抛物线教学设计中学教育教学研究中学教育教学研究.pdf

抛物线及其标准方程 教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.教学重点:1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.一、课堂导入 课前 同学们，上课。先问大家一个问题，之前我们在哪里接触过抛物线？二次函数，二次函数的图像是抛物线,我们还研究过抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等问题。物理上平抛运动中物体的轨迹，在生活当中也是处处可以见到抛物线的。投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是抛物线；卫星天线也是根据抛物线的原理制造的.可见我们研究抛物线是非常有用的。这节课我们就进一步学习抛物线,学习抛物线及其标准方程板书。二、抛物线的定义 类比椭圆和双曲线，抛物线也应该是点的集合，我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数，双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数，那么抛物线上的点又有什么特征呢？1.抛物线的画法 接下来我在电脑上画一条抛物线，请同学们仔细观察作图的过程，思考抛物线上的点有什么特点？点 F是定点，L是不经过点 F的定直线，H是 L上任意一点，过点 H作 MH垂直于 L,线段 FH的垂直平分线 m交 MH 于点 M，拖动点 H，同学们，你们想想，谁会跟着动呢，但是定点和定直线是固定不动的。仔细观察，这样我就画出了一条抛物线。同学们，再观察一遍，同时思考两个问题 1.谁的运动轨迹就是这条抛物线？2.在运动的过程中，抛物线上的点始终有什么特点，为什么 M不管动到哪里，都有 MH=MF，为什么，M始终在 HF的垂直平分线上，MH是什么距离，MF是什么距离，所以说，抛物线上的点 M到定点 F和定直线L的距离相等。2.抛物线的定义 问题 1：你能模仿椭圆和双曲线给抛物线下个定义吗？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.3.抛物线的相关概念：定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.方程进一步巩固圆锥曲线的研究方法体会类比法直接法待定系数法和数形结合思想在数学中的应用感受抛物线的广泛应用和文化价值体会学习数学的乐趣和数学美教学重点掌握抛物线的定义与相关概念掌握抛物线的标准方程教学难过抛物线二次函数二次函数的图像是抛物线我们还研究过抛物线的开口方向顶点坐标对称轴等问题物理上平抛运动中物体的轨迹在生活当中也是处处可以到抛物线的投篮时篮球的运行轨迹是抛物线我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是习抛物线及其标准方程板书二抛物线的定义类比椭圆和双曲线抛物线也应该是点的集合我们知道椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数那么抛物线上的点又有什么特征呢抛问题2：为什么定点不能在定直线 上？若点在直线 上，则轨迹为过定点垂直于直线 的直线.板书：定义：用集合表示即可。这也是得到抛物线的一种方法。三、抛物线的标准方程 以上我们知道了抛物线上的点满足什么条件，那么我们就可以在坐标系中求抛物线的方程了。首先我们面临的问题就是如何建系。大家都知道建系的原则是力求方程简洁。同学们，你们想到了如何建系呢？焦点在 y 轴上的我们待会再讨论，焦点在 x 轴的话，你觉得怎么建系最简单呢？我还想到了-那到底哪种最简单呢？接下来我们分分任务去求证。注意：此种建系方法中，如何写出焦点坐标和准线方程。方程进一步巩固圆锥曲线的研究方法体会类比法直接法待定系数法和数形结合思想在数学中的应用感受抛物线的广泛应用和文化价值体会学习数学的乐趣和数学美教学重点掌握抛物线的定义与相关概念掌握抛物线的标准方程教学难过抛物线二次函数二次函数的图像是抛物线我们还研究过抛物线的开口方向顶点坐标对称轴等问题物理上平抛运动中物体的轨迹在生活当中也是处处可以到抛物线的投篮时篮球的运行轨迹是抛物线我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是习抛物线及其标准方程板书二抛物线的定义类比椭圆和双曲线抛物线也应该是点的集合我们知道椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数那么抛物线上的点又有什么特征呢抛3.思考交流 问题 4：刚刚有同学也说过，如果我建系的时候让焦点在 y 轴上呢？像这样开口向上向下向左，你能否分别写出这些标准方程呢？我们把这四种形式都叫做抛物线的标准方程 仔细观察抛物线的图像和它所对应的方程，关于焦点在哪个轴上、开口方向向哪，你能从方程上找出规律吗？1.p（p0）表示焦点 F到准线 l 的距离 2.抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是 x，则焦点在 x 轴上；若一次项是 y,则焦点在 y 轴上；（焦点看一次项。）3.标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐标轴正方向，若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向，（符号决定开口方向）4.例题分析 由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数，因此只要给出确定的一个条件就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定。问题 5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.1.知识内容：（1）抛物线的定义：（2）抛物线的标准方程：焦点在轴正半轴：；焦点在轴负半轴：；焦点在轴正半轴：；焦点在轴负半轴：.2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.方程进一步巩固圆锥曲线的研究方法体会类比法直接法待定系数法和数形结合思想在数学中的应用感受抛物线的广泛应用和文化价值体会学习数学的乐趣和数学美教学重点掌握抛物线的定义与相关概念掌握抛物线的标准方程教学难过抛物线二次函数二次函数的图像是抛物线我们还研究过抛物线的开口方向顶点坐标对称轴等问题物理上平抛运动中物体的轨迹在生活当中也是处处可以到抛物线的投篮时篮球的运行轨迹是抛物线我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是习抛物线及其标准方程板书二抛物线的定义类比椭圆和双曲线抛物线也应该是点的集合我们知道椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数那么抛物线上的点又有什么特征呢抛3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.五、课后延伸 1.课后作业 板书设计 方程进一步巩固圆锥曲线的研究方法体会类比法直接法待定系数法和数形结合思想在数学中的应用感受抛物线的广泛应用和文化价值体会学习数学的乐趣和数学美教学重点掌握抛物线的定义与相关概念掌握抛物线的标准方程教学难过抛物线二次函数二次函数的图像是抛物线我们还研究过抛物线的开口方向顶点坐标对称轴等问题物理上平抛运动中物体的轨迹在生活当中也是处处可以到抛物线的投篮时篮球的运行轨迹是抛物线我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是习抛物线及其标准方程板书二抛物线的定义类比椭圆和双曲线抛物线也应该是点的集合我们知道椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数那么抛物线上的点又有什么特征呢抛