2021届辽宁省高考数学模拟试卷(5月份) (二)附答案解析.pdf

2021届辽宁省高考数学模拟试卷（5月份）（2）一、单 选 题（本大题共9 小题，共 4 5.0 分）1.已知z =+是纯虚数（i 是虚数单位），则实数m的值为（）A.1 B.1C.2 D.-12.已知集合”=用刀2 5方0 ,N =2,4,6,8,1 0 ,则M n N =()A.2 B.2,4 C.2,4,6 D.2,4,6,83.己知彳，了为互相垂直的单位向量，向量晟=f 普驾/，源=普 7，且彳与嬴出卷是,的夹角为锐角，则实数9 的取值范围是（）A.3：-，吼施虬外礴靛B.礴C.I 虚 瞬 3蜘 酶D.-|斶4 .现从黄瓜、白菜、油菜、土豆、萝卜中选出4 种分别种植在一排土质不同的四块土地上，黄瓜必须种植，白菜与油菜不能相邻种植，则不同的种植方案的种数为（）A.24 B.4 8 C.72 D.845.若函数解=雌侬依（转 斓）的图象向右平移/单位后与函数朋=阚蝴的图象重合，则的的值可能是A.-B.1 C.3 D.46.函数fO）L 若叫 b,c 互不相等，若a）=/（b）=/（c）,则a +b +c 的取值范围是（）A.（1,1 0 0）B.（2,1 0 0）C.（1,1 0 1）D.（2,1 0 1）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗 称“粽子”，古 称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4 的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）已知Q=l o g 2（）.3,b=20 3,c=0.3 03,则Q,b,C三者的大小关系是(A.c b aB.b a cC.a b cD.b c a若（a =3,贝i j a _|o g p 5=（A.-1二、多选题(本大题共3小题，共1 5.0分)1 0.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,1 0,1 5,2 1,2 8,3 6,45，这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示).设第n个三角形数为即，则下列结论错误的是()A.an-Qn_ i =n(n 1)B.。2。0 =2 1 0 0 0C.1 0 2 4是三角形数D.+a2 a3 On n+11 1 .已知函数/(x)=si n(2 x -$,下列说法正确的是()A./(x)关于点玲,0)对称B./关于直线 =-今对称C.f(x)的图象向左平移?个单位长度后可得到f(x)=si n 2 x的图象D./(%)=si n 2 x的图象向右平移卷个单位长度后可得到/(x)的图象1 2 .关于x、y的 方 程 三+痣=1(卜力士2)可能表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在久轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线三、单空题(本大题共4小题，共2 0.0分)1 3 .若t a n a V 2.则t a n(a +力=.1 4.如图，已知P A是。0的切线，A为切点.P C是。的一条割线，交。于B,C两点，点Q是弦8c的中点.若圆心。在乙4P B内部，则N O P Q+4P 4Q的度数为.1 5.若M为抛物线y=2/第一象限上的点，且M到焦点的距离为:，则M的坐标为.1 6.三棱锥。-4B C的侧棱0 4 OB,O C两两垂直且长度分别为2 cm,2 cm,1cm,则其外接球的表面积是 cm2.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)1 7.设数列 厮 的前n项 和 为 已知的=4,=即+i +2 n-4,n 6/V*.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)设 匕=(2“+荒 匚+1)，数列也 的前几项和为，求满足%总的正整数n的最小值.1 8.乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源.为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台(如图所示)，其中DC =4百米，。4 =2百米，A B C为正三角形，建成后，A B C。将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.(1)当乙4 DC =软寸，求旅游休闲区域B C D的面积;(2)设乙4 DC =6,求旅游休闲区域4 B C D的面积的最大值.19.如图，三棱锥P-A B C,A B 1 ACB.PA=PC=AC=2,PB=BCV6.(1)求证：平面PAC J 平 面 4BC；(2)求直线PB与平面ABC所成的角.20.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表:年龄(岁)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055手机支付4610620(1)若把年龄在 15,45)的人称为中青年，年龄在 45,75)的人称为中老年，请根据上表完成以下2 x 2 列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关系？