文科选修 坐标系与参数方程中学教育高考中学教育高中教育.pdf

选修 44 坐标系与参数方程 1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，叫做_，从 O 点引一条射线 Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的_，记为 ，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角，记为 .有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为 x_，y_.另一种关系为 2_，tan _.2简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 (R)表示过极点且与极轴成 角的直线；cos a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；sin b 表示过b，2且平行于极轴的直线；sin()1sin(1)表示过(1，1)且与极轴成 角的直线方程(2)圆的极坐标方程 2rcos 表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；2rsin 表示圆心在r，2，半径为|r|的圆；r 表示圆心在极点，半径为|r|的圆 3曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变量 t 的函数 xf t，yg t.并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量 t 称为_ 4一些常见曲线的参数方程(1)过点 P0(x0，y0)，且倾斜角为 的直线的参数方程为_(t 为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_(为参数)(3)椭圆方程x2a2y2b21(ab0)的参数方程为_(为参数)位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为(4)抛物线方程 y22px(p0)的参数方程为_(t 为参数)1在极坐标系中，直线 sin(4)2 被圆 4 截得的弦长为_ 2极坐标方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_ 3已知点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线 x4t2，y4t(t 为参数)上，则 PF_.4直线 x1tsin 40，y3tcos 40(t 为参数)的倾斜角为_ 5已知曲线 C 的参数方程是 x3t，y2t21(t 为参数)则点 M1(0,1)，M2(5,4)在曲线 C 上的是_ 题型一 极坐标与直角坐标的互化 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为例1 在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos(3)1，M，N 分别为 C 与x 轴、y 轴的交点(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x cos 及 y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为 在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a0相切，求实数 a 的值 题型二 参数方程与普通方程的互化 例2 已知两曲线参数方程分别为 x 5cos ，ysin(0)和 x54t2，yt(tR)，求它们的交点坐标 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等对于与角 有关的参数方程，经常用到的公式有 sin2 cos2 1,1tan2 1cos2等(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的 x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 将下列参数方程化为普通方程(1)x2t21t2，y42t21t2(t 为参数)；(2)x24cos2，y1sin2(为参数)题型三 极坐标、参数方程的综合应用 例3 在直角坐标平位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程是 4cos ，直线 l 的参数方程是 x332t，y12t(t 为参数)，M，N 分别为曲线 C、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值 思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用 (2013 辽宁)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ，cos 42 2.(1)求 C1与 C2交点的极坐标；(2)设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点 已知直线 PQ 的参数方程为 xt3a，yb2t31(tR 为参数)，求 a，b 的值 参数的几何意义不明致误 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为典例：(10 分)已知直线 l 的参数方程为 x12t，y2232t(t 为参数)，若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程为 2cos(4)(1)求直线 l 的倾斜角；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误 规范解答 解(1)直线的参数方程可以化为 xtcos 60，y22tsin 60，2 分 根据直线参数方程的意义，直线 l 经过点(0，22)，倾斜角为 60.4 分(2)直线 l 的直角坐标方程为 y 3x22，6 分 2cos(4)的直角坐标方程为(x22)2(y22)21，8 分 所以圆心(22，22)到直线 l 的距离 d64.所以 AB102.10 分 温馨提醒 对于直线的参数方程 xx0tcos ，yy0tsin(t 为参数)来说，要注意 t 是参数，而 则是直线的倾斜角 与此类似，椭圆参数方程 xacos ，ybsin 的参数 有特别的几何意义，它表示离心角 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为 方法与技巧 1曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式 cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 等 2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2 sin21,1tan2 1cos2.3利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法 失误与防范 1极径 是一个距离，所以 0，但有时 可以小于零极角 规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与 P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定 0,0 2，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点 2在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的 x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为 A 组 专项基础训练 1(2013 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xt1，y2t(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x2tan2，y2tan(为参数)试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 2已知曲线 C 的参数方程为 xsin ，ycos2，0,2)，曲线 D 的极坐标方程为 sin(4)2.(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点？试说明理由 3(2013 福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A的极坐标为(2，4)，直线 l 的极坐标方程为 cos(4)a，且点 A在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为(2)圆 C 的参数方程为 x1cos ，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 4在极坐标系中，P 是曲线 12sin 上的动点，Q 是曲线 12cos 6上的动点，试求 PQ 的最大值 5在极坐标系中，已知三点 M2，3、N(2,0)、P2 3，6.