一道中考压轴题多解研究中学教育中考中学教育中考.pdf

学习好资料 欢迎下载 一道中考压轴题多解研究 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。题目：（20XX年浙江绍兴卷第 24题）如图 1，抛物线 y=（x-3）（x+1）与 x 轴交于 A，B两点（点 A在点 B左侧），与 y 轴交于点 C，点 D为顶点.（1）求点 B及点 D的坐标；（2）连结 BD，CD，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E.若线段 BD上一点 P，使DCP=BDE，求点P的坐标；若抛物线上一点 M，作 MNCD，交直线 CD于点 N，使CMN=BDE，求点M的坐标.分析：（1）令 y=0，则（x-3）（x+1）=0，解得 x1=3，x2=-1.因为点 A在点 B左侧，所以 B（3，0）.因为 y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以 D（1，-4）.（2）解法 1：连结 BC，过点 C作 CG直线 DE于点G，设 CP与直线 DE交于点 F（如图 2）.易知 C（0，-3），则 BC=32，CD=2，BD=25，所以 BC2+CD2=BD2，所以BCD=90.因为DCP=BDE，所以DCP+CDF=BDE+CDF，即CFG=BDC，又因为CGF=BCD=90，学习好资料 欢迎下载 所以CGFBCD，所以 CGBC=GFCD，即 132=GF2，所以 GF=13，所以 F（1，-103）.所以直线 CP的解析式为 y=-13x-3，易求直线 BD的解析式为 y=2x-6，联立解方程组 y=-13x-3，y=2x-6，得 x=97，y=-247，所以 P（97，-247）.解法 2：连结 BC，延长 PC与 x 轴交于点 F（如图 3）.因为 DEy轴，所以DCG=CDE，因为DCP=BDE，所以DCG+DCP=CDE+BDE，即OCF=GCP=CDB，又因为COF=DCB=90，所以COFDCB，所以 OCCD=OFCB，即 32=OF32，所以 OF=9，所以 F（-9，0）.所以直线 CP的解析式为 y=-13x-3，以下同解法 1.解法 3：在 DE的延长线上取点 G，使 EG=EB，连结 BG（如图 4），则CDF=DGB=45，又因为DCP=BDE，所以CDFDGB，所以 CDDG=DFGB，即 交于两点点在点左侧与轴交于点点为顶点求点及点的坐标连结抛物线的对称轴与轴交于点若线段上一点使求点的坐标若抛物线上一点作交直线于点使求点的坐标分析令则解得因为点在点左侧所以因为所以解法连结过点作直线于点设为易求直线的解析式为联立解方程组得所以解法连结延长与轴交于点如图因为轴所以因为所以即又因为所以所以即所以所以所以直线的解析式为以下同解法解法在的延长线上取点使连结如图则又因为所以所以即学习好资料欢迎下载侧不存在一点使若点在抛物线的对称轴右侧当点在轴上方解法作交的延长线于点设与直线交于点如图易求直线的解析式为直线的解析式为联立解方程组得所以所以因为所以又因为所以所以即所以所以此时点与点重合所以直线的解析学习好资料 欢迎下载 26=DF22，所以 DF=23.所以 F（1，-103），以下同解法 1.图 4 图 5 （）若点 M在抛物线的对称轴左侧，连结 BC，交直线 DE于点 F（如图 5）.由第小题可知NCO=CDF=CFD=45，MCN45，而BDECFD=45，故在抛物线的对称轴左侧不存在一点M，使CMN=BDE.（）若点 M在抛物线的对称轴右侧，当点 M在 x 轴上方，解法 1：作BEH=45，交 DB的延长线于点 H，设 CM与直线 DE交于点 G（如图 6）.易求直线 EH的解析式为 y=x-1，直线 BD的解析式为 y=2x-6，联立解方程组 y=x-1，y=2x-6，得 x=5，y=4，所以 H（5，4），所以 EH=42.因为DCG=90+CMN，EBH=90+BDE，CMN=BDE，所以DCG=EBH，又因为CDG=BEH=45，所以CDGBEH，所以 CDBE=DGEH，即 22=DG42，所以 DG=4，所以 G（1，0），此时点 G与点 E重合.所以直线 CG 的解析式为 y=3x-3，联立解方程组 交于两点点在点左侧与轴交于点点为顶点求点及点的坐标连结抛物线的对称轴与轴交于点若线段上一点使求点的坐标若抛物线上一点作交直线于点使求点的坐标分析令则解得因为点在点左侧所以因为所以解法连结过点作直线于点设为易求直线的解析式为联立解方程组得所以解法连结延长与轴交于点如图因为轴所以因为所以即又因为所以所以即所以所以所以直线的解析式为以下同解法解法在的延长线上取点使连结如图则又因为所以所以即学习好资料欢迎下载侧不存在一点使若点在抛物线的对称轴右侧当点在轴上方解法作交的延长线于点设与直线交于点如图易求直线的解析式为直线的解析式为联立解方程组得所以所以因为所以又因为所以所以即所以所以此时点与点重合所以直线的解析学习好资料 欢迎下载 y=3x-3 y=（x-3）（x+1），得 x1=0 y1=-3，x2=5 y2=12.