手机支付未使用手机支付总计中青年中老年总计(2)若从年龄在 55,65)的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为X,求X 的分布列及数学期望E(X).参考公式：K2=其 中 =a+b+c+d.独立性检验临界值表:nad-bc2(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)P(K2 ko)0.150.100.0050.0250.010k。2.0722.7063.8415.0246.63521.已知函数/(%)满足对于Vx 6 R,均有/(%)+2/(-x)=ax+2(+xlnaa 1 成立.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)的最小值.(3)证明：+(严 +()(ne N*).22.在平面直角坐标系x O y中，已知曲线加上的任意一点到点2(-1,0),8(1,0)的距离之和为2企.(1)求曲线的的方程；(口)设椭圆。2：x 2+当=1,若斜率为k的直线0 M交椭圆。2于点M，垂直于0 M的直线O N交曲线Q于点N.求证：|M N|的最小值为企；(好问：是否存在以原点为圆心且与直线M N相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1.答案：D解析：解：z=(1+i)(l-mi)=1+m+(1-m)i.z=(1+t)(l-mi)是纯虚数(i是虚数单位)，1+m=0,并且 1 niKO,解得m=-1.故选：D.利用复数的多项式的乘法运算法则，以及复数的概念实部为0,求出结果即可.本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力.2.答案：B解析：解：,集合M=xx2-5x 0=x|0 x 掰(2+2)=16当白菜种在中间两块地时，油菜的选择方案分别为一种，那么其总共种植方案为：d/（i +i）=8第二种情况，当白菜和油菜只种植一种时，有两种情况，要么种植白菜，要么种植油菜，其总共种植方案为：2 x*=48总的种植方案为：16+8+48=72故答案为：C分两种情况讨论，一种是白菜与油菜都种植的情况，一种是白菜和油菜有一种不种植，然后分别计算出每一种情况的种植方案的种数，最后相加即为所求的解.对于排列组合的题目，一定要按要求分清各种情况，千万不能缺漏，也不能重复.另外要分清排列和组合的关系以及它们之间的差异，排列的话就像站队，有顺序之分；组合的话就像站队的人数，只要求来了多少人，无关站队的顺序.5.答案：C解析：试题分析：将群=雷鹭继3共 像&J图象向右平移艺个单位后得到工3/藤理=磷1二升融第一二I|=%II徽岛 三-图象与解=两例临 重合，二二一-_ 赛&喊此 幻 磐题翦 福得您=兽-：1 1陛，当辙=刚时，像;=鲁，故答案为C.考点：1、诱导公式的应用；2、函数图象的平移.6.答案：D解析：解：作出人乃的函数图象如图所示:故选：D.作出函数图象，根据图象的性质即可得出结论.本题考查了分段函数的性质，属于中档题.7.答案：A解析：解：由题意可得每个三角形面积为S =3x4x2b=4 M,由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为116 悟2=半,故四面体的体积为:x 4百x华=竽，该六面体的体积是正四面体的2倍，六面体的体积是空巴3由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设丸子的半径为R,则.=6x2x4bxR,解得R=述,3 3 9 丸子的体积的最大值为%ax=-R3=-X（小 了=空 渔兀.m a x 3 3 k 9 7 729故 选:A.先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R,则”=6 x 5 x 4百XR,由此求得R,3 3进而得到答案.本题考查空间几何体的体积，考查运算求解能力，推理论证能力和空间想象能力，考查直观想象、逻辑推理与数学运算等核心素养，属于中档题.8.答案：D解析：解：.a =lo g2（）.3 1,c =0.3 3 e （0,1）,则a,b,c三者的大小关系是b c a.故选：D.利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系.本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.9.答案：B解析：本题主要考查了对数的运算，涉及了对数式与指数式的互化，解题的关键是掌握对数的运算法则.先利用指数与对数的互化表示出a,然后利用对数的运算法则求解即可;解：因为a =3,则&=，。唯3,3 1所以a -=log让-logtlS=logi =log/=1.故选：B.10.答 案:B C解析：解：根据题意，数列 1,3,6,10,15,21,28,36,45,满 足 一 1=2,一。2=3,%3=%Q5-4=5,.由此归纳可得：0n-an_ i=n,A 正确；则 an=(an-既一1)+(an-l -an-2)+(a2-al)+%=九 +(九 一 1)+2+1=丁)，则有。200=空 暇 =20100,B错误；对于C,若1024是三角形数，则 方 程 当 由=1024有正整数解，变形可得足+兀-2048=0,无正整数解，C错误；对于D,an=丝F，则 看=而 热=2(；一高)，则 高+誉+2+今=？。一+(+(：W)】=急，。正确，故选：B C.