CB、CA于 D、E；与O相切，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切，且分别切 AC、AB于H、I。BH、CI 交于 P，AG、CF交于 Q，AD、BE交于 R。证明：AP、BQ、CR三线共点。证明：设 AB、CR交于 M，BC、AP交于 N，AC、BQ交于 L。则由赛瓦定理逆定理知，要证 AP、BQ、CR三线共点，只需证明。又由塞瓦定理知，即。同理，。三式相乘有。由定理三知，所以，命题得证。图 16 命题七：如图 17，ABC的外接圆为O。与O外切，且分别与 AB、AC切于G、H；与O外切，且分别与 BC、BA切于 I、J；与O外切，且分别与 CA、CB切于 K、L。GK、HI 交于点 M，KI、LH交于点 N，IG、JL 交于点 P。求证：MA、NC、PB三线共点。图 17 证明：如图 18，连接 A、GH交于 D，连接 B、IJ 交于点 E，连接 C、LK交于点F，则由曼海姆定理知 D、E、F分别为ABC的三个旁心。于是知 E、F过点 A，且 EFAD，GH AD；FD过点 B，且 FD BE，IJ BE；D、E过点 C，且 DE CF，KL CF。根据赛瓦定理三角形式知，要证 MA、NC、PB三线共点，只需证明：（1）下面证明（1）式 根据三角形面积公式知 所以 （2）为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于又 （3）将（3）代入（2）知 （4）又 （5）（6）（5）（6）知 （7）又 （8）（9）（8）（9）得 （10）将（10）代入（7）知 （11）将（11）代入（4）知 （12）同理可知：（13）（14）（12）（13）（14）知 （15）根据定理三知，所以，（1）式成立，问题得证。图 18 命题八：如图 19，ABC外接圆为O。与O相切，且分别切 AB、AC于 JK；与O相切，且分别切 BC、BA于 L、M；与O相切，且分别切 CA、CB于 N、P。ABC内切圆分别切 BC、CA、AB于 D、E、F。AD交于 G，BE交于 H，CF交于I。IB、HC交于点 Q，IA、GC交于点 R，GB、HA交于点 S，求证：AQ、BR、CS三线共点。图 19 证明：我们先证明一个引理：如图 20，ABC的外接圆为O，与O外切，且分别切 CA、CB于 G、H；与O外切，且分别切 BA、BC于 I、J，ABC的内切圆N分别切 BC、CA、AB于 D、E、F，CF交于 K，BE交于 L，KB、LC交于点 M，则CAD=BAM。图 20 如图 21，连接 C 交 HG于 U，交 DE于 Q，连接 B 交 IJ 于 V，交 DF于 P，连接 PQ分别交 AB、AC于 R、S。则知 P、Q分别为 DF、DE中点，所以 PQ EF，即 RSEF，于是知 RS为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于AN，且 AR=AS。又根据曼海姆定理知 U、V为ABC的旁心，所以 UV过点 A，且 UV AN，于是知 RSUV。根据变相同一法知，要证BAM=CAD，只需证明 （1）下面我们证明（1）式。由三角形面积公式知：，所以 （2）又根据三角形面积公式知：，所以 （3）又，代入（3）知 （4）又，所以 （5）又，所以 （6）（5）（6）知 （7）将（7）代入（4）知 （8）由（2）、（8）知，要证明（1），只需证明，即只需证明：（9）根据位似知 （10）（11）（10）（11）知，即（9）式成立，命题得证。图 21 下面我们借助引理证明原命题。根据引理知：。由赛瓦定理逆定理知AQ、BR、CS三线共点。命题九：如图 22，ABC外接圆为O。与O相切于点 J，且分别切 CB、CA于D、E；与O相切于 K，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切于 L，且分别切AC、AB于 H、I。DJ、GK交于点 P，EK、IL 交于点 Q，HL、EJ 交于 R，求证：PL、QJ、RK三线共点。图 22 证明：我们先证明一个引理：如图 23，外切于点 T，A为上一点，过 A作两条切线，切点分别为 B、C，A 交 BC于 F，AB、AC分别交于D、E，G为弧 DAE中点，则 F、T、G三点共线。为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于 图 23 如图 24，连接 G 并延长交 A 于 K，则知DGK=DGE=DAE=DAK，所以 D、G、A、K四点共圆，即 K在上。延长分别交于 I、J。易知 IKGT。所以我们要证 F、T、G三点共线，只需证 TFIK，即只需证 （1）下面我们证明（1）式。易知，所以，（1）式得证。图 24 下面我们借助引理证明原命题。如图 25，连接 DE取其中点 U，连接 FG取其中点 V，连接 HI取其中点 W，则易知 U为C 与 DE交点，V为 B 与 FG交点，W为 A 与 HI 交点。根据定理二知 P为 UV中点，且为弧 BAC中点；Q为 VW 中点，且为弧 ACB中点；R为 WU 中点，且为弧 ABC中点。又根据引理知 P、L、W三点共线，Q、J、U三点共线，R、K、V三点共线。而 PW、QU、RV是UVW 的三条中线，所以交于UVW 的重心。于是知 PL、QJ、RK三线共点，交于UVW 的重心。图 25 命题十：如图 26，ABC外接圆为O。与O相切于点 M，且分别切 CB、CA于D、E；与O相切于 N，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切于 P，且分别切AC、AB于 H、I。