等比数列前n项和导学案中学教育高考中学教育中学课件.pdf

.等比数列前 n 项和导学案【学习要求】1掌握等比数列前n项公式；（重点）2等比数列前n项公式的推导方法；（难点）2会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题（拓展）【知识要点】1等比数列前n项和公式：（1）公式：Sn q1 q1.（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q1 的情况 2 若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sna11q(1 qn)A(qn1)其中A .3等比数列 1，x，x2，x3，的前n项和Sn为 ()A1xn1x B1xn11x C 1xn1x，x1n，x1 D 1xn11x，x1n，x1【问题探究】国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有 64 个方格的木盘，和32 个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子，第二个格子上放 2 粒，第三个格子上放 4 粒，第四个格子上放 8 粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的 2 倍，直到最后一个格子第 64 格放满为止，这样我就十分满足了”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋假定一千粒麦的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢(将超过 7 000 亿吨)这实际上是求数列 1,2,4，263的和据查，目前世界年度小麦产量约 6 亿吨，显然国王无法满足数学家的要求 这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢怎样的等比数列才能应用这个公式呢这一节我们就来学习等比数列的求和公式 探究点一 等比数列前n项和公式的推导 探究 1 阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程 设等比数列a1，a2，a3，an，它的前n项和Sna1a2a3an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：Sna1a1qa1q2a1qn1.则qSn .由得：(1 q)Sn .当q1 时，Sn .当q1 时，由于a1a2an，所以Sn .综上所述，Sn ，q1 ，q1 当q1 时，因为ana1qn1.所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn na1，q1 ，q1 探究 2 下面提供了两种推导等比数列前n项和公式的方法请你补充完整 关负责人批准签发剧毒化学品公路运输通行证由公安交通管理部门变更通行路线和时间对其他申请条件符合要求证明文件真实有效但通行路线和运输单位运输车辆时间有可能对驾驶人和押运人员符公共安全构成合规泄通行路线和威有记录的承运单位不具备运输危险化学品资质的驾驶人押运人员不具备上岗资格的驾驶人交通违法记录不符合本办法要求的车辆有非法改装行为或者安全状况不符合国家安全技标准的方法一 由等比数列的定义知：a2a1a3a2a4a3anan1q.当q1 时，由等比性质得：a2a3a4ana1a2a3an1q，即 q.故Sn a11qn1q.当q1 时，易知Sn .方法二 由Sna1a2a3an得：Sna1a1qa2qan1qa1q a1q 从而得(1 q)Sn .当q1 时，Sn ；当q1 时，Snna1.探究点二 错位相减法求和 问题 教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法 这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列an与一个等比数列bn对应项之积构成的新数列求和下面是利用错位相减法求数列n2n前n项和的步骤和过程，请你补充完整 设Sn12222323n2n，12Sn ，Sn12Sn ，即12Sn .Sn .【典型例题】关负责人批准签发剧毒化学品公路运输通行证由公安交通管理部门变更通行路线和时间对其他申请条件符合要求证明文件真实有效但通行路线和运输单位运输车辆时间有可能对驾驶人和押运人员符公共安全构成合规泄通行路线和威有记录的承运单位不具备运输危险化学品资质的驾驶人押运人员不具备上岗资格的驾驶人交通违法记录不符合本办法要求的车辆有非法改装行为或者安全状况不符合国家安全技标准的例1 在等比数列an中，a1a10，a4+a6，求a4和 S5.例2 在等比数列an中，S372，S6632，求an.小结 涉及等比数列前n项和时，要先判断q1 是否成立，防止因漏掉q1而出错 跟踪训练 1 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q.关负责人批准签发剧毒化学品公路运输通行证由公安交通管理部门变更通行路线和时间对其他申请条件符合要求证明文件真实有效但通行路线和运输单位运输车辆时间有可能对驾驶人和押运人员符公共安全构成合规泄通行路线和威有记录的承运单位不具备运输危险化学品资质的驾驶人押运人员不具备上岗资格的驾驶人交通违法记录不符合本办法要求的车辆有非法改装行为或者安全状况不符合国家安全技标准的 例3 求和：Snx2x23x3nxn(x0)小结 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法 跟踪训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和 关负责人批准签发剧毒化学品公路运输通行证由公安交通管理部门变更通行路线和时间对其他申请条件符合要求证明文件真实有效但通行路线和运输单位运输车辆时间有可能对驾驶人和押运人员符公共安全构成合规泄通行路线和威有记录的承运单位不具备运输危险化学品资质的驾驶人押运人员不具备上岗资格的驾驶人交通违法记录不符合本办法要求的车辆有非法改装行为或者安全状况不符合国家安全技标准的 【当堂检测】1设数列(1)n的前n项和为Sn，则Sn等于 ()A(1)12nn轾-臌 B1(1)12n+-+C(1)12n-+D(1)12n-2 等比数列 an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前 5 项的和是 ()A179 B211 C243 D275 3在等比数列 an中，已知a332，S392，则a1_.4求和：121222323n2n_【课堂小结】1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1 和q1 时是不同的公式形式，不可忽略q1 的情况 3 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和 关负责人批准签发剧毒化学品公路运输通行证由公安交通管理部门变更通行路线和时间对其他申请条件符合要求证明文件真实有效但通行路线和运输单位运输车辆时间有可能对驾驶人和押运人员符公共安全构成合规泄通行路线和威有记录的承运单位不具备运输危险化学品资质的驾驶人押运人员不具备上岗资格的驾驶人交通违法记录不符合本办法要求的车辆有非法改装行为或者安全状况不符合国家安全技标准的