勾股定理的证明的方法中学教育中考中学教育中学课件.pdf

做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三 个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a+b，所以面积相等.即 1 ab 2，整理得【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 B、F、C 三点在一条直线上，Rt HAE R tEBF,证法 1】（课本的证明）等于 2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，2 2 1 2 a2 b2 4 ab c2 2 2 2 2 abc C、G、D 三点在一条直线上.AHE=BEF.们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设 AEH+AHE=90o,AEH+BEF=90o.HEF=180o90o=90o.四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形.它的面积等于 c2.RtGDH RtHAE,HGD=EHA.HGD+GHD=90o,EHA+GHD=90o.又 GHE=90o,DHA=90o+90o=180o.2 ABCD 是一个边长为 a+b 的正方形，它的面积等于 a b 2 1 2 a b 4 ab c 2 2 2 2.a b c.【证法 3】（赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba），以 c 为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 1 ab 三角形的面积等于 2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.RtDAH RtABE,HDA=EAB.HAD+HAD=90o，EAB+HAD=90o，ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.EF=FG=GH=HE=ba,HEF=90o.EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2 ba.D A B c Gb F aG H E C 1 2 2 4 ab b a c 2【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 1 ab 等于 2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 RtEAD RtCBE,ADE=BEC.AED+ADE=90o,AED+BEC=90o.DEC=180o90o=90o.DEC 是一个等腰直角三角形，12 c 它的面积等于 2.又 DAE=90o,EBC=90o a2 b2 c2 A、E、B 三点在一条直线上.AD BC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 a 1 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设 1 a b 2 2 1 ab 2 2【证法 5】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，做一个边长 c的正方形.把它们拼成如图所示多边形，过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 过点 B 作 BM PQ，垂足为 M；F作 FNPQ，垂足为 N.BCA=90o，QPBC，BMPQ，BMP=90o，BCPM 是一个矩形，即 MBC=90o.QBM+MBA=QBA=90o，ABC+MBA=MBC=90o QBM=ABC，又 BMP=90o，BCA=90o，BQ=BA=c，RtBMQ Rt BCA.同理可证 Rt QNF RtAEF【证法 6】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长 分别为 a、b，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的 一个多边形，使 D、E、F在一条直线上.过 C作 AC 的延长线交 DF于点 P.D、E、F 在一条直线上,RtGEF RtEBD,EGF=BED，EGF+GEF=90 BED+GEF=90 BEG=180o90o=90o.又 AB=BE=EG=GA=c，ABEG ABC+Rt ABC EBD+又 BDE=90o，BCP=90o，BC=BD=a.个边长为 a的正方形.同理，HPFG a2 b2 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 222 a b c.BDPC 是 12 c 2 2 2 2.a b c 设它们的两直角边长分别为 P.再过点 MPC=90o，a、b（ba），斜边长为 c.再 使 E、A、C 三点在一条直线上.E，c 个边长为 c的正方形.CBE=90o.RtEBD,ABC=EBD.CBE=90o.即 CBD=90o.cB 是 1 S 2 ab,2 个边长为 b 的正方形.1 2 ab 2【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，一条直线上，连结 BF、CD.过 C 作 CL DE，H、C、B 三点在 使 K 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L.AF=AC，AB=AD，FAB=GAD，FAB GAD，12 a FAB 的面积等于 2，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，2 矩形 ADLM 的面积=a.同理可证，矩形 MLEB 的面积=b2.正方形 ADEB 的面积=矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB 的面积 c2 a2 b2，即 a2 b2 c2.【证法 8】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 形，把它们拼成如图所示形状，使 a、b（ba），斜边的长为 c.