(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上 6在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x12x，y13y后，曲线 C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为点坐标 B 组 专项能力提升 1在极坐标系中，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin(4)22.(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标 2已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2，22 2 cos(4)2.(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为 3(2013 课标全国)已知曲线 C1的参数方程为 x45cos t，y55sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,0 2)4(2012 辽宁)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方程，并求出圆 C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为答案 要点梳理 1(1)极点 极轴 极径(2)cos sin x2y2 yx 3参数方程 参数 4(1)xx0tcos yy0tsin (2)xarcos ybrsin (3)xacos ybsin (4)x2pt2y2pt 夯基释疑 14 3 2.x2y22xy0 3.4 4.50 5.M1 题型分类 深度剖析 例 1 解(1)由 cos(3)1 得 (12cos 32sin )1.从而 C 的直角坐标方程为12x32y1，即 x 3y2.当 0 时，2，所以 M(2,0)当 2时，2 33，所以 N(2 33，2)(2)M 点的直角坐标为(2,0)N 点的直角坐标为(0，2 33)所以 P 点的直角坐标为(1，33)位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为则 P 点的极坐标为(2 33，6)，所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R)跟踪训练 1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有|3140a|32421，解得 a8 或 a2.故 a 的值为8 或 2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x25y21(0y1，5x 5)和 y245x，联立解得交点为1，2 55.跟踪训练 2 解(1)x2t21t2，y42t21t24 1t2 6t21t2432t21t243x.又 x2t21t22 1t2 21t2221t20,2)x0,2)所求的普通方程为 3xy40(x0,2)(2)4cos2 2x,4sin2 4(y1)4cos2 4sin2 2x4y4.位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为4yx20.04cos2 4，02x4，2x2.所求的普通方程为 x4y20(x2,2)例3 解 化极坐标方程 4cos 为直角坐标方程 x2y24x0，所以曲线 C 是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆 化参数方程 x332t，y12t(t 为参数)为普通方程 x 3y30.圆心到直线 l 的距离 d|23|1352，此时，直线与圆相离，所以 MN 的最小值为52212.跟踪训练 3 解(1)圆 C1的直角坐标方程为 x2(y2)24，直线 C2的直角坐标方程为 xy40.解 x2 y224，xy40，得 x10，y14，x22，y22.所以 C1与 C2交点的极坐标为4，2，2 2，4，注：极坐标系下点的表示不唯一 位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为(2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy20，由参数方程可得 yb2xab21，所以 b21，ab212，解得 a1，b2.练出高分 A 组 1解 因为直线 l 的参数方程为 xt1，y2t(t 为参数)，由 xt1 得 tx1，代入 y2t，得到直线 l 的普通方程为 2xy20.同理得到曲线 C 的普通方程为 y22x.联立方程组 y2 x1，y22x，解得公共点的坐标为(2,2)，12，1.2解(1)由 xsin ，ycos2，0,2)得 x2y1，x1,1(2)由 sin(4)2得曲线 D 的普通方程为 xy20.xy20，x2y1得 x2x30.解得 x1 132 1,1，故曲线 C 与曲线 D 无公共点 3解(1)由点 A(2，4)在直线 cos(4)a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d12221，所以直线 l 与圆 C 相交 4解 12sin ，212 sin ，x2y212y0，即 x2(y6)236.又 12cos 6，212cos cos 6sin sin 6，x2y26 3x6y0，(x3 3)2(y3)236，PQmax66 3 323218.5解(1)由公式 x cos ，y sin 得 M 的直角坐标为(1，3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)(2)kMN321 3，kNP3032 3.kMNkNP，M、N、P 三点在一条直线上 6解 圆 x2y236 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为 P(x，y)，则 x2x，y3y，4x29y236，即x29y241.曲线 C 在伸缩变换后得椭圆x29y241，其焦点坐标为(5，0)B 组 1解(1)圆 O：cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为 x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin(4)22，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为 yx1，即 xy10.位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为(2)由 x2y2xy0，xy10得 x0，y1，故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为(1，2)2解(1)由 2 知 24，所以 x2y24；因为 22 2 cos(4)2，所以 22 2(cos cos 4sin sin 4)2，所以 x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin(4)22.3解(1)C1的参数方程为 x45cos ty55sin t.5cos tx45sin ty5.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即 C1的直角坐标方程为(x4)2(y5)225，把 x cos ，y sin 代入(x4)2(y5)225，化简得：28 cos 10 sin 160.(2)C2的直角坐标方程为 x2y22y，解方程组 x42 y5225x2y22y 得 x1y1或 x0y2.C1与 C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)C1与 C2交点的极坐标为2，4，2，2.4解(1)圆 C1的极坐标方程为 2，位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为圆 C2的极坐标方程为 4cos .解 2，4cos 得 2，3，故圆 C1与圆 C2交点的坐标为2，3，2，3.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)方法一 由 x cos ，y sin 得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，3)故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x1，yt，3t 3.或参数方程写成 x1，yy，3y 3 方法二 将 x1 代入 x cos ，y sin 得 cos 1，从而 1cos.于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x1，ytan ，3 3.位一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向这样就确定了一个极坐标系设是平面内一点极点与点的距离叫做点的记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作极坐标与直角坐标的关的直角坐标是极坐标为则它们之间的关系为另一种关系为简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线表示过且垂直于极轴的直线表示过且平行于极轴的直线表示过且与极轴成角的直线方程圆的极坐标方如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每一个允许值上式所确定的点都在这条曲线上则称上式为该曲线的其中变量称为一些常见曲线的参数方程过点且倾斜角为的直线的参数方程为为参数圆的方程的参数方程为