所以 M（5，12）.解法 2：设 MN 交 y 轴于点 F，过点 M作 MGy 轴于点 G（如图 7）.因为CMN=BDE，所以 tanCMN=tanBDE，即 CNMN=BEDE=12，所以 MN=2CN.易证CNF，MGF均为等腰直角三角形，设 CN=a，则 NF=a，MN=2a.所以 CF=2a，MF=a，所以 MG=FG=22a，所以 CG=322a，所以 M（22a，-3+322a）.代入 y=（x-3）（x+1），解得 a=52，所以 M（5，12）.当点 M在 x 轴下方，解法 1：作BEH=45，交 BD于点 H，设 CM 与直线 DE交于点 G（如图 8）.易求直线 EH的解析式为 y=-x+1，直线 BD的解析式为 y=2x-6，联立解方程组 y=-x+1 y=2x-6，得 x=73 y=-43，交于两点点在点左侧与轴交于点点为顶点求点及点的坐标连结抛物线的对称轴与轴交于点若线段上一点使求点的坐标若抛物线上一点作交直线于点使求点的坐标分析令则解得因为点在点左侧所以因为所以解法连结过点作直线于点设为易求直线的解析式为联立解方程组得所以解法连结延长与轴交于点如图因为轴所以因为所以即又因为所以所以即所以所以所以直线的解析式为以下同解法解法在的延长线上取点使连结如图则又因为所以所以即学习好资料欢迎下载侧不存在一点使若点在抛物线的对称轴右侧当点在轴上方解法作交的延长线于点设与直线交于点如图易求直线的解析式为直线的解析式为联立解方程组得所以所以因为所以又因为所以所以即所以所以此时点与点重合所以直线的解析学习好资料 欢迎下载 所以 H（73，-43），所以 EH=432.因为CMN+DCG=90，BDE+EBH=90，CMN=BDE，所以DCG=EBH，又因为CDG=BEH=45，所以CDGBEH，所以 CDBE=DGEH，即 22=DG 432，所以 DG=43，所以 G（1，-83）.所以直线 CG 的解析式为 y=13x-3，联立解方程组 y=13x-3 y=（x-3）（x+1），得 x1=0 y1=-3，x2=73 y2=-209，所以 M（73，-209）.解法 2：延长 MN 交 y 轴于点 F，过点 M作 MGy 轴于点 G（如图 9）.因为CMN=BDE，所以 tanCMN=tanBDE，即 CNMN=BEDE=12，所以 MN=2CN.易证CNF，MGF均为等腰直角三角形，设 CN=a，则 NF=a，MN=2a.所以 CF=2a，MF=3a，所以 MG=FG=322a，所以 CG=22a，交于两点点在点左侧与轴交于点点为顶点求点及点的坐标连结抛物线的对称轴与轴交于点若线段上一点使求点的坐标若抛物线上一点作交直线于点使求点的坐标分析令则解得因为点在点左侧所以因为所以解法连结过点作直线于点设为易求直线的解析式为联立解方程组得所以解法连结延长与轴交于点如图因为轴所以因为所以即又因为所以所以即所以所以所以直线的解析式为以下同解法解法在的延长线上取点使连结如图则又因为所以所以即学习好资料欢迎下载侧不存在一点使若点在抛物线的对称轴右侧当点在轴上方解法作交的延长线于点设与直线交于点如图易求直线的解析式为直线的解析式为联立解方程组得所以所以因为所以又因为所以所以即所以所以此时点与点重合所以直线的解析学习好资料 欢迎下载 所以 M（322a，-3+22a）.代入 y=（x-3）（x+1），解得 a=729，所以 M（73，-209）.综上所述，符合题意的点 M坐标为（5，12）或（73，-209）.浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学（312352）感谢你的阅读和下载*资源、信息来源于网络。本文若侵犯了您的权益，请留言或者发站内信息。我将尽快删除。*交于两点点在点左侧与轴交于点点为顶点求点及点的坐标连结抛物线的对称轴与轴交于点若线段上一点使求点的坐标若抛物线上一点作交直线于点使求点的坐标分析令则解得因为点在点左侧所以因为所以解法连结过点作直线于点设为易求直线的解析式为联立解方程组得所以解法连结延长与轴交于点如图因为轴所以因为所以即又因为所以所以即所以所以所以直线的解析式为以下同解法解法在的延长线上取点使连结如图则又因为所以所以即学习好资料欢迎下载侧不存在一点使若点在抛物线的对称轴右侧当点在轴上方解法作交的延长线于点设与直线交于点如图易求直线的解析式为直线的解析式为联立解方程组得所以所以因为所以又因为所以所以即所以所以此时点与点重合所以直线的解析