做三个边长分别为 a、b、c 的正方 A、E、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）TBH=ABE.BT=BE=b，HT=AE=a.TBE=ABH=90 o，又 BTH=BEA=90 o，RtHBT RtABE.GH=GT HT=b a.又 GHF+BHT=90 o，DBC+BHT=TBH+GHF=DBC.DB=EB ED=b a，HGF=BDC=90 o，RtHGF RtBDC.即 S7 过 Q 作 QM AG，垂足是 M.由BAQ=可知 ABE=QAM，而 AB=AQ=c，BHT=90 o，S2 H G BEA=90 o，所以 Rt ABE b 2C 7 8 3M D 21C6 F F4 E 5c a A R Rt QAQM.S8 S5 由 Rt ABE Rt QAM，又得 QM=AE=a，AQM=BAE.AQM+FQM=90o，BAE+CAR=90 o，AQM=BAE，FQM=CAR.又 QMF =ARC=90 o ，QM=AR=a Rt QMF RtARC 即 S4 c2 S1 S2 S3 S4 S5，2 a S1 S6，b2 S3 S7 S8，又 S7 S2，S8 S5，S4 S6，22 ab S1 S6 S3 S7 S8=S1 S4 S3 S2 S5=c2，即 22 ab 2 c RtABE.所以 Rt HBT Rt QAM.即 又 Rt HBT S6 证法 9】（辛卜松证明）们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设 形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 把正方形 则正方形 a2【证法 10】（杨作玫证明 做两个全等的直角三角形，做一个边长为 c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R.过 B 作 BP AF，直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H.BAD=90 o，PAC=90o，DAH=BAC.又 DHA=90o，BCA=90o，AD=AB=c，RtDHA Rt BCA.DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB CA=b，AP=Rt DGT RtDHA Rt DGT DH=DG=a，GDT=HDA.又 DGT=90o，DHF=90o，GDH=GDT+TDH=HDA+TDH=90o，DGFH 是一个边长为 a的正方形.GF=FH=a.TFAF，TF=GTGF=ba.TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 ab 2 a b2 ab a、ABCD.把正方 22 a2 b2 2ab；ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，4 1ab 2 a2 b2 2 c=2ab c2.ABCD 的面积为 b2 2ab 2ab c2）设它们的两条直角边长分别为 a、b是 RtBCA.即 PB=a，从而 PH=ba.Rt BCA,Rt BCA.Rt DHA.斜边长为 c.再 垂足为 P.过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂 高 FP=a+（b a）.b a C D b，斜边的长为 c.作边长是 a+b 的正方形 的面积为 b a a a b b 设直角三角形两直角边的长aC Bb 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设BP=b，用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设2 c S1 S2 S3 S4 S5 S8 S3 S4 1b b a?a b a b2 1ab 2 =2 S5 S8 S9 S3 S4 b2 1ab 2 S8=b2 S1 S8.把代入得 c2 S1 S2 b2 S1 S8 S8 S9 =b2 S2 S9=b2 2 a.2 a b2 2 c 【证法 11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c.做两个边长分别为 a、ADC=90o.作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c的正方形.BAF+FAD=DAE+FAD=90o，BAF=DAE.连结 FB，在 ABF 和ADE 中，AB=AD=c，AE=AF=b，BAF=DAE，ABF ADE.b 的正方形（ba），把它们拼成如图字表示面积的编号（如 在 EH b上截取 ED=a，连结 DA、则 AD=c.EM=EH+HM=b+a,ED=a，DM=EM ED=b a a=b.又 CMD=90o，CM=a，AED=90o，AE=b，RtAED Rt DMC EAD=MDC，=AD=c.使 E、H、M 三点在一条直线上.用数 ADE+ADC+MDC=180o，ADE+MDC=ADE+EAD=90o 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设AFB=AED=90 o，BF=DE=a.点 B、F、G、H 在一条直线上.们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设在 Rt ABF 和 Rt BCG 中，AB=BC=c，BF=CG=a，RtABF Rt BCG.S1 S5 S4 S6 S7，=S2 S3 S1 S6 S7=S2 S3 S4 S5 2=c a2 b2 c2.S2 S3 S4 S5，b2 S1 S2 S6，S3 S7，a2 b2 S3 S7 S1 S2 S6 们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示三点在一条正方形它的面积等于证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面积等于是一个边长为的正方形它的面积等于证法年美国图所示形状使是一个等腰直角三角形它的面积等于又三点在一条直线上是一个直角梯形它的面积等于斜边长为再使三点在一条直线上证法项明达证明做两个全等的直角三角形做一个边长的正方形把它们拼成如图所示多边形过点作设