任意角弧及任意角的三角函数中学教育高考中学教育中学课件.pdf

精品资料 欢迎下载 第 4章 三角函数与三角恒等变换 学案 16 任意角、弧度及任意角的三角函数 导学目标：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 自主梳理 1任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图形旋转开始时的射线 OA 叫做角的_，射线的端点 O 叫做角的_，旋转终止位置的射线 OB 叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_角(1)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是_角(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在 x 轴上的角表示为_；终边在 y 轴上的角表示为_；终边落在坐标轴上的角可表示为_(3)终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合_或_，前者 用角度制表示，后者 用弧度制表示(4)弧度制 把长度等于_长的弧所对的_叫 1 弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写(5)度与弧度的换算关系 360 _ rad；180 _ rad；1 _ rad；1 rad_57.30.(6)弧长公式与扇形面积公式 l_，即弧长等于_ S扇_.2三角函数的定义 设 是一个任意角，它的终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，|OP|r，我们规定：比值yr叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin yr；比值xr叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos xr；比值_(x0)叫做 的正切，记作 tan ，即 tan yx.(1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦 精品资料 欢迎下载(2)三角函数线 下图中有向线段 MP，OM，AT分别表示_，_和_ 自我检测 1“6”是“cos 2 12”的_条件 2与 2010 终边相同的最小正角为_，最大负角为_ 3(2010 山东青岛高三教学质量检测)已知 sin 0，则角 是第_象限角 4若 n 360 ，m 360 (m，nZ)，则 ，终边关于直线_对称 5已知角 的终边上一点的坐标为sin 23，cos 23，则角 的最小正值为_ 探究点一 角的概念 例 1(1)如果角 是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线 y 3x 上的角的集合；(3)若 168 k 360 (kZ)，求在0，360)内终边与3角的终边相同的角 变式迁移 1 若 是第二象限的角，试分别确定 2，2的终边所在位置 探究点二 弧长与扇形面积 例 2 已知一个扇形的圆心角是 ，0 0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移 2(1)已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为 40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三 三角函数的定义 例 3 已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值 了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点精品资料 欢迎下载 变式迁移 3 已知角 的终边经过点 P(4a,3a)(a0)，求 sin ，cos ，tan 的值 1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯，象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础 2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 (满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动23弧长到达 Q，则 Q 的坐标为_ 2(2011 汕头模拟)若角 和角 的终边关于 x 轴对称，则角 可以用 表示为_ 3已知点 Psin 34，cos 34落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为_ 4已知 为第三象限的角，则2在第_象限 5(2011 南京模拟)已知点 P(sin cos ，tan )在第一象限，且 0,2，则 的取值范围是_ 6若 1 弧度的圆心角所对弦长等于 2，则这个圆心角所对的弧长等于_ 7(2011 淮安模拟)已知角 的终边落在直线 y3x 上，则|sin|sin|cos|cos _.8阅读下列命题：若点 P(a,2a)(a0)为角 终边上一点，则 sin 2 55；同时满足 sin 12，cos 32的角有且只有一个；设 tan 12且 0(为象限角)，则 在第一象限 其中正确命题为_(将正确命题的序号填在横线上)二、解答题(共 42 分)9(14 分)已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形 OAB 的面积 10(14 分)在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集合：(1)sin 32；(2)cos 12.了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点精品资料 欢迎下载 11(14 分)已知角 终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36x.