根据题意，分析三角形数的规律，归纳可得斯-与_】=n,可得A 正确，由累加法分析可得0M的表达式，可得B 错误，对于C,若1024是三角形数，则 方 程 凶 券=1024有正整数解，分析该方程解的情况可得C错误，对于D,变形可得!，由错位相加法分析可得。正确，即可得答案.本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列求和以及通项公式的求法，涉及归纳推理的应用，属于中档题.11.答案：AB D解析：解：乂 =专 时，函数/(x)=sin(2 x2 一=0,所以/(x)关于点脸,0)对称，所以4 正确；x=一,时，函数/(x)=s in 2 x(J)_ g =sin(_=_ l,所以/(%)关于直线”/对 称，所以B正确；/(%)的图象向左平移珊个单位长度后可得到函数/Q)=sin2(x+-=sin(2x+R s in 2 x,所以C不正确；f(x)=sin2x的图象向右平移卷个单位长度后可得到/(x)=s讥2(x-为=s in(2 x-$的图象，所以。正确.故选：AB D.通过久=卷，求解函数值，判断4尤=-?时，函数是否取得极值，判断B；利用平移变换判断C,判断。；本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象与性质的应用，是基本知识的考查.1 2.答案：AB D解析：解：对于4若表示焦点在工 轴上的椭圆，则 归 任晓正解得-12,2 解得k 1且 丘2，所 以 当(8,-2)U(-2,-l)U(L 2)U(2,+8 j,曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对于C：若表示焦点在x轴上的双曲线，则 伫 比 2无 解,故C不正确；对于D：若表示焦点在y轴上的双曲线，则卜+岑?，解得&2,所以当1 6(-8,-2)1；(2,+8)时，曲线是焦点在y轴上的双曲线，故力正确；故选：AB D.根据各选项中方程所表示的曲线的形状求出m的取值范围，即可判断各选项的正误.本题考查圆锥曲线的方程，属于基础题.1 3.答案：3 2 V 2解析：解：V tana=V 2，则t an(a+今=詈 丝=一口+2式)=-3 -2或，4 1 t a.n c x故答案为：一3-2四.利用两角和的正切公式求得t an(a+的值.本题主要考查两角和的正切公式，属于基础题.1 4.答案：9 0 解析：解：连结4。，QO,AP 4是。的切线，A 为切点.PC是。的一条割线，交。于B,。两点，点Q是弦8 c 的中点，0A 1 PA,0Q 1 PQ,4。+NPQO=180。，.4 P,Q,。四点共圆，:.Z-OPQ=Z.OAQ,v z.OAQ+PAQ=90,乙OPQ+ZP4Q=90.故答案为:90.连结40,Q O,由已知条件推导出04 1 P4,OQ 1 P Q,从而得到4 P,Q,。四点共圆，由此能求出 N0PQ+/P4Q 的值.本题考查两角和的求法，是中档题，解题时要注意四点共圆的证明及其应用.15.答案：解析：解：抛物线标准方程/=J y,即2P=3则P=；，弓=则焦点尸（0,3，由M（%o，yo）到焦点的距离d=y0+=即yo=则 就=1 o，解得Xo=,由M在第一象限，则无 0=：，M的坐标为（J,3，4 o故答案为：（*）求得抛物线的焦点坐标，由抛物线的焦点弦公式，即可求得出,代入抛物线方程，即可求得M点坐标.本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点弦公式，属于基础题.16.答案:9兀解析：解：三棱锥0-4BC的三条侧棱0 4 OB,0 c 两两垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：V22+22+l2=3,所以球的直径是3,半径长R=|球的表面积S=4兀 R2=9兀故答案为：97 r.三棱锥。-ABC的三条侧棱0 4、OB、0C两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积.本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题.将三棱锥扩展为长方体是本题的关键.17.答案：解：(1)依题意，当九N 2时，由%=%+1+2九一4,可得Sn-1=%+2(7 1-1)-4,两式相减，可得Qn=Sn Sn_=Qn+1 Q+2,整理，得斯+i=2a九 一 2,两边同时减2,可得Qn+i _ 2=2an 2 1=2(an 2),丁 Qi 2=2,数列a-2 是首项和公比都为2的等比数列，Qn-2=2 2Tlt =2n,an=2n+2,n E N*,(2)由题意及(1),可得,_ 厮-2 _ 2n _ _ 1 _1_n-(2n+l)(2n+1+l)-(2n+l)(2n+1+l)-2n+l-2n+1+l，则=瓦+历+垢_ 11 11 1 1=(2+1-22+1)+02+23+1)+(2n+1-2。+1+1)_ 1 1-3 2n+1+lT。T 11 gnl -4 0，3 2八+1+1 40，即一一 军=工2n+1+1 3 40 120.2n+1+1 1 2 0,即2n 当九=5时，25+1=26=64 119,当 nN 6时，不等式7；算成立，4U 正整数n 的最小值为6.解析：本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题.考查了转化与化归思想，整体思想，裂项相消法，定义法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题.(1)先由=与+1 +2n-4,可得的-1 =an+2(n 1)-4,两式相减，进一步计算并加以转化可发现数列 即-2 是首项和公比都为2的等比数列，通过计算出数列 a.