DE、FG、HI 分别交于点 Q、R、S。C 交 DE于 J，B 交 FG于 K，A 交 HI于 L。证明：Q、P、L三点共线，R、M、J 三点共线，S、N、K三点共线。（潘成华题）图 26 证明：我们先证明一个引理：如图 27，ABC外接圆为O。与O相切，且分别切 CB、CA于 D、E；与O相切，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切，且分别切 AC、AB于 H、I。DE、FG、HI分别交于点 T、U、V。C 交 DE于 Z，B 交 FG于X，A 交 HI于 Y。则 X、Y、Z分别为 TU、UV、VT中点。图 27 如图 28，由曼海姆定理知 X、Y、Z为ABC的三个旁心。于是知 ZX A，于是知 ZXUV。同理 XY VT，YZ TU。于是知 X、Y、Z分别为 TU、UV、VT中点。图 28 下面我们借助引理证明原命题。我们先证明 Q、P、L三线共点。根据引理知 J、K、L分别为 SQ、QR、RS中点，所以QL于 JK的交点 T为 JK中点。根据定理三知 T为弧 BAC中点，根据命题九的引理知 T、P、L共线，所以 Q、P、L三点共线。命题十一：如图 29，ABC外接圆为O，P与O外切于 J，且分别切 AB、AC于G、H，AP交O于 R，CB、HG延长线交于 S，证明：S、J、R三点共线。图 29 证明：如图 30，延长 GJ交O于 M，过 M作O的切线l，由于 J 为O、P的位似中心，AG是P切线，l为O切线，所以lAG，于是知弧 BJM=弧 ACM。所以GJB=BAM=AJM，即 GJ 为ABJ中AJB的外角平分线。所以 为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于 （1）同理可知 HJ为ACJ中AJC的外角平分线，所以 （2）又由于 AG=AH，由（1）（2）知 （3）又根据梅涅劳斯定理知，所以，代入（3）知，所以 SJ为BJC的外角平分线。另一方面，由于 AG、AH为P两条切线，所以 AP平分BAC，所以BJC+2RJC=BJC+2RAC=BJC+BAC=180，所以 RJ也为BJC的外角平分线。综上所述，知 S、J、R三点共线，且直线 SR为BJC的外角平分线。图 30 命题十二：如图 31，ABC外接圆为O。与O相切于点 M，且分别切 CB、CA于 D、E；与O相切于 N，且分别切 BA、BC于 F、G；与O相切于 P，且分别切 AC、AB于 H、I。DE、FG、HI分别交于点 Q、R、S。L、J、K分别为 HI、DE、FG中点，LD、SK交于交于 U，LG、RJ交于 V。证明：U、V、P共线，且 UV QL于 P。图 31 证明：我们先证明一个引理：如图 32，ABC中，DEF分别为三边中点，RG DF于G，FH DE于 H，GH分别交 AB、AC于 I、J，DI 交 BE于 K，DJ交 CF于 L，则 KL AD。图 32 证明：如图 17，设ABC的重心为 M，令 EF=a，DF=b，DE=c，则 BC=2a，AC=2b，AB=2c。根据中线长公式知 BE=，CF=，AD=。于是知 BM=，CM=，DM=。要证 KL AD，只需证明，即只需证明：（1）又根据余弦定理知 （2）（3）由（2）、（3）知，要证（1），只需证 （4）下面我们证明（4）式。因为 F、G、H、E共圆，所以FGI=FED=FBD，所以 I、G、D、B四点共圆。于是知，所以。于是有，。根据梅涅劳斯定理知，所以有，于是知 （5）为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于同理可知 （6）由（5）、（6）知 （7）（8）由（7）、（8）知（4）式成立，所以（1）式成立，命题得证。下面我们借助引理证明原命题。如图 33，延长 GD、RS交于 W，连接 AL交O于 X，连接 JK、KL、LJ，连接 KB、JC。设 QL交 JK于 T，连接 TX。根据命题十的引理知，J、K、L分别为 SQ、QR、RS中点，于是知 QL、SK、RJ交于一点 Y。且知道四边形 QJLK是平行四边形，所以 T为 JK 中点。根据定理一知，T在O上，且 T为弧 BAC的中点。根据曼海姆定理知 J、K、L为ABC的三个旁心，所以 KB JL、JCKL，又根据引理十的引理知 J、K、L分别为 SQ、QR、RS中点，所以根据引理知，UV QL。又因为 SD、RG的交点 Q，SU、RV的交点 Y和 DU、GV的交点 L，三点共线，在DUS和GVR 中使用笛沙格定理知，W、U、V共线。又根据命题十一知，W、P、X共线。又因为BAX=CAX，所以 X为弧 BPC的中点。又T为弧 BAC的中点，所以 TX为O直径，即 XP TP，所以 WP QL。综上所述，W、U、V共线，UV QL，WP QL，所以知 U、V、P共线，且 UV QL于 P。图 33 为的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时曾发现了一系列共点问题及其相关问题此篇文章即是通过三个定理将此类问题做一个贯穿和系统整理敬请方家指教定理一如图外接圆为内切圆分别切三边于与外切于且分别切于连接并演幂则互为反演点互为反演点从而与互为反形设的反演点为的反演点为则的反形为直线直线的反形即为的外接圆因为与切于点所以与即相切于因为与相切于所以即与相切于分别为的反演点又因为所以我们可以看出图形是由决定的其反形与图形反向全等所以于是知图定理二如图三角形中是伪旁切圆分别切于分别切于分别切于交于交于则三线交于弧的中点且为中点图证明设弧的中点为我们先证明经过且为中点再证明和经过首先用同一法证明经过点如图连接交于