求 sin 1tan 的值 答案 自主梳理 1始边 顶点 终边 逆 顺 零(1)第几象限(2)|k，kZ|k 2，kZ|k2，kZ (3)|k 360，kZ|2k，kZ(4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度(5)2 180 180 (6)|r 弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 12lr 12|r2 2.yx(2)的正弦线 的余弦线 的正切线 自我检测 1充分而不必要 2.210 150 3.三 4.x 轴 5.116 课堂活动区 例 1 解题导引(1)一般地，角 与 终边关于 x 轴对称；角 与 终边关于 y 轴对称；角 与 终边关于原点对称(2)利用终边相同的角的集合 S|2k ，kZ判断一个角 所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一角 与 2 的整数倍，然后判断角 的象限(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数 k赋值来求得所需角 解(1)2k 322k(kZ)，322k 2k(kZ)，即22k 2k(kZ)角终边在第二象限 又由各边都加上 ，得 322k 2 2k(kZ)是第四象限角 同理可知，是第一象限角(2)在(0，)内终边在直线 y 3x 上的角是3，终边在直线 y 3x 上的角的集合为|3k，kZ.(3)168 k 360 (kZ)，356 k 120 (kZ)0 56 k 120 360，k0,1,2 时，30，360)故在0，360)内终边与3角的终边相同的角是 56，176，296.变式迁移 1 解 是第二象限的角，了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点精品资料 欢迎下载 k 360 90 k 360 180 (kZ)(1)2k 360 180 2 2k 360 360 (kZ)，2 的终边在第三或第四象限，或角的终边在 y 轴的非正半轴上(2)k 180 45 2k 180 90 (kZ)，当 k2n(nZ)时，n 360 45 2n 360 90；当 k2n1(nZ)时，n 360 225 22，舍去，12.(2)扇形的周长为 40，即 R 2R40，S12lR12R214R 2R14R 2R22100.当且仅当 R 2R，即 R10，2 时扇形面积取得最大值，最大值为 100.例 3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解 解 角 的终边在直线 3x4y0 上，在角 的终边上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t，rx2y2 4t2 3t25|t|，当 t0 时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34；当 t0 时，sin 35，cos 45，tan 34；t0，则 r5a，角在第二象限，sin yr3a5a35，cos xr4a5a45，tan yx3a4a34.若 a0，cos 340，P 在第四象限，74.4二或四 解析 是第三象限角，180 k 360 270 k 360(kZ)90 k 180 2135 k 180(kZ)当 k2m(mZ)时可得 90 m 360 2135 m 360，故2的终边在第二象限 当 k2m1(mZ)时可得 270 m 360 2cos ，tan 0，42k 22k 或 2k 542k，kZ.0 2，当 k0 时，4 2或 54.6.1sin 12 解析 设圆的半径为 r，r sin 121.r1sin 12.弧长 l r1sin 12.72 或2 解析 角 终边落在直线 y3x 上，为第二或第四象限角 当 为第二象限时，|sin|sin|cos|cos sin sin cos cos 2.了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点精品资料 欢迎下载 若 为第四象限时，|sin|sin|cos|cos sin sin cos cos 2.8 解析 中，当 在第三象限时，sin 2 55，故错 中，同时满足 sin 12，cos 32的角为 2k 6(kZ)，不只有一个，故错正确 可能在第一象限或第四象限，故错综上选.9解(1)120 23，r6，AB的弧长为 lr 2364.(4 分)(2)S扇形 OAB12lr124 612，(8 分)SABO12r2 sin 231262329 3，(12 分)S弓形 OABS扇形OABSABO12 9 3.(14 分)10解(1)作直线 y32交单位圆于 A、B 两点，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域即为角 的集合为|2k 3 2k 23，kZ.(7 分)(2)作直线 x12交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围故满足条件的角 的集合为|2k 23 2k 43，kZ.(14 分)11解 P(x，2)(x0)，点P 到原点的距离rx22.(2 分)又 cos 36x，cos xx2236x.x0，x 10，r2 3.(6 分)当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，由三角函数的定义，有 sin 66，1tan 5，了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点精品资料 欢迎下载 sin 1tan 66 56 5 66；(10 分)当 x 10时，同样可求得 sin 1tan 6 5 66.(14 分)了解弧度制的概念能进行弧度与角度的互化理解任意角的三角函数正弦余弦正切的定义自主梳理任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的射线的端点叫做条射线没有作任何旋转称它形成了一个角象限角使角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限就说这个角是角象限界角即终边在坐标轴上的角终边在轴上的角表示为终边在轴上的角表示为终边落在坐标表示弧度制把长度等于长的弧所对的叫弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制叫做它的单位符号是读作通常略去不写度与弧度的换算关系弧长公式与扇形面积公式即弧长等于三角函数的定义设是一个任意角它的终边上任意一点