-2 的通项公式即可计算出数列 a,J的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列%的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和的表达式，再代入不等式7；啜进行计算，根据指数的运算即可判断出正整数n的最小值.18.答案：解：(1)在A4CD中，由余弦定理知，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cos=4+16-2 X2 x 4 x i=12,2:.AC=2/3由正弦定理知，缶=缶，即smZ-ACD=2 Z.ADC=壬4ACD 6(0,算乙4CD=6乙 BCD=S4BCD=1CD-BC=CD-AC=x 4X23=4百.不妨设44。=。，ACD=a,在AADC中，由余弦定理知，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosd=20-16cos6,AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cosa,cosa=由正弦定理知,4Csinz.ADC40sinACD9n nA C 2.2sin6即丽=,.ssa=H，1 1 7 TS CD=qCD BCsin(Z-ACD+/LACB)=-X 4 X ACsin(a+)=/IC (sina+y/3cosa)2sin9 厂 4 c2+125c-(丁 +技F L)=2sin0-2y/3cos6+4A/3=4sm(0-g)+473 在A P A B 中，PB2=PA2+A B2,：.PAB =90,即4BJ.P 4,:.AB 1 平面P AC,平面P AC J 平 面 ABC.解：（2）过点P 作P 0 J.4 C,。为垂足，连结。8,平面P A C，平面4BC,；.PO J _平面4BC,N P B。是直线P B 与平面ABC 所成角，.P2=PC=4 C,二。为力c 的中点，.oc=1,PO JAC=痘,在Rt 0 4 B 中，AB=V2,OB =7。你+柳=聒,pnX v PO 1 O B,二在R MPOB 中，t an/P O B中，t anz P BO =1,乙 POB=45 ,直线P B 与平面力BC 所成的角为45。.解析：(1)由4B 1 4 C,AB 1 P A,得到4 B 1平面P A C,由此能证明平面P AC _L 平面ABC.(2)过点P 作P O J.71 C,。为垂足，连结O B,则4P B。是直线P B 与平面4 B C 所成角，由此能求出直线P B与平面4BC 所成的角.本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题.2 0.答案：解：(1)2 x2 列联表如图所示：手机支付未使用手机支付总计中青年2 01 03 0中老年81 22 0总计2 82 25 0dJ。黑 荔 鼠)=如3 463 0时：f (%)0,f(%)在(0,+8)上递增;当x 0时：/(x)0,久)在(一 8,0)上递减;/(x)min=f(0)=L(3)由(2)得：0%伉。21恒成立，令。=9,则e*之x+1,在e*N x +l中，令 =一：(攵=1,2,n 1)1-e nn.(1_ i)n e-k.(1-A)n e-1 (i _ 9 ne-2.(l_?)n W e-ST),C)n=l）”+（等）+（管尸+（;）n l+e-1+e-2+e-（-DY）n _ 平-（泗 b 0,所以2a =2A/2,c =1,则b=1,丫2故G的方程段+y2=i.（3分）（n）（回）证明：当A=O,M为C 2长轴端点，则N为G短轴的端点，=应.（4分）当kKO时，设直线OM：y=k x,代入%2+岁=1,整理得（2+3 k 2）/=2,即/=笄3，y 2=所以|0 M|2-x2+y2=蓑 条.（6分）又由已知OMJ.ON,设ON：y=x,同理解得|0 N|2=箸 占，.（7分）所以|M N|2=0 M2+0 N2=黑+禁=（2+2的 西 端 诉，.(8分)又|M N|2-2=8(1+H)2-2(2+3好(2+女2)(2+3收)(2+”2)=-0,（2+3 上 2）.（2+H）所以|M N|的最小值为/.（9分）（ii）解：存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆.设Rt AM ON斜边上的高为九，由（II）（团）得当k=0时，九=，.（10分）当 丘。时，河|-3=唇唇又 四 川=（2+2收.（总；黑2），（12分）由|M N|-h=|O M|-|O N|,得九=1力 片=|M/V|Z故存在以原点为圆心，半径为近且与直线MN相切的圆，圆方程为/+y2=：.（13分）解析：（I）由椭圆定义可知曲线G的轨迹是椭圆，设G的方程为捻+5=1,由已知条件知2a=2式,c=l,由此能求出曲线G的方程.（11）（日）当/=0,闻为。2长轴端点，可为6短轴的端点，|时限=企设直线。“：丫 =心：,代入2+管=1,得（2+3/c 2）x2=2,由此能求出|M N|的最小值.（H）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆.设Rt AM ON斜边上的高为九，当k=0时，h=或 当2k丰0时，|OM|ON|=1 .1 ,由此能推导出存在以原点为圆心，半